4ème dimension dans un hypercube : qu'est-ce que c'est ?

[invite7fbfc161]

Bonjour,
ne sachant pas exactement si cela relevait entièrement des mathématiques ou de la physique, je tente ma question ici :
suite à la lecture du sujet " hypercube et rotation" ( rubrique mathématiques), j'ai été voir sur plusieurs sites pour voir à quoi ressemblait un hypercube ( connaissais pas auparavent).
Et on nous dit que c'est un "cube à 4 dimensions " ( à peu près).

Mais d'où sort cette 4ème dimension ? (et si j'ai bien compris, il y en a d'autres ? corrigez-moi si ce n'est pas ça) A quoi correspond-t-elle ?
Y a-t-il un lien avec les 11 dimensions de la théorie des supercordes ou est-ce complètement différent ?

Merci de m'apporter quelques éclaircissements sur ce sujet.
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[yat]

Il n'y a pas vraiment de lien entre les 4 dimensions de l'hypercube et les 11, 28 ou 1024 dimensions de la théorie des hypercordes.

C'est purement une dimension théorique. On peut faire de la géométrie en 2 dimensions sur une feuille de papier, en 3 dimensions en visualisant les choses dans l'espace, alors mathématiquement on peut étendre à N dimensions. Mais un hypercube n'est absolument pas visualisable dans les trois dimensions spatiales que nous percevons, tout comme on ne peut pas dessiner un cube sur une feuille de papier. Le dessin que l'on fera sera une projection des arètes du cube sur le plan de la feuille de papier. C'est exactement la même chose qui se passe quand on représente un hypercube dans notre univers dont nous percevons trois dimensions spatiales. D'ailleurs la plupart du temps on en fait une représentation sur un plan... ce qui serait équivalent à représenter un cube sur une droite.

...enfin, bon, je ne sais pas si je suis clair, mais en tout cas la quatrième dimension de l'hypercube n'a aucune réalité physique, et est une dimension purement théorique. La géométrie en 4 dimensions n'est qu'une extension de la géométrie plane et de la géométrie dans l'espace.

[invite7fbfc161]

Mais alors, ces "N dimensions, si elles ne sont que théoriques, comment/pourquoi les a-t-on découvertes/inventées ( maintenant, je ne sais plus quels mots choisir !) ?

[yat]

Ben à mon niveau, pour diverses raisons : C'est marrant. Ca aide à jongler mentalement entre les dimensions pour comprendre des choses comme l'espace-temps. Ca permet de manipuler (genre, mettre une relation de distance) des données qui sont des vecteurs à plus de trois dimensions...

Maintenant, si tu veux quelque chose de plus sérieux, je laisse la main aux autorités locales compétentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c514936]

Il y a pas mal de situations dans lesquelles on peut introduire des espaces à plus de 3 dimensions. Je te donne juste un exemple :

Imagine que tu mesures la pression, la température, le volume d'un gaz, et le nombre de moles d'un gaz, dans plein de conditions différentes (en prenant plein de combinaisons de paramètres différentes). Il est commode d'imaginer que chaque mesure est un point dans un espace à 4 dimensions, où tu mettrais sur chaque axe la valeur d'un paramètre. En faisant de la géométrie dans cet espace à quatre dimensions, tu t'apercevrais que tous les points de tes mesures seraient "alignés" dans cet espace à quatre dimensions, ce que tu traduirais par le fait que ces quatre paramètres sont reliés entre eux (c'est la loi des gaz parfaits pV=nRT).

En relisant ça, je me dis qu'on doit pouvoir trouver des exemples plus judicieux...

Un autre exemple plus formel, quand tu veux résoudre un système de N équations linéaires couplées, ça se fait de façon beaucoup plus simple dans un espace de dimension N...

[invitea4b4a777]

Mais alors, ces "N dimensions, si elles ne sont que théoriques, comment/pourquoi les a-t-on découvertes/inventées ( maintenant, je ne sais plus quels mots choisir !) ?

Ben en fait, y a theorique et theorique.

Si on prend la 4eme dimension de notre espace-temps en 4 dimension, ben c'est le temps. On peut le représenté sur une droite. Mais l'avantage avec les dimension "superieur", c'est que sur le meme objet abstrait, tu représente tout les points. Dans la realité, un evenement est defini avec 4 coordonées, les 3 spatiale et la temporelle (le 12 septembre 1674). Les mathematiciens et physiciens aime bien avoir tout sous la main, alors ils représente ca dans des hypercubes, des bouteilles de moebus, etc...

En se qui concerne les theories a N dimension (genre les cordes a 11 dimension), ca leur permet de definir un evenement (ou une particule, dans ce cas) aux moyen de coordonné dans un systeme complet. Vu qu'une particule as plusieurs parametre qui la différencie d'une autre (du meme type ou d'un autre), ben je suppose qu'ils leurs faut 11 coordonées pour la definir, dans un meme espace (en 11 dimension).

[invite8ef897e4]

En se qui concerne les theories a N dimension (genre les cordes a 11 dimension), ca leur permet de definir un evenement (ou une particule, dans ce cas) aux moyen de coordonné dans un systeme complet. Vu qu'une particule as plusieurs parametre qui la différencie d'une autre (du meme type ou d'un autre), ben je suppose qu'ils leurs faut 11 coordonées pour la definir, dans un meme espace (en 11 dimension).

C'est faux !
Le nombre de dimensions est d'abord laissé libre. Ensuite lorsque l'on développe la théorie, on doit toujours s'assurer d'être cohérent, d'écrire des équations qui ont un sens physique. En l'occurence, il s'agit d'invariance de Lorentz ! Pour que les notions de distances et angles soient bien définies, il est nécessaire que le nombre de dimensions de l'espace-temps soit fixé (26 pour les cordes bosoniques, 11 pour les supercordes).

[invite9578a63f]

dis moi humanino a partir de quel moment on peut s'intéresser et étudier tous ces phénomènes: théorie des cordes 11 dimensions, etc?

[invite7fbfc161]

Merci pour toutes ces réponses.
Il me vient maintenant une question d'ordre plus "pratique" :
Comment va se manifester précisément un hypercube visuellement,
sachant, si j'ai bien compris ( en fin, en espérant ... ), qu'il n'y a pas d'hypercube visible physiquement ?
Par exemple, si on se retrouve devans un hypercube en pleine nature ( imaginons ...à moins que ce ne soit pas du tout envisageable), à quoi va-t-il ressembler ?

Et sur papier, comment à-t-on procédé pour "retranscrire" un "objet" en n dimensions en du deux dimensions ?

Allez, une deuxième - non troisième - question : sur une page que j'ai trouvée, on voit donc un carré en première figure ( 4 points, quatre segments), puis vient une deuxième que l'on pourrait nommer "hexagone" ( 6 points + 1 point au centre, 6 segments reliant les 6 points "extérieurs" entre eux et 6 autres reliant chaque point à celui du centre), puis un "octogone" ( 8 points extérieurs, et au centre, une sorte d'étoile à 8 branches, contenant elle-même une autre étoile à 8 branche, tout cela reliés entre eux), puis ensuite un dodécagone et on termine sur un "cercle ".

ma question sera simple, c'est quoi ?



En fait, plutôt que la description qui ne'st pas très représentative, voici la page où j'ai trouvé ça : [URL=http://mathworld.wolfram.com/Hypercube.html][URL=http://mathsworld.wolfram.com/Hypercube.html[/URL]
Ce sont les représentations avec les points rouges.

[yat]

Il me vient maintenant une question d'ordre plus "pratique" :
Comment va se manifester précisément un hypercube visuellement,
sachant, si j'ai bien compris ( en fin, en espérant ... ), qu'il n'y a pas d'hypercube visible physiquement ?
Par exemple, si on se retrouve devans un hypercube en pleine nature ( imaginons ...à moins que ce ne soit pas du tout envisageable), à quoi va-t-il ressembler ?

Ouaouh...
En effet, ça semble difficilement envisageable... quoique...
Si on prend comme quatrième dimension le temps, un hypercube, c'est simplement un cube qui apparait, reste là quelques instants, puis disparait.
Si la quatrième dimension de l'hypercube est une autre dimension spatiale, on peut imaginer plusieurs choses : Si ce que tu en vois est l'intersection de l'hypercube avec notre univers perçu en 3D, ça donnera... peut-être un cube ! Et peut-être un autre polyèdre à 6 faces, et peut-être un autre polyèdre, avec des faces internes... excuse mon manque de précision, mais à cette heure-ci ma visualisation 4D est un peu faible.
Si par contre tu vois une projection du cube dans notre hyperplan (désolé, j'ai pas pu m'en empêcher. Je parle de notre univers 3D, vu dans un univers 4D, qui contient l'hypercube), on risque de voir deux cubes (peut-être un peu déformés), avec chaque arète du premier reliée par une face à l'arète correspondante du deuxième.

Et sur papier, comment à-t-on procédé pour "retranscrire" un "objet" en n dimensions en du deux dimensions ?

Bah par simple projection. Selon un point ou simplement selon une direction, en fonction de la perspective utilisée. Tu n'as jamais dessiné un cube sur une feuille de papier ?

Allez, une deuxième - non troisième - question : sur une page que j'ai trouvée, on voit donc un carré en première figure ( 4 points, quatre segments), puis vient une deuxième que l'on pourrait nommer "hexagone" ( 6 points + 1 point au centre, 6 segments reliant les 6 points "extérieurs" entre eux et 6 autres reliant chaque point à celui du centre), puis un "octogone" ( 8 points extérieurs, et au centre, une sorte d'étoile à 8 branches, contenant elle-même une autre étoile à 8 branche, tout cela reliés entre eux), puis ensuite un dodécagone et on termine sur un "cercle ".

ma question sera simple, c'est quoi ?

C'est un carré, un cube, un hypercube 4D, un hypercube 5D.... le tout projeté selon une direction (perpective isométrique, donc) sur une surface 2D : ton écran.

[invite7fbfc161]

Bah par simple projection. Selon un point ou simplement selon une direction, en fonction de la perspective utilisée. Tu n'as jamais dessiné un cube sur une feuille de papier ?.

Si !
En fait, c'est la notion de " + de 3 dimensions" qui me gênait un peu.
Vu qu'en plus, la 4 D n'est pas forcément "visible" ( au sens n'est ni L, ni l, ni P...), au départ, faut le temps de se rentrer certaines idées dans la tête.

C'est un carré, un cube, un hypercube 4D, un hypercube 5D.... le tout projeté selon une direction (perpective isométrique, donc) sur une surface 2D : ton écran.

ok, en fait, c'est comme pour la ligne de représentations d'au dessus: sauf que j'avais pas remarqué que c'était la même chose : en haut, hypercube, en bas "octogone"; alors qu'en tu arrives au "cercle", tu te dis "c'est autre chose"...!

Et voilà à quoi ça serre de créer des dimensions à l'infini, on se met à confondre les carrés et les cercles...

[invite7fbfc161]

oups.............
"ça sert", évidemment, et non ça "serre"

[invite8ef897e4]

Par exemple, si on se retrouve devans un hypercube en pleine nature ( imaginons ...à moins que ce ne soit pas du tout envisageable), à quoi va-t-il ressembler ?

ça semble difficile effectivement. Comme décrit par yat, un hypercube peut "traverser" notre univers au mieux. Ou alors s'y projeter. Ca c'est facile !

Et sur papier, comment à-t-on procédé pour "retranscrire" un "objet" en n dimensions en du deux dimensions ?

Voici un hypercube projeté sur un plan :

Je ne fais que collecter :

Si par contre tu vois une projection du cube dans notre hyperplan (désolé, j'ai pas pu m'en empêcher. Je parle de notre univers 3D, vu dans un univers 4D, qui contient l'hypercube), on risque de voir deux cubes (peut-être un peu déformés), avec chaque arète du premier reliée par une face à l'arète correspondante du deuxième.

Allez, une deuxième - non troisième - question : sur une page que j'ai trouvée, on voit donc un carré en première figure ( 4 points, quatre segments), puis vient une deuxième que l'on pourrait nommer "hexagone" ( 6 points + 1 point au centre, 6 segments reliant les 6 points "extérieurs" entre eux et 6 autres reliant chaque point à celui du centre), puis un "octogone" ( 8 points extérieurs, et au centre, une sorte d'étoile à 8 branches, contenant elle-même une autre étoile à 8 branche, tout cela reliés entre eux), puis ensuite un dodécagone et on termine sur un "cercle ".

Voici l'image :

Il s'agit d'une généralisation systématique (utilisant les arrangements combinatoires) de n-cubes pour . C'est gentil, mais moi je ne vois plus rien du tout.

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crédit image : MathWorld, Eric W. Weisstein

[invite8ef897e4]

C'est gentil, mais moi je ne vois plus rien du tout.

Pour ceux qui auraient plus de mal que moi avec la vision dans l'hyper-espace
Le carré tout le monde l'a vu !
Le cube il est en seconde position : projeté le long d'une diagonale, il ressemble à un hexagone : le point rouge au centre cache le sommet opposé ! Vu ?
Le 4-cube en position numéro trois : il y a deux hexagones (en perspective) l'un au dessous de l'autre. Vu ? (c'est pareil que tout à l'heure) Cela laisse 4 points rouges supplémentaires qui font des liens en plus. Concentrez vous longuement sur ce 4-cube projeté, vous pourrez libérer votre conscience du joug temporel, et circuler librement dans l'espace-temps... ou pas Non, sérieusement, oubliez les hexagones : cherchez deux cubes (ordinaires) en perspective : un en bas à gauche et un en haut à droite, ils sont reliés par 8 liens obliques. Alternativement, vous pouvez trouver plein de 3-cubes dans ce 4-cube...

[invite7fbfc161]

OK !
Merci humanino, j'ai compris le truc !

[invite3ba07b63]

Peut-on envisager cette 4° dimension spécifique à l'hypercube de cette façon,avec l'analogie suivante ???
Espace 1 D : Une phrase écrite sur une ligne
espace 2 D : une phrase écrite sur une feuille
espace 3 D : une phrase dans un livre
espace 4 D : une phrase dans une bibliothèque
Cette 4° spatiale dimension engloberait l'espace 3D que nous connaissons, il s'agirait d'un hyper-espace en fait...
Quid d'une hypersphère ?
Hypercube, hypersphère, hypertore, ne sont peut-être que des façons que nous prenons pour découper un hyper-espace ?
Quand Mr Luminet me répond que notre univers est en expansion sur "rien du tout" (hors espace, pas d'espace), ne devrions-nous pas penser que ce "rien du tout" est un hyper-espace ???

[invite7fbfc161]

Quand Mr Luminet me répond que notre univers est en expansion sur "rien du tout" (hors espace, pas d'espace), ne devrions-nous pas penser que ce "rien du tout" est un hyper-espace ???

On sort des limites d'un hypercube, là...
Je préfère ne pas répondre personnellement à cette question, je ne m'y connait pas. Mais vas plutôt voir en astrophysique...

[invite8ef897e4]

Quand Mr Luminet me répond que notre univers est en expansion sur "rien du tout" (hors espace, pas d'espace), ne devrions-nous pas penser que ce "rien du tout" est un hyper-espace ???

Je ne suis pas porte-parole de M. Luminet, Dr. J.P.
Néanmoins, je crois précisément qu'il s'agit de dire que notre Univers n'est pas "contenu" dans autre chose dans ce context. Non pas que c'est impossible, plutôt que ce n'est pas indispensable dans notre compréhension. C'est une hypothèse infalsifiable et inutile dans l'état actuel d'avancement de la cosmologie.

Les spéculations sont permises comme d'habitude, cela va sans dire.

[invitebe3f5b80]

salut la compagnie, hypercube et un peu dur expliquer donc je vais te donner un autre exemple hypersphere ,
prend par exemple en 2D on a un cercle
en variant le rayon de ce cercle entre le rayon = a jusqua rayon= b et de b revenir au rayon = a (tous sa en dessinant chaque cercle obtenu ) tu obtiendra different cercle dans lespace 2d
et maintenant on rajoute la 3eme dimension donc superpose chaque cercle un sur le autre tu obtiendra ta sphere donc on peut considerer la sphere comme une addition de cercle infini
il faut voir cette sphere comme si nous serions des etre qui vive et reflechise en 2d donc pour nous la sphere serait une addition ou succetion des cercle obtenu, mais nous ne verion jamais la sphere juste des cercle qui grossisse jusqua un maximun qui raptisse, maitenant nous somme des etre qui vive et reflichissent en 3d , donc on supposerais que lhyper sphere serait une addition ou superposition de sphere mais nous ne pouvons le voir.
jespere ne pas tavoir trop perdu dans mon raisonement, je sais que c farfelu de dire des etre en 2d mais dans ce monde abstrait qui sont le sciences pures il faut avoir une approche philosophique , (histoire de l'homme dans la caverne). oui 4 variable peuvent etre exprimer comme un systeme a 4 dimension MAIS il serait idiot de dire que cela est la 4eme dimension , par exemple prenons les couleurs , on ne peut voir les ultra couleurs comme lutra violet et ultra rouge car elle ont une frequence trop haute et pourtant nous savons quelle existent , dit toi si tu tentien au raisonement que le temp la vitesse la frequence et la distance exemple de systeme 4 variable et tu prend cela pour acqui tu ne feras pas avancer cette science,

[invite687e0d2b]

nous utilisons la 4d dans beaucoup de domène comme pour "dessiner" l'espace-temps mais je ne pense pas que notre cerveau puisse se représenter un cube a 4D et se demander à quoi ressemblerait un tel cube dans notre espace à 3D ne nous amènerait et ne nous servirait à rien. donc avant de se demander à quoi ça ressemblerai il faudrait essayer de dessiner un cube sur un espace à 1D (une ligne) pour savoir ce que çà fait.

PS: j'ai trouvé sur le net l'image d'un Hcube à 15 dimensions qui ne ressemble à rien...
on dirait une sphère colorée... comment on fait pour insérer une image?

[invite6ae21396]

je dois cruellement manquer d'imagination...
http://mathworld.wolfram.com/Tesseract.html
sur l'image, le plus gros effort que j'arrive à faire est de distinguer le logo de renault en 3d avec un effet de perspective assez original, quant à l'applet java, j'ai beau le retourner dans tous les sens, je ne retrouve a aucun moment l'image a côté, ce qui me semble un peu absurde...
Aidez moi, je veux mon voyage dans la 4eme dimension

[invite6ae21396]

Y a t il une relation entre le ruban de moebius et la 4d ?