Paradoxe en mecanique quantique

[invitea099e799]

Bonjour, je dois trouver l'erreur dans un sois disant paradoxe en mecanique quantique. Le probleme est que, en prennant le ket propre de l'operateur P , soit |p>, que je normalise avec un tour de force en utilisant une condition de periodicite et en reduisant donc l'intervalle d'integration. Je cherche ensuite la moyenne du commutateur [P,X] dans l'etat propre |p> tel que

<[P,X]>= <-ih>=-ih

et pourtant :

<p|(PX-XP)|p>=p<p|X-X|p>=p<p|0|p>=0 car P|p>=p|p> et <p|P=<p|p

donc h=0 (et voila mon paradoxe !)

Ou est l'erreur ?
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[Sylvestre]

Bonjour, je dois trouver l'erreur dans un sois disant paradoxe en mecanique quantique. Le probleme est que, en prennant le ket propre de l'operateur P , soit |p>, que je normalise avec un tour de force en utilisant une condition de periodicite et en reduisant donc l'intervalle d'integration. Je cherche ensuite la moyenne du commutateur [P,X] dans l'etat propre |p> tel que

<[P,X]>= <-ih>=-ih

et pourtant :

<p|(PX-XP)|p>=p<p|X-X|p>=p<p|0|p>=0 car P|p>=p|p> et <p|P=<p|p

donc h=0 (et voila mon paradoxe !)

Ou est l'erreur ?

Salut,

A mon avis, il y a d'abord une erreur en écrivant . Cela n'a pas de sens. Ensuite, il y a une erreur, car le raisonnement de la ligne suivante ne tiens que si la valeur propre est réelle.

De plus, et c'est la plus importante erreur,[P,X] n'est pas un opérateur car, il n'est pas autoadjoint, on ne peut donc lui appliquer une moyenne sur les observations.

[yahou]

De plus, et c'est la plus importante erreur,[P,X] n'est pas un opérateur car, il n'est pas autoadjoint, on ne peut donc lui appliquer une moyenne sur les observations.

[P,X] est bien un opérateur, en revanche il n'est effectivement pas autoadjoint (il est l'opposé de son adjoint).

le raisonnement de la ligne suivante ne tiens que si la valeur propre est réelle

La valeur propre de P est bien réelle, puisque P est autoadjoint.

A mon avis, il y a d'abord une erreur en écrivant . Cela n'a pas de sens.

Je pense aussi que ça vient de là : la notation <p|[P,X]|p>, qui correspond à la prise de deux produit scalaires, n'a de sens que si <p|([P,X]|p>)=(<p|[P,X])|p>, c'est-à-dire si l'ordre dans lequel on prend les deux produits scalaires est indifférent. Cette condition est réalisé si l'opérateur au milieu est autoadjoint.

Ici [X,P] est anti-autoadjoint, donc <p|([P,X]|p>)=-(<p|[P,X])|p>.

En conclusion, on a utilisé <p|([P,X]|p>)=-(<p|[P,X])|p> et <p|([P,X]|p>)=(<p|[P,X])|p>, ce qui conduit bien à <p|([P,X]|p>)=0.

[invitefa5fd80c]

...que je normalise avec un tour de force en utilisant une condition de periodicite et en reduisant donc l'intervalle d'integration...

Bonjour, c'est là la source du problème. La valeur moyenne, telle que définie en MQ, nécessite des fonctions de carré sommable. Or le vecteur qui satisfait à P|p>=p|p> ne correspond pas à une fonction de carré sommable (dans la représentation X). On peut tout au plus l'approximer par une telle fonction, c'est-à-dire une fonction limitée à une région de dimension L "très grande" mais finie, et pour une telle fonction la valeur moyenne de est toujours non-nulle et plus grande ou égale à

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

Le raisonnement qui dit qu' on ne peut pas prendre la valeur moyenne d'un opérateur hermitique ne tient pas la route :

dXdP > h/2

car

dAdB > |<[A,B]>|

et |<[P,X]>| = h

donc

dXdP > h/2

Bonjour, c'est là la source du problème. La valeur moyenne, telle que définie en MQ, nécessite des fonctions de carré sommable. Or le vecteur qui satisfait à P|p>=p|p> ne correspond pas à une fonction de carré sommable (dans la représentation X). On peut tout au plus l'approximer par une telle fonction, c'est-à-dire une fonction limitée à une région de dimension L "très grande" mais finie, et pour une telle fonction la valeur moyenne de est toujours non-nulle et plus grande ou égale à

Je suis pas tout a fait daccod. En fait j'avoue qu'il a quelque chose de tres louche dans l'énoncé, mais partant du fait qù'il est possible de normalisé la function |p>, est-ce qu'il est possible de trouver une autre erreur dans le développement ?

Par exemple, on sait que

[P,X] = -ih pour tout ket !

et donc en développant on a

<p|PX-XP|p>=0
p<p|0|p> = p*0<p|p> = ?????

Si |p> est normalisable on a assurément 0, si |p> est non normalisable on a quelque chose comme

-ih = p * 0 * infini = 0 ?

[yahou]

Le raisonnement qui dit qu' on ne peut pas prendre la valeur moyenne d'un opérateur hermitique ne tient pas la route
[...]
dAdB > |<[A,B]>|

Je disais que définir la valeur moyenne de cette façon pour opérateur NON hermitique pose problème, puisque cette moyenne dépend si l'on applique l'opérateur à gauche ou à droite. Ca n'empêche pas de définir une sorte de valeur moyenne, mais il faut préciser la convention choisie.

Pour l'inégalité d'Heisenberg ça ne pose pas de problème car le commutateur de deux opérateurs hermitiques est anti-hermitique, ie le choix de convention précédent ne change que le signe, ce qui ne change rien au résultat final puisqu'on prend la valeur absolue.

This gives one form of the Robertson-Schrödinger relation:

,

where the operator [A,B] = AB - BA denotes the commutator of A and B.

To make the physical meaning of this inequality more directly apparent, it is often written in the equivalent form:



where

Ici la convention prise est d'appliquer X à droite.

[invitefa5fd80c]

...mais partant du fait qù'il est possible de normalisé la function |p>, est-ce qu'il est possible de trouver une autre erreur dans le développement ?

Bonjour,

Il ne me semble pas y avoir d'autre erreur dans le développement.

Considérons le cas unidimensionnel pour éviter les complications inutiles et dénotons par l'opérateur adjoint de l'opérateur

Supposons donc que le produit scalaire soit défini, c'est-à-dire possède une valeur finie.

On a :



Pour le terme , on a :



Pour l’autre terme , on a :



Définissant par , on a donc :



Le bra est le bra conjugué de . Mais étant hermitique, on a . Le bra conjugué de est donc car est un nombre réel.

Par conséquent :



Donc , c’est-à-dire

À moins d'une erreur, c'est donc incontournable.

Par conséquent, la seule possibilité pour lever la contradiction est que le produit scalaire ne soit pas défini, c'est-à-dire ne possède pas une valeur finie. Et c’est effectivement le cas, car dans la représentation le vecteur propre de ayant pour valeur propre est :
et la fonction n’est pas de carré sommable.

[invitefa5fd80c]

Et c’est effectivement le cas, car dans la représentation le vecteur propre de ayant pour valeur propre est :
et la fonction n’est pas de carré sommable.

Ceci est vrai lorsque l'on considère que l'intervalle de définition de est , ce qui amène la question suivante: Qu'arrive-t'il dans un univers homogène et isotrope à topologie fermée ?

[yahou]

À moins d'une erreur, c'est donc incontournable.

Exact. J'aurais dû écrire le développement avant de poster...

[invitea01d101a]

Bonjour, c'est là la source du problème. La valeur moyenne, telle que définie en MQ, nécessite des fonctions de carré sommable. Or le vecteur qui satisfait à P|p>=p|p> ne correspond pas à une fonction de carré sommable (dans la représentation X). On peut tout au plus l'approximer par une telle fonction, c'est-à-dire une fonction limitée à une région de dimension L "très grande" mais finie, et pour une telle fonction la valeur moyenne de est toujours non-nulle et plus grande ou égale à

bonsoir,

pourquoi faut-il toujours que j'arrive après la bataille ???

Cela dit, c'est bien PopolAuQuébec qui détient la bonne réponse n'est pas un état de carré sommable dans la représentation

Cordialement,

[invite4b31cbd7]

D'accord, mais il y a-t-il moyen de contourner ce problème, c'est-à-dire de rendre |p> de carré sommable.

Je pense entre autre à rendre la fonction périodique et restreindre l'intervalle d'intégration, comme si on était dans un univers fini.

[invitefa5fd80c]

...et pour une telle fonction la valeur moyenne de est toujours non-nulle et plus grande ou égale à

Oups !
C'est vrai, mais il serait encore plus vrai de dire que la valeur moyenne de est toujours égale à 1, car l'opérateur est égal à l'opérateur identité.

Et c’est effectivement le cas, car dans la représentation le vecteur propre de ayant pour valeur propre est :
et la fonction n’est pas de carré sommable.

Autre petite correction

[invitefa5fd80c]

D'accord, mais il y a-t-il moyen de contourner ce problème, c'est-à-dire de rendre |p> de carré sommable.

Je pense entre autre à rendre la fonction périodique et restreindre l'intervalle d'intégration, comme si on était dans un univers fini.

Si est définie sur tout l'espace, on doit intégrer sur tout l'espace pour avoir la valeur moyenne : on ne peut pas arbitrairement intégrer que sur une partie de l'espace.

A priori, on pourrait restreindre à une région de dimension finie et poser que est nulle hors de la région de la façon suivante:




On a bien alors partout dans l'espace. Mais doit satisfaire à l'équation de Schrödinger indépendante du temps partout dans l'espace. Cette équation est une équation du second degré en et donc et doivent toutes deux être continues et différentiables partout. À la frontière de la région , et ne sont pas continues pour la fonction définie ci-haut.


Par contre si on considère que l'on est dans un univers fini comme tu le suggères et comme je l'ai proposé plus haut :

Ceci est vrai lorsque l'on considère que l'intervalle de définition de est , ce qui amène la question suivante: Qu'arrive-t'il dans un univers homogène et isotrope à topologie fermée ?

alors à première vue on a un problème. En effet, de par la définition même de l'opérateur . Si on se trouve dans un espace-temps à deux dimensions (une d'espace et une de temps) à topologie fermée et à géométrie euclidienne, alors les vecteurs propres de sont de carré sommable, sauf que l'on a ici un spectre discret en raison de la nécessité de continuité de et de . Par conséquent si on reprend le raisonnement du premier post, on arrive bel et bien à un paradoxe dans ce cas. Quelqu'un a une idée ?

[invite4b31cbd7]

Et si les fonctions propres de P sont en effet défini sur tout l'espace, mais qu'elle sont périodiques, et donc ça donne rien d'intégrer sur tout l'espace quant on sait que ca va donner le même résultat ailleurs. Donc, on intègre juste sur une période.

[invite4b31cbd7]

Si les fonctions sont donc périodiques, en considérant que celles-ci décrivent avant tout une probabilité, il me parait alors naturelle de restreindre l'intervalle d'intégration pour faire des calculs de probabilité. Ainsi, l'erreur pourrait-elle provenir de l'écriture en ket/bra qui ne fait de sens que si on travaille sur tout l'intervalle ?

Mais une façon encore plus simple de clore le débat, expliqué l'erreur dans :

P|p> = p|p> 

En représentation X :

-ih d/dx . p(x) = p . p(x)

Toutefois : 

<p|P = <p|p

en représentation X :

p(x) . (-ih d/dx)  =/= p . (p*(x))

(où =/= veut dire n'égale pas)