Energie de 2 pendules couplés

[invited927d23c]

Bonjour,

Je n'arrive pas de résoudre une question de ce problème de physique ( page 5, 4.b. ).
On a deux pendules couplés par un ressort, et espacés de la distance à vide du ressort. Avec les conditions initiales imposés ( 3. ) j'ai trouvé les équations du mouvements suivantes pour les deux pendules :




C'est dans le document, mais je précise que :



Ayant rapidement tracé le graphe à l'ordinateur je pense que mes calculs sont juste (mais bon c'est pas certain ).
Mais ensuite on demande les expressions de l'energie contenu dans chaque pendule. Mais je n'y arrive pas, ce qui me cause le plus problème c'est l'energie potentielle élastique du ressort, à quel pendule dois-je l'attribuer? Pour la périodicité de l'enveloppe de haute fréquence j'avais trouvé :



Comme à t=0 toute l'energie est contenu dans le pendule un et après un temps toute l'energie à été transféré dans le deuxième pendule (par effet de battement?) j'aurais tendance à écrire (mais j'arrive pas de démontrer) :




Ce qui donnerait bien en additionnant. Dans mes calculs j'ai utilisé (mais ce n'est pas demandé) :



Bon je vais m'arreter car sinon ce post va devenir trop long. En tous cas merci d'avance à toute personne qui pourra m'aider, car je desépère .
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[invitefa5fd80c]

Bonjour,

Je n'arrive pas de résoudre une question de ce problème de physique ( page 5, 4.b. ).
On a deux pendules couplés par un ressort, et espacés de la distance à vide du ressort. Avec les conditions initiales imposés ( 3. ) j'ai trouvé les équations du mouvements suivantes pour les deux pendules :




C'est dans le document, mais je précise que :



Ayant rapidement tracé le graphe à l'ordinateur je pense que mes calculs sont juste (mais bon c'est pas certain ).

Salut Witten,

J'ai calculé de mon côté pour et et j'arrive au même résultat.

Mais ensuite on demande les expressions de l'energie contenu dans chaque pendule. Mais je n'y arrive pas, ce qui me cause le plus problème c'est l'energie potentielle élastique du ressort, à quel pendule dois-je l'attribuer?

Il y a effectivement quelque chose de pas clair dans l'énoncé 4b. À chaque pendule on peut attribuer en propre son énergie cinétique et son énergie potentielle gravitationnelle. Mais l'énergie potentielle emmagasinée dans le ressort ne peut être répartie entre les deux pendules. Par contre, il est spécifié au début de 4 que et il est alors facile de montrer que l'énergie potentielle emmagasinée dans le ressort représente une portion négligeable de l’énergie totale. Ça me semble être la seule façon de donner un sens à 4b. À partir du moment où l’on néglige cette énergie et que l’on utilise , le reste devrait suivre assez facilement.

[invited927d23c]

Merci beaucoup de m'aider PopolAuQuébec.

Maintenant que tu le dis il me semble logique que l'energie potentiel du ressort soit négligeable. Il sert seulement à "transférer" l'energie d'un pendule vers l'autre, mais n'en contient pas beaucoup, et celle-ci peut donc être ignoré.
Mathématiquement :

implique

ce qui permet de considérer l'energie potentiel du ressort comme nulle.

Bon alors après j'ai pris :



Et j'ai posé (en utilisant le développement limité de cos):



Mais là l'expression que j'obtiens est horrible (j'arrive pas du tous de réduire le deuxième terme). Et j'arrive pas du tous à exprimer la fonction avec comme demandé. Et si je fais de même pour , j'arrive pas de retrouver l'energie totale du système en additionant l'energie des deux pendules.

Merci de m'aider encore un peu .

[invitefa5fd80c]

Merci beaucoup de m'aider PopolAuQuébec.

No problem. Tout le plaisir est pour moi…et les calculs pour toi

Bon alors après j'ai pris :



Et j'ai posé (en utilisant le développement limité de cos):

Un petit oubli pour le dans le second terme.

Mais là l'expression que j'obtiens est horrible (j'arrive pas du tous de réduire le deuxième terme). Et j'arrive pas du tous à exprimer la fonction avec comme demandé. Et si je fais de même pour , j'arrive pas de retrouver l'energie totale du système en additionant l'energie des deux pendules.

Effectivement, en dérivant et en élevant au carré l’expression pour on arrive à quelque chose d’horrible et il est difficile de voir comment on peut simplifier. Il faut d’abord et avant tout comprendre la psychologie d’un professeur ("Subtile but not malicious", enfin quelque chose dans le genre ): lorsqu’on arrive à une telle situation, c’est qu’il y a habituellement une étape préalable qui simplifie les choses.
Ici la source de la complexité c’est d’avoir un produit de deux cosinus. Or on a :




D’où :




Cela mène à des équations beaucoup plus simples.

Pour , j’ai obtenu l’expression suivante :



Je n’ai pas revérifié le calcul. Mais pour t=0, ça fonctionne et pour aussi.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited927d23c]

Un petit oubli pour le l² dans le second terme.

Que je suis bête , oublier qu'il s'agit d'une coordonnée angulaire. Soudainement les calculs vont beaucoup mieux ! Car le terme qui me genais, , se simplife soudainement.

Avec les formules de trigo (j'aurais dû y penser moi même qu'il en existe qui pourrait m'être utile) je devrais pouvoir y arriver sans problèmes maintenant .

[invited927d23c]

Rebonjour,

Voila je me suis une fois pris le temps de faire tous les calculs. Pas mal de pages plus tard j'ai trouvé des résultats.

Et a condition d'utiliser je trouve la même chose. Comme je comprend pas pourquoi ne pas poser directement ? Ce qui donne une relation encore beaucoup plus simple qui approche bien la réalité.



et



Ce qui donne bien .
En gardant tous les termes j'ai réussir d'obtenir une expression plus ou moins condensée, mais bizzarement dans ce cas je ne retrouve pas l'energie totale en additionnant les deux termes. Mais bon c'est pas très important car les termes en sont vraiment négligeable.

[invitefa5fd80c]

Comme je comprend pas pourquoi ne pas poser directement ? Ce qui donne une relation encore beaucoup plus simple qui approche bien la réalité.

Salut,

Si tu remplaces par 1, ça revient à poser = 0 et cela veut dire que les deux pendules ne sont plus couplés. À moins que tu aies voulu dire autre chose ?

[invited927d23c]

Bon c'est pas très important, mais je vais essayer de clarifier les choses en écrivant le calcul complet :

On néglige l'energie potentiel du ressort, donc :



et (avec et ) :



Si à la ligne 3 je laisse tomber les 2 derniers termes je retombe sur l'expression que tu donnais dans ton 2éme message. Et laisser tomber ces deux termes revient à poser dans le développement du deuxième "grand terme" de la ligne 2.
Donc je me demandais pourquoi ne pas poser directement dans la deuxième ligne. Je ne pense pas que ça gêne vu que ce n'est pas dans une fonction trigonométrique (ou l'erreur deviendrais grande). Ce qui donnerait une expression simple :



PS : J'espère avoir été clair (je n'ai pas réussi de mettre en gras à l'intérieur des balises TEX). En tous cas tu m'as déjà beaucoup aidé.

[invitefa5fd80c]

Bon c'est pas très important, mais je vais essayer de clarifier les choses en écrivant le calcul complet :

On néglige l'energie potentiel du ressort, donc :



et (avec et ) :



Si à la ligne 3 je laisse tomber les 2 derniers termes je retombe sur l'expression que tu donnais dans ton 2éme message. Et laisser tomber ces deux termes revient à poser dans le développement du deuxième "grand terme" de la ligne 2.

C’est normal qu’en laissant tomber les 2 derniers termes à la ligne 3 tu retombes sur l’expression que j’avais donnée : j’avais fait une erreur de calcul

À première vue, ton calcul semble correct, mais revérifie quand même : une erreur est si vite arrivée

Donc je me demandais pourquoi ne pas poser directement dans la deuxième ligne. Je ne pense pas que ça gêne vu que ce n'est pas dans une fonction trigonométrique (ou l'erreur deviendrais grande). Ce qui donnerait une expression simple :

Étant donné que ces calculs ont été effectués dans le cadre de l’hypothèse , on peut laisser tomber les termes en (en fait on doit les laisser tomber car il ne donneront généralement pas le bon terme en ).
Par contre, on ne peut pas laisser tomber les termes en .

A+

[invitefa5fd80c]

Étant donné que ces calculs ont été effectués dans le cadre de l’hypothèse , on peut laisser tomber les termes en (en fait on doit les laisser tomber car il ne donneront généralement pas le bon terme en ).
Par contre, on ne peut pas laisser tomber les termes en .

Quand ça va mal, ça va mal

Je viens de relire l'énoncé et l'hypothèse de travail est et non . Par conséquent, tu peux (et dois) laisser tomber les termes en lorsqu'ils apparaissent comme des corrections à des termes qui demeurent non-nuls lorsque .

J'espère que je ne me suis pas planté ce coup-là

A+

[invited927d23c]

Ok merci beaucoup pour ces explications . Alors ce que j'avais fais devrais être juste. Car je confirme que si on garde des termes en et ça ne marche pas lorsqu'on additionne et . Et donc finalement on obtient :




J'ai tracé tous les graphes à l'ordinateur et tous colle. Je suis content d'y être enfin arrivé .

Je m'en sort très bien pour la partie suivante (infinité de pendules couplés), mais j'ai encore un souci pour la question 5 de cette partie. On a 2 circuits LC, je connais les équations et je vois bien l'analogie. Mais je ne vois pas comment les coupler? Avec google j'ai trouvé que ce serait possible par inductance mutuelle des deux bobines... Mais merci d'avance à celui qui m'expliquera , car moi et les circuits électriques
J'aurais dit que les possibilités sont (sans garantie):

1) Les deux circuits sont en phase, et l'inductance mutuelle est nulle (car les 2 champs magnétiques sont (de direction) opposés).
2) Les deux circuits sont en oppositions de phase, et l'inductance mutuelle est maximale (les 2 champs magnétiques ont même direction).

Le courant "tourne" bien sûr dans le même sens dans les 2 circuits.

[invitefa5fd80c]

Ok merci beaucoup pour ces explications . Alors ce que j'avais fais devrais être juste. Car je confirme que si on garde des termes en et ça ne marche pas lorsqu'on additionne et . Et donc finalement on obtient :




J'ai tracé tous les graphes à l'ordinateur et tous colle. Je suis content d'y être enfin arrivé .

Excellent !

Les termes résiduels en et sont dûs sans l'ombre d'un doute à l'énergie emmagasinée dans le ressort.

Je m'en sort très bien pour la partie suivante (infinité de pendules couplés), mais j'ai encore un souci pour la question 5 de cette partie. On a 2 circuits LC, je connais les équations et je vois bien l'analogie. Mais je ne vois pas comment les coupler? Avec google j'ai trouvé que ce serait possible par inductance mutuelle des deux bobines... Mais merci d'avance à celui qui m'expliquera , car moi et les circuits électriques
J'aurais dit que les possibilités sont (sans garantie):

1) Les deux circuits sont en phase, et l'inductance mutuelle est nulle (car les 2 champs magnétiques sont (de direction) opposés).
2) Les deux circuits sont en oppositions de phase, et l'inductance mutuelle est maximale (les 2 champs magnétiques ont même direction).

Le courant "tourne" bien sûr dans le même sens dans les 2 circuits.

J'ai fait une recherche google sur "circuits lc couplés" et le premier résultat de recherche est : http://perso.orange.fr/physique.bell...s/TD_Ondes.doc
C'est un document Word. À la page 4, tu trouveras quelque chose qui devrait faire ton bonheur.

A+

[invite64d7a5a1]

Bonjour, ce sujet est peut-être en sommeil depuis longtemps mais comme je cherche aussi ce sujet du concours général, je me permets une remarque car j'obtiens un résultats différent des modes propres des oscillateurs couplés par le ressort : j'ai joints mes résultats (si ça marche ... je suis novice ...):