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Commutateur quantique



  1. #1
    Seirios

    Commutateur quantique


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai lu que dans le cadre de la mécanique quantique, que le commutateur pour la matrice position et la matrice impulsion était :

    .

    Je vois bien qu'un commutateur en général s'annule lorsque les deux éléments sont commutatifs, mais je ne vois pas à quoi sert de définir ce commutateur pour les matrices positions et impulsions...

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner ? (et en espérant que la réponse ne dépasse pas trop ma capacité de compréhension )

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  3. #2
    Magnétar

    Re : Commutateur quantique

    Surement pour les relations d'incertitude d'Heisenberg. Enfin moi je dis ça...

  4. #3
    Bigadin

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'ai lu que dans le cadre de la mécanique quantique, que le commutateur pour la matrice position et la matrice impulsion était :

    .

    Je vois bien qu'un commutateur en général s'annule lorsque les deux éléments sont commutatifs, mais je ne vois pas à quoi sert de définir ce commutateur pour les matrices positions et impulsions...

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner ? (et en espérant que la réponse ne dépasse pas trop ma capacité de compréhension )

    Merci d'avance
    Phys2
    En MQ on parle plutot d'opérateur que de matrices
    Ensuite pour voir d'ou vient cette valeur du commutateur il faut remonter à la mécanique analytique et aux crochets de poisson...

  5. #4
    WeinbergJr

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'ai lu que dans le cadre de la mécanique quantique, que le commutateur pour la matrice position et la matrice impulsion était :

    .

    Je vois bien qu'un commutateur en général s'annule lorsque les deux éléments sont commutatifs, mais je ne vois pas à quoi sert de définir ce commutateur pour les matrices positions et impulsions...

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner ? (et en espérant que la réponse ne dépasse pas trop ma capacité de compréhension )

    Merci d'avance
    Phys2
    Question intéressante ! réponse plutôt embarassante...

    Tout d'abord, la vrai relation est
    bon, ça ne change pas beaucoup notre propos mais bon...

    ensuite, sans vouloir vous offenser, et non pas parce que je ne souhaite vous répondre, c'est impossible à vous expliquer sur un forum (ou alros, il faudrait écrire au moins 300 lignes, et encore ça serait du 'achement compact !!!)

    Je peux évidemment vous donne une explication "savante", mais vous n'y comprendrez pas grand'chose, ça ne serait guêre utile... Je peux tout au plus vous fournir quelques indices si :
    1. 1) vous savez à peu près ce qu'est un vecteur propre par rapport à une matrice...
    2. 2) vous savez ce que c'est qu'une onde écrite sous forme complexe, et vous savez dériver.

    si l'un de ces points vous dit qqch, je pourrais peut-être vous expliquer. Dans le cas contraire, il faudra vous montrer patient avant de pouvoir attaquer cela de manière franche, complète et mathématique !

    Cordialement,
    "[In science] Ignorance is no shame"... E Zee, "QFT in a Nutshell".

  6. #5
    Magnétar

    Re : Commutateur quantique

    1. 1) vous savez à peu près ce qu'est un vecteur propre par rapport à une matrice...
    2. 2) vous savez ce que c'est qu'une onde écrite sous forme complexe, et vous savez dériver.
    Je voudrais pas répondre à sa place mais je pense qu'il sait, en fait j'en suis presque certain...enfin je peux me tromper.

    Et puis comme moi je sais et que je veux savoir et bien je suis pas contre une petite explication eh eh....

    Merci d'avance.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    WeinbergJr

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Magnétar Voir le message
    Je voudrais pas répondre à sa place mais je pense qu'il sait, en fait j'en suis presque certain...enfin je peux me tromper.

    Et puis comme moi je sais et que je veux savoir et bien je suis pas contre une petite explication eh eh....

    Merci d'avance.
    Ok alors va pour l'approche avec les dérivées et les ondes ^^

    A l'instar de la mécanique classique, la mécanique quantique affuble une onde, appelée onde de matière, à chaque corpuscule. Pourquoi ? Parce qu'on observe des phénomènes de diffraction, tout comme en optique, quand on bombarde par exemple un cristal (un espèce de "réseau" en 3D...) avec des neutrons ou des électrons. Donc, il faut y mettre une description ondulatoire.

    Pour une onde plane (peu importe ici la manière de la normaliser, ça ne changera pas grand'chose à l'affaire...) : est le vecteur d'onde...

    En réalité, les ondes ne sont pas planes... Elles sont plutôt une superposition d'ondes planes (on néglige le terme temporel, si la fréquence est bien définie) :



    est l'amplitude complexe de l'onde de matière.

    Jouons le jeu des devinettes (en clair on partira des relations de commutation). On cherche une représentation de ces matrices. Je propose :


    En effet, soit une fonction de x. Calculons

    et aussi

    faisons la différence de ces deux lignes :

    ceci étant vrai :

    donc on a bien une représentation des deux matrices (on a la même algèbre) !!!

    Maintenant, le dessert : lorsqu'on a une onde complexe, en optique, la densité d'énergie est proportionnelle au module carré de l'onde au point où l'on regarde...

    ...que signifie ? Réponse : c'est la densité locale d'énergie de l'onde de matière (à un coeff de proportionnalité près, cf la normalisation à réaliser au-dessus).

    Or, une densité d'énergie indique la présence de quelquechose au point où l'on regarde...

    D'où l'interprétation de Copenhague : est proportionnelle à la densité de probabilité d'observer la particule en !

    C'est une densité de proba (non normalisée)... On peut s'en servir pour calculer des moyennes, par exemple la moyenne du carré de la position :



    (on a divisé par une intégrale équivalent à la pondération).

    idem pour la moyenne de la position :



    ce qui permet de calculer l'écart-type (l'incertitude en position qu'on a de la particule) :



    Il reste à calculer la moyenne en quantité de mouvement... Pas simple, il s'agit de montrer en fait que c'est donné par la formule :



    Y'a aussi une formule pour la moyenne du carré de la quantité de mouvement :



    (ces deux dernières formules ne se devinent pas, elles se déduisent d'un calcul... Mais ça serait un peu long à développer ici.)

    On a donc aussi une formule pour l'écart-type dû à notre méconnaissance de la quantité de mouvement exacte :


    Eh bien, il se trouve qu'un théorème mathématique affirme que, quelle que soit la fonction d'onde que l'on prend (à condition que la densité de probabilité, ie à un coef de proportionnalité près, ait une intégrale finie : il faut pas que la proba totale, somme de toutes les probas, soit infinie ), quand on calcule ces deux écarts-type pour une même fonction-d'onde, on a toujours l'inégalité :



    avec une égalité si la fonction d'onde est gaussienne ^^ cette dernière équation est pile "l'inégalité d'Heisenberg", comme quoi, tout se retrouve avec les fonctions d'onde (ce formalisme existe, je ne l'ai pas inventé. Il s'agit du point de vue, en partie, de Schrödinger) !!!

    ...et pour conclure en revenant du le sujet du post : on définit des matrices qui ne commutent pas pour avoir les inégalités d'Heisenberg...

    Cordialement,
    "[In science] Ignorance is no shame"... E Zee, "QFT in a Nutshell".

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  10. #7
    PopolAuQuébec

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'ai lu que dans le cadre de la mécanique quantique, que le commutateur pour la matrice position et la matrice impulsion était :

    .

    Je vois bien qu'un commutateur en général s'annule lorsque les deux éléments sont commutatifs, mais je ne vois pas à quoi sert de définir ce commutateur pour les matrices positions et impulsions...

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner ? (et en espérant que la réponse ne dépasse pas trop ma capacité de compréhension )
    Salut,

    L'intérêt de définir (et de calculer) le commutateur de deux opérateurs et hermitiques est qu'il permet de calculer plus simplement le produit , où et sont les écarts-type (racine carrée de la variance) de l'étalement des valeurs de et respectivement.

    En effet, si : , alors on peut démontrer que l'on a: , où est la valeur absolue de la valeur moyenne de l'opérateur hermitique .

  11. #8
    GrisBleu

    Re : Commutateur quantique

    Salut

    De maniere simple, si deux matrices (ou operatuers) commutent, ils peuvent etre diagonaliser dans une meme base. Comme P et X ne commutent pas, il n existe pas pas de base de diagonalisation commune.

    La consequnce est qu un vecteur propre de X n est pas vecteur propre de P: si tu mesures X, tu obtiens l etat x, puis tu mesures P et obtiens p. Mais p n est pas un etate pur de X, tu as perdu l information sur X (Xp different de x)...

    C est la base des relations d incertitudes.

    @+

  12. #9
    PopolAuQuébec

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    L'intérêt de définir (et de calculer) le commutateur de deux opérateurs et hermitiques est qu'il permet de calculer plus simplement le produit ,...
    Pour être plus exact, j'aurais dû dire:

    " L'intérêt de définir (et de calculer) le commutateur de deux opérateurs et hermitiques est qu'il permet de calculer facilement une limite inférieure au produit "

  13. #10
    Magnétar

    Re : Commutateur quantique

    Merci beaucoup à WeinbergJr (et aux autres) pour sa démo très instructives (et qui a levé un flou dans la démo que je connaissais).

    Je suppose que l'on calcul et , non ?

  14. #11
    Lazy Photon

    Re : Commutateur quantique

    Salut,
    heuu je ne suis pas vraiment d'accord weinbergjr sur la connotation que tu donne a onde ... en fait tu veux parle d'onde d'amplutude de proba (psi..) et d'onde dans le sens classique.
    Je crois que ca peut etre ambigue....

  15. #12
    Coincoin

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Magnétar Voir le message
    Je suppose que l'on calcul et , non ?
    Par définition de la moyenne : . Bref, un moyenne bête et méchante
    Encore une victoire de Canard !

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  17. #13
    invite54165721

    Re : Commutateur quantique

    Bonjour,

    En théorie des champs, les commutateurs s'introduisent également pour des raisons algébriques en liaison avec les algèbres de Lie.

    A partir d'un état entrant |in> la façon la plus simple d'obtenir un état sortant est d'agir sur lui par un couple d'opérateurs: un d'annihilation puis un autre de création. La forme la plus générale pour de telles opérations pouvant s'écrire

    De tels opérateurs quand ils laissent inchangées les probabiliés des réactions (s'ils commutent avec l'Hamiltonien) sont des générateurs de symétrie.

    Ces générateurs forment un espace vectoriel sur lequel on cherche un produit: une façon de trouver à partir de deux générateurs B1 et B2 un nouveau générateur B3. On peut essayer B1*B2 mais ca ne convient pas car il contient 2 opérateurs de création et 2 d'annihilation.
    La façon la plus naturelle est ensuite d'essayer B1*B2 - B2*B1 en espérant que la soustraction fera disparaitre les "termes de degré 4" et c'est bien ce qui se passe en utilisant les règles de quantification du type

    On forme ainsi avec le commutateur une loi produit pour les algèbres de Lie.

    De la même façon en supersymétrie on devra introduire de plus l'anticommutateur pour mixer de nouveaux générateurs qui y apparaissent.

  18. #14
    Seirios

    Re : Commutateur quantique

    Merci à tous pour vos explications
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  19. #15
    WeinbergJr

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Lazy Photon Voir le message
    Salut,
    heuu je ne suis pas vraiment d'accord weinbergjr sur la connotation que tu donne a onde ... en fait tu veux parle d'onde d'amplutude de proba (psi..) et d'onde dans le sens classique.
    Je crois que ca peut etre ambigue....
    Bonjour désolé pour le retard je n'avais pas vu qu'il y a eu contre réaction !

    Quoiqu'il en soit, j'ai volontairement négligé cet aspect, après tout la personne concernée par le post est loin de connaître la théorie quantique des champs - à propos, en QFT, il n'y pas d'onde... Juste des états d'excitation... Les interférences quantiques n'apparaissent dans ce cadre que parce qu'il y a un mélange des amplitudes de transition entre un état initial et un état final

    Cordialement,
    "[In science] Ignorance is no shame"... E Zee, "QFT in a Nutshell".

  20. #16
    Izanagi

    Re : Commutateur quantique

    Salut à tous,

    Je profite de cet ancien sujet pour poser une question qui m'interpelle.

    Nous savons tous que les régles de quantification canoniques pour l'énergie, l'impulsion, et les positions correspondent à associer les variables classiques aux opérateurs quantique en représentation de position.

    Qu'en est il pour les crochets de Poisson???? Par quelle moyen parvient on à construire un commutateur à partir d'un crochet de Poisson???

    Au point où je suis dans ma réflexion, je me dis que les régles de quantification canoniques des variables dynamiques sont sans doute équivalentes aux régles de quantification canonique des crochets de Poison. Je les prends donc comme point de départ.

    Si j'ai un crochet de Poisson de deux fonctions F(x,p) et G(x, p), je comprend que ces deux là vont me donner deux opérateurs en mécanique quantique du type F(x, -id/dx) et G(x, -id/dx) (h=1/2pi). Ce qui me dérange, c'est la dérivation de ces operateurs quant on en fait le crochet de Poisson. Cela me donnerait la dérivée d'un operateur par rapport à un autre, cela me fais un peu penser à des dérivées fonctionnelles mais comme je n'y connais pas grand chose, j'aimerais qu'on me mette sur la voie.

  21. #17
    Karibou Blanc

    Re : Commutateur quantique

    Par quelle moyen parvient on à construire un commutateur à partir d'un crochet de Poisson???
    C'est une définition. Ce qu'on appelle une procédure de quantification dite canonique (rapport au role du crochet de Poisson dans les transformations canoniques de la mécanique analytique). Les variables dynamiques de l'espace des phases sont remplacées par des opérateurs agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert, et les crochets de Poisson sont remplacés par des lois de commutation entre ces opérateurs au facteur i.hbar pres.

    Ce qui me dérange, c'est la dérivation de ces operateurs quant on en fait le crochet de Poisson.
    Je ne vois pas ou est ton probleme.
    Well, life is tough and then you graduate !

  22. #18
    Izanagi

    Re : Commutateur quantique

    Je le comprend bien. D'après toi, la quantification des crochets de Poisson se fait sans aucune justification, mis a part que dans la representation de Heisenberg, les évolution des opérateurs sont similaires à la dynamique classique avec des commutateurs à la place des crochets de Poisson???Pareil pour l'évolution temporelle??? Dans ce cas là, on procède par identification??!!

    Quantifiez les variables dynamiques est aisé puisque cela rentre dans le formalisme de la mécanique quantique, notamment que les grandeurs physique deviennent des opérateurs, bla, bla....

    Moi, j'aimerais comprendre le processus d'apparition du commutateur quand on quantifie canoniquement les variables dynamiques du crochet de Poisson. Après tout, le crochet de Poisson n'est qu'une grandeur physique dépendant de x et p. On devrait donc pouvoir explicitement le quantifier par remplacement par x et -id/dx dans les deux fonctions en entrée du crochet pour qu'il en sorte une commutation entre ces deux fonctions????

    Jusqu'à présent, cela ne me génait pas pour interpréter la mecanique quantique parce que les crochets de Poisson était resté sous silence. Néanmoins, la quantification des champs passe par cela et j'ai du mal à trouver une justification dans cette manière de rejoindre la mecanique quantique.

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  24. #19
    PopolAuQuébec

    Re : Commutateur quantique

    Citation Envoyé par Izanagi Voir le message
    Nous savons tous que les régles de quantification canoniques pour l'énergie, l'impulsion, et les positions correspondent à associer les variables classiques aux opérateurs quantique en représentation de position.

    Qu'en est il pour les crochets de Poisson???? Par quelle moyen parvient on à construire un commutateur à partir d'un crochet de Poisson???
    Salut,

    Si tu peux te procurer le volume Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, 1970, tu y trouveras des réponses à tes questions à la section 15.2 The quantization postulates


    Il y est notamment démontré qu'une fois postulées les relations de commutation fondamentales entre les opérateurs hermitiques associés aux q et aux p, on a :





    est le commutateur de deux opérateurs et qui sont des fonctions des opérateurs et qui peuvent être exprimées sous forme de développements en série

    et est le crochet de Poisson des fonctions "classiques" et associées respectivement à et

    En gros, la façon de comprendre pourquoi les dérivées (d'ordre 1) apparaissent dans le cas classique est la suivante: quand on fait le développement en série des opérateurs et et que l'on calcule le commutateur des deux expressions obtenues, les termes d'ordre 0 disparaissent car ils commutent. Les termes d'ordre supérieur à 1 disparaissent lorsque lon prend la limite . Il ne reste alors que les dérivées d'ordre 1.

  25. #20
    BioBen

    Re : Commutateur quantique

    A ma connaissance les relations de commutation font parties des postulats de la MQ (de la QFT).... c'est effectivement une transposition du crochet de Poisson en mécanique classique, mais il n'y a pas d'autres justifications à priori (à part que ca marche parfaitement).

  26. #21
    Gwyddon

    Re : Commutateur quantique

    Une manière intéressante de s'en faire une idée c'est de regarder la MQ par intégrale de chemin : où l'on voit que si l'on n'impose pas la relation de commutation, on a toute la MQ qui s'effondre
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  27. #22
    Karibou Blanc

    Re : Commutateur quantique

    Moi, j'aimerais comprendre le processus d'apparition du commutateur quand on quantifie canoniquement les variables dynamiques du crochet de Poisson.
    Le crochet de Poisson si tu regardes sa forme est aussi une sorte de commutateur.
    Jusqu'à présent, cela ne me génait pas pour interpréter la mecanique quantique parce que les crochets de Poisson était resté sous silence.
    Formellement la mecanique quantique est une mécanique analytique (formalisme hamiltonien) à laquelle on a ajouté l'aspect probabiliste (et la possibilité d'états superposés) ce qui est représenté par une structure d'espace vectoriel complexe particulier qu'on appelle l'espace de Hilbert.

    et la limite classique est ainsi aisément recouvrée grace à la limite présentée sous cette phrase :

    Il y est notamment démontré qu'une fois postulées les relations de commutation fondamentales entre les opérateurs hermitiques associés aux q et aux p, on a :
    Well, life is tough and then you graduate !

  28. #23
    Izanagi

    Re : Commutateur quantique

    Merci beaucoup à tous,

    Je vais faire un tour dans la référence de Popol, c'est exactement ce que je recherche.

    Je vous remercie beaucoup pour vos réponses....

  29. #24
    hass

    Re : Commutateur quantique

    pour calculer le commutater[X P] je ponce qu'il faux l'appliqué a une F_O et donc [X P][ψ> = XP[ψ>PX[ψ> sachant que l'observable associée à X est x est celle de P est jħ

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  31. #25
    hass

    Re : Commutateur quantique

    [QUOTE=hass;1389424]pour calculer le commutater[X P] je ponce qu'il faux l'appliqué a une F_O et donc [X P][ψ> = XP[ψ>PX[ψ> sachant que l'observable associée à X est x est celle de P est jħd/dx

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