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recherche de trajectoire



  1. #1
    génie en gazon

    recherche de trajectoire

    voici un exercice que je dois résoudre, alors que je ne sais pas de quoi il s'agit vraiment; je n'ai pas encore entendu parler de potentiel; je voudrais savoir comment m'y prendre:

    On place une particule dans un potentiel en aln(r). On la lâche, à l'instant t=0, sans vitesse initiale à une distance R du centre.
    Calculer le temps de chûte t.

    merci.

    -----


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  3. #2
    labostyle

    Re : recherche de trajectoire

    Citation Envoyé par génie en gazon Voir le message

    On place une particule dans un potentiel en aln(r).
    c'est quoi cette fonction aln(r). As tu songé à utiliser la conservation de l'énergie dans ton système

  4. #3
    Ledescat

    Re : recherche de trajectoire

    Citation Envoyé par labostyle Voir le message
    c'est quoi cette fonction aln(r). As tu songé à utiliser la conservation de l'énergie dans ton système
    J'imagine que c'est l'énergie potentielle en fonction du rayon .
    Personnellement, à la vue de la courbe r->a ln(r), on voit que qualitativement, le mobile aura tendance à se rapprocher du centre sans jamais l'ateindre, et à vitesse constemment accélérée (curieux hein ?).
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    génie en gazon

    Re : recherche de trajectoire

    Serait-il possible de m'éclairer quelque peu? A vrai dire je n'ai pas la moindre idée de comment m'y prendre. Alors quelques indications seraient bienvenues...

  6. #5
    labostyle

    Re : recherche de trajectoire

    Citation Envoyé par génie en gazon Voir le message
    Serait-il possible de m'éclairer quelque peu? A vrai dire je n'ai pas la moindre idée de comment m'y prendre. Alors quelques indications seraient bienvenues...
    mais la fonction a considéré c'est bien a ln(r) comme l'indique Ledescat, c'est bien ca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : recherche de trajectoire

    Citation Envoyé par génie en gazon Voir le message
    Serait-il possible de m'éclairer quelque peu? A vrai dire je n'ai pas la moindre idée de comment m'y prendre. Alors quelques indications seraient bienvenues...
    Tu n'as jamais étudié le comportement d'un mobile en fonction de courbes de potentiel ?

    En fait, ton mobile a une certaine énergie potentielle en fonction d'un certain degré de liberté (ici r).
    Et (ça se montrer hein), on peut qualitativement décrire le comportement grâce à cette courbe, qu'il faut en fait considérer comme des montagnes russes .

    Je m'explique:
    Le mobile a toujours tendance à suivre la pente qui le mène au potentiel le plus bas (donc aux altitudes basses dans une montagne).
    En présence d'un creux (puit de potentiel), le mobile a tendance à rester dans ce creux et à osciller (pense bien aux montagnes). C'est un point d'équilibre stable.
    En présence de bosse, si tu poses le mobile dessus, il tombera d'un côté ou de l'autre de celle-ci et ne restera pas en place (point d'équilibre instable).

    Ici, avec un potentiel en ln(r),la courbe est un goufre qui plonge vers -infini en 0+. Un mobile posé sur cette montagne (n'importe où) tombera donc dans ce goufre, c'est-à-dire qu'il ira vers r=0 (le centre).

    Au passage, si l'énergie mécanique se conserve, comme Em=Ec+Ep, Em peut se représenter par une droite horrizontale, et pour vérifier cette conservation, si l'énergie potentielle diminue, l'énergie cinétique (donc la vitesse) augmente et vice versa.

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    mamono666

    Re : recherche de trajectoire

    Si le potentiel est alors on a une force qui s'écrit:



    D'apres le principe fondamentale de la dynamique: (pour une particule de masse m)



    or une de manière générale, si je me place en coordonnées polaire, un vecteur quelconque s'écrit:



    donc

    donc

    On déduit alors que:



    et

    On peut reécrire:



    et

    La seconde équation donne en intégrant:



    donc est une constante. En fait pour une force central on a le moment qui se conserve, je vais poser alors qui est donc bien constante.

    La première equa diff va alors s'écrire:



    il reste à résoudre l'equa diff
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  11. #8
    mamono666

    Re : recherche de trajectoire

    On doit pouvoir aussi résoudre le probleme avec la conservation de l'energie:



    Je prend à nouveau:

    donc

    De plus,

    Le probleme se résoud donc par deux intégrales:



    et

    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  12. #9
    yahou

    Re : recherche de trajectoire

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Ca se simplifie un peu dans le cas particulier présenté par génie en gazon, puisque la vitesse initiale est nulle, soit et .

    Il vient alors


    Je ne sais pas comment aller plus loin analytiquement.

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    qualitativement, le mobile aura tendance à se rapprocher du centre sans jamais l'ateindre, et à vitesse constemment accélérée (curieux hein ?).
    Plus que curieux : impossible. Si le mobile accélère constament, le temps de chute ne peut être infini !
    D'ailleurs dans l'expression ci-dessus a bien une valeur finie (environ 1,77).
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

  13. #10
    mamono666

    Re : recherche de trajectoire

    oui ca se simplifie bien effectivement.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

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