Oscillations libre, ondes stationnaires

[invite683ebb55]

Bonjour,
voilà pas mal de temps que je bloque sur une question de mon devoir à faire.
L'intitulé se trouve ici: http://64.233.183.104/search?q=cache...lnk&cd=1&gl=fr
Il s'agit du TD4 sur les cordes vibrantes, III oscillations libres, ondes stationnaires.
Je bloque (déjà...) à la question 2.a
Vu que l'on a les expressions de y1 et y2... je pensais faire la somme pour trouver y puis je serais retombée sur quelque chose en y=f(x)g(t).
Or, les phases sont différentes, les amplitudes aussi... Je pensais passer par l'écriture exponentielle... Mais si c'est possible (???) je ne vois pas comment faire.
Sinon, il faut donc se servir du fait que y(0;t)=y(L;t)=0 ...
??

Merci beaucoup d'avance!
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[pephy]

bonjour,
çà doit pouvoir se faire avec la notation exponentielle, mais de toutes façons il faut utiliser les conditions aux limites pour obtenir une relation simple entre les 2 amplitudes...

[invite683ebb55]

Bonsoir
ça justement j'y avais pensé!
Mais je n'y arrive pas justement!

[invite2b5bfd20]

L'équation d'onde 1D a la forme d2/dt2 U(x,t) = c^2 d2/dx2 U(x,t).
On suppose que la solution est séparable en une fonction qui dépend seulement du temps T(t) et une fonction qui dépend seulement de la position S(x). Donc on a U(x,t) = T(t)*S(x).

Les conditions frontières sont U(0,t) = U(L,t) = 0, ce qu'on peut réécrire de la façon suivante : T(t)S(0) = T(t)S(L) = 0. Puisqu'on ne veut pas T(t) trivialement nulle pour tous x, alors on peut réécrire les conditions frontières comme S(0) = S(L) = 0.

Montrons maintenant que l'équation d'onde est séparable.
d2/dt2 U(x,t) = S(x)*T"(t)
d2/dx2 U(x,t) = S"(x)*T(t)
On peut donc réécrire l'équation d'onde de la façon suivante:
1/c^2 T"(t) / T(t) = S"(x) / S(x) = -k^2
où k est une constante car le rapport de T"/T et de S"/S sont égaux à une constante près qui ne peut pas dépendre de x ou t.

On a donc l'équation spatiale S"-k^2 S = 0 et l'équation temporelle T"-(kc)^2 T = 0 à résoudre. On connait les conditions frontières sur S(x), ce qui nous permet de trouver les valeurs de 'k' possibles. Il manque les conditions initiales T(0) et T'(0) pour pouvoir déterminer les constantes des solutions de l'équation temporelle. Finalement, on a que
U(x,t) = cos(k*L) [C1*exp(i k c t) + C2*exp(-i k c t)], où k = (n+1/2)pi et k*c = omega (la fréquence angulaire).

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

plus simplement:
u=a1cos(wt+kx)+a2cos(wt-kx)
noeud de vibration en 0 => a1+a2=0
d'où u=a[cos(wt+kx)-cos(wt-kx)]=2a cos(kx)cos(wt)

[invite683ebb55]

plus simplement:
u=a1cos(wt+kx)+a2cos(wt-kx)
noeud de vibration en 0 => a1+a2=0
d'où u=a[cos(wt+kx)-cos(wt-kx)]=2a cos(kx)cos(wt)

Merci pour vos réponses! J'ai compris la première réponse mais en ce qui concerne celle-ci... cela n'est pas trivial pour moi que si a1+a2=0 on a ça... c'est en passant par les exponentielles que l'on doit pouvoir le faire n'est-ce pas? Mais justement, si je détaille... je n'arrive pas à le prouver!
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?
Merci beaucoup d'avance!

[invite683ebb55]

NB: je viens de me rendre compte que dans les formules de y1 et y2 il y a phi1 et phi2 donc y ne vaut pas a[etc.] comme dit précédemment..?? vu qu'on ne peut pas mettre en facteur?!!
Je ne vois décidément pas comment faire avec cette méthode!
Merci d'avance!

[pephy]

les fréquences sont les mêmes, quant aux déphasages ils sont opposés...
Si a1+a2=0 on a a2=-a1
C'est le calcul habituel pour les ondes stationnaires que l'on faisait de mon temps...(c'est vrai que çà fait un bout de temps )

[pephy]

D'ailleurs:
http://www.univ-lemans.fr/enseigneme...a/ondesta.html

[invite2b5bfd20]

J'ai fait une erreur dans ma dérivation, c'est plutôt
U(x,t) = sin(k*x) [C1*exp(i k c t) + C2*exp(-i k c t)]
Par combinaison linéaire (avec la formule d'Euler exp(ix) = cos(x) + i*sin(x)) tu peux réécrire
U(x,t) = sin(k*x) [A*sin( k c t) + B*cos( k c t)], où A et B sont des constantes qui dépendent des conditions initiales.

[invite683ebb55]

Merci beaucoup, grâce à vos explications j'ai finalement compris!