Bpnsoir,
Quelqu'un peut-il me justifier pourquoi on peut toujours écrire en mécanique quantique la fonction d'onde comme la transformée de Fourier d'une certaine fonction d'une variable:
N'importe quelle fonction continue et continuement dérivable admet une transformée de Fourier...
Plus généralement, toute fonction L1 (ie Lebesgue-intégrable) admet une transformée de Fourier. Or c'est le cas des fonctions utilisée en MQ, et si ce n'est pas le cas on passe aux distributions pour lesquelles il existe aussi une définition de la TF (plus précisément, pour les distributions dites "tempérées").
Salut
Je chipotte, mais c est plutot des fonctions L2 non ?
Sinon, c'est plutot les distributions temperees, comme tu le dis
++
Au moment d'écrire j'ai eu un doute en effetEnvoyé par wlad_von_tokyo
Je vais aller voir ça.
EDIT :
non la transfo de Fourier ne nécessite que des fonctions L1. Par contre, en physique vu que l'on s'intéresse à la normation des états (ie des fonctions d'onde) on a besoin de fonctions L2 en effet.
Au moment d'écrire j'ai eu un doute en effet
Je vais aller voir ça.
EDIT :
non la transfo de Fourier ne nécessite que des fonctions L1. Par contre, en physique vu que l'on s'intéresse à la normation des états (ie des fonctions d'onde) on a besoin de fonctions L2 en effet.
d'ailleurs , je crois que les L2 ont été utilisées par Hermite pour trouver les solutions d'une sorte d'oscillateur harmonique ...
Mais ont-elles d'autres utilisations?
Bonjour,Au moment d'écrire j'ai eu un doute en effet
Je vais aller voir ça.
EDIT :
non la transfo de Fourier ne nécessite que des fonctions L1. Par contre, en physique vu que l'on s'intéresse à la normation des états (ie des fonctions d'onde) on a besoin de fonctions L2 en effet.
La TF est également bien définie (et isométrique) sur
Modulaire.
Non, il n'est pas nécessaire que la fonction soit L² pour admettre une transformation de Fourier. Par contre si l'on veut avoir une transformation de Fourier inverse alors oui, la fonction se doit d'être L². C'est encore mieux si elle est C infini à décroissance rapide.
Vous n'avez pas bien compris ma question. Je sais que l'on peut écrire n'importe quelle fonction comme la TF d'une autre. Mais pourquoi la variable k, conjuguée de r, correspond-elle à l'impulsion p=hbar.k ?
C'est juste la relation de De Broglie, je ne vois pas le problème.
Salut
En gros (pour resumer et etre tous d'accord)
L1: facile a definir (l integrale avec une exponentielle).
L2 (et autre L truc < infini): par completion de S et extension de la TF de S sur ces esapces
L infini et autres: les distributions temprees
En MQ, les relations de De Broglie et d'einstein on amener a definir <p| comme
<p|: f Dans L1 vers <p|f> qui est la TF de f en p=hbar k.
En effet, a une particule d'energie E et d'impulsion p, comme tu as E=hbar nu et p=hbar k, tu essaies naturellement d'associer une onde
tu remarques alors que i hbar gradient te donne p. L'equation de schrodinger vient ensuite, blabla. Apres un peux de travail, tu obtiens
++
quelle démonstration brillante!!!!Salut
En gros (pour resumer et etre tous d'accord)
L1: facile a definir (l integrale avec une exponentielle).
L2 (et autre L truc < infini): par completion de S et extension de la TF de S sur ces esapces
L infini et autres: les distributions temprees
En MQ, les relations de De Broglie et d'einstein on amener a definir <p| comme
<p|: f Dans L1 vers <p|f> qui est la TF de f en p=hbar k.
En effet, a une particule d'energie E et d'impulsion p, comme tu as E=hbar nu et p=hbar k, tu essaies naturellement d'associer une onde
tu remarques alors que i hbar gradient te donne p. L'equation de schrodinger vient ensuite, blabla. Apres un peux de travail, tu obtiens
++j'admire .
Euh.... Je dirais comme toi pour L^1 et L^2, mais plutôt TF définie comme distribution tempérée pour L^p, avec p plus grand que 2, et éventuellement infini. De toutes façons, comme tu l'expliques, en MQ, c'est L^2 qui est important.
Excuse moi de chipoter mais je ne vois aucune raison pour que le k de la TF soit aussi le k de de Broglie.
Bon je vais essayer de préciser le sens de ma question.
Le fait que l'on puisse écrire
avec
comment l'établi-t-on ? Qu'admet-on ? Que démontre-t-on ?
En fait la question n'a presque pas de sens. En mathématique la TF sert juste à dire qu'on peut décomposer une fonction dans des bases différentes.Bon je vais essayer de préciser le sens de ma question.
Le fait que l'on puisse écrire
avec
comment l'établi-t-on ? Qu'admet-on ? Que démontre-t-on ?
En MQ c'est exactement la même chose on décompose sur des bases continues connues que sont
Prenons un vecteur d'état
or, on a la relation de fermeture pour toute base continue :
que l'on injecte dans le produit scalaire plus haut, on obtient alors :
qui va faire intervenir par linéarité le produit "scalaire" :
Or, on peut montrer (si tu le demandes je le ferais) que comme par définition
et que
on a
en remplaçant cette expression dans le développement de
Ce raisonnement est tautologique : tu supposes que la TF est la bonne opération pour passer de la représentation r à la représentation p et tu retrouves la TF !
Tu peux faire la demonstration s'il te plait ?? Je pense qu'il faut introduire la relation de commutateur :
Mais j'avoue que je patauge...
Pas du tout il ne se sert pas de la TF dans sa demonstration. Il ne suppose rien sur elle..
Dans ce cas je veux bien voir le détail du calcul ...qui va faire intervenir par linéarité le produit "scalaire" :
Or, on peut montrer (si tu le demandes je le ferais) que comme par définition
et que
Des bases continues? c'est quoi?
Je pense qu'il voulait dire des bases completes.
Alors tout dépend de ce que vous voulez que je montre...Tu peux faire la demonstration s'il te plait ?? Je pense qu'il faut introduire la relation de commutateur :
Mais j'avoue que je patauge...
comme je l'ai dit :
est une définition donc ça ne se montre pas ça s'énonce un point c'est tout.
Ensuite le fait que :
est en fait equivalent au postulat de quantification canonique de la mécanique quantique qui dit que :
ça je veux bien vous le montrer mais plus tard car c'est assez long mais en gros si on postule (1) ou (2) c'est la même chose .
Donc en partant de (0) on trouve :
car
En identifiant ça à (1) on tombe sur une égalité vectorielle :
Si on projette cette égalité sur x par exemple on tombe sur :
dont la solution est forcément de la forme :
où
En réinjectant ça dans (3) et en réitérant ce calcul pour y et z on trouve :
il est à noté que ce résultat aurait aussi pû être trouvé en utilisant l'identité
Cette relation me semble un peu bizarre. Je n'arrive pas a la demontrer.
et que
Peux tu expliquer s'il te plait ?
J'ai proposé une démonstration en page 2 ici
Je maintiens qu'il y a quelquechose de tautologique dans tout cela. Tout est cohérent :
si on associe à
[/quote]
gatsu te démontre la deuxième partie de ta phrase, donc ce n'est pas tautologique...
C'est qui ça gatsu ? Pourquoi avoir effacé la moitié de mon message ?! En voilà des manières.
Ouuups ! J'ai cru que je te citais et te répondais, et à la place j'ai édité ton message
Je m'excuse pour cette erreur de manipulation
Tu n'aurais pas sauvegardé ton message quelque part ? Vraiment désolé
Je reprends donc :
Pour moi, tout j'ai dans ce fil jusqu'à présent peut se résumer à (on peut mettre des vecteurs sur tous les r et tous les p) :
on associe à
et
Ainsi
Mais cela ne répond pas à la question : pourquoi p est précisement l'impulsion de la particule.
Salut
Je croyais avoir explique un peu. Apparemment pas assez clair.
En gros, au k d'une onde (qui est bien celui qui intervient dans une TF lors du produit scalaire de cette onde et d'une fonction), on associe le p d'une particule par la relation de De Broglie (verifier sur de la diffraction d'electrons) p=hbar k.
Ca,c'est l'idee.
Ensuite vient tout le formalisme mathematique (que des forumeurs ont bien explique, vive LaTeX). Le point c'est que i hbar nable fait office d'operateur impulsion grace a la correspondance expliquee au dessus.
Si je ne suis pas clair, essaie le cours de C. Azgul, c'etait pas mal explique).
Bon courage
