transformation de Fourier en MQ
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transformation de Fourier en MQ



  1. #1
    invite31a28a40

    transformation de Fourier en MQ


    ------

    Bpnsoir,

    Quelqu'un peut-il me justifier pourquoi on peut toujours écrire en mécanique quantique la fonction d'onde comme la transformée de Fourier d'une certaine fonction d'une variable :

    étant directement relié à l'impulsion de la particule puisque

    -----

  2. #2
    obi76

    Re : transformation de Fourier en MQ

    N'importe quelle fonction continue et continuement dérivable admet une transformée de Fourier...

  3. #3
    invite9c9b9968

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Plus généralement, toute fonction L1 (ie Lebesgue-intégrable) admet une transformée de Fourier. Or c'est le cas des fonctions utilisée en MQ, et si ce n'est pas le cas on passe aux distributions pour lesquelles il existe aussi une définition de la TF (plus précisément, pour les distributions dites "tempérées").

  4. #4
    GrisBleu

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Salut

    Je chipotte, mais c est plutot des fonctions L2 non ?
    Sinon, c'est plutot les distributions temperees, comme tu le dis
    ++

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9c9b9968

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    Salut

    Je chipotte, mais c est plutot des fonctions L2 non ?
    Au moment d'écrire j'ai eu un doute en effet

    Je vais aller voir ça.

    EDIT :

    non la transfo de Fourier ne nécessite que des fonctions L1. Par contre, en physique vu que l'on s'intéresse à la normation des états (ie des fonctions d'onde) on a besoin de fonctions L2 en effet.

  7. #6
    invite76db3c86

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Au moment d'écrire j'ai eu un doute en effet

    Je vais aller voir ça.

    EDIT :

    non la transfo de Fourier ne nécessite que des fonctions L1. Par contre, en physique vu que l'on s'intéresse à la normation des états (ie des fonctions d'onde) on a besoin de fonctions L2 en effet.

    d'ailleurs , je crois que les L2 ont été utilisées par Hermite pour trouver les solutions d'une sorte d'oscillateur harmonique ...
    Mais ont-elles d'autres utilisations?

  8. #7
    invitef4181796

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Au moment d'écrire j'ai eu un doute en effet

    Je vais aller voir ça.

    EDIT :

    non la transfo de Fourier ne nécessite que des fonctions L1. Par contre, en physique vu que l'on s'intéresse à la normation des états (ie des fonctions d'onde) on a besoin de fonctions L2 en effet.
    Bonjour,

    La TF est également bien définie (et isométrique) sur . Cela peut se faire par passage à la limite à partir de fonctions dans .

    Modulaire.

  9. #8
    Etile

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    Salut

    Je chipotte, mais c est plutot des fonctions L2 non ?
    Sinon, c'est plutot les distributions temperees, comme tu le dis
    ++
    Non, il n'est pas nécessaire que la fonction soit L² pour admettre une transformation de Fourier. Par contre si l'on veut avoir une transformation de Fourier inverse alors oui, la fonction se doit d'être L². C'est encore mieux si elle est C infini à décroissance rapide.

  10. #9
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Vous n'avez pas bien compris ma question. Je sais que l'on peut écrire n'importe quelle fonction comme la TF d'une autre. Mais pourquoi la variable k, conjuguée de r, correspond-elle à l'impulsion p=hbar.k ?

  11. #10
    Etile

    Re : transformation de Fourier en MQ

    C'est juste la relation de De Broglie, je ne vois pas le problème.

  12. #11
    GrisBleu

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Salut

    En gros (pour resumer et etre tous d'accord)
    L1: facile a definir (l integrale avec une exponentielle).
    L2 (et autre L truc < infini): par completion de S et extension de la TF de S sur ces esapces
    L infini et autres: les distributions temprees

    En MQ, les relations de De Broglie et d'einstein on amener a definir <p| comme
    <p|: f Dans L1 vers <p|f> qui est la TF de f en p=hbar k.
    En effet, a une particule d'energie E et d'impulsion p, comme tu as E=hbar nu et p=hbar k, tu essaies naturellement d'associer une onde

    tu remarques alors que i hbar gradient te donne p. L'equation de schrodinger vient ensuite, blabla. Apres un peux de travail, tu obtiens et donc le changement de base x vers p reviens a une TF.

    ++

  13. #12
    invite76db3c86

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    Salut

    En gros (pour resumer et etre tous d'accord)
    L1: facile a definir (l integrale avec une exponentielle).
    L2 (et autre L truc < infini): par completion de S et extension de la TF de S sur ces esapces
    L infini et autres: les distributions temprees

    En MQ, les relations de De Broglie et d'einstein on amener a definir <p| comme
    <p|: f Dans L1 vers <p|f> qui est la TF de f en p=hbar k.
    En effet, a une particule d'energie E et d'impulsion p, comme tu as E=hbar nu et p=hbar k, tu essaies naturellement d'associer une onde

    tu remarques alors que i hbar gradient te donne p. L'equation de schrodinger vient ensuite, blabla. Apres un peux de travail, tu obtiens et donc le changement de base x vers p reviens a une TF.

    ++
    quelle démonstration brillante!!!! j'admire .

  14. #13
    invitef4181796

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    Salut

    En gros (pour resumer et etre tous d'accord)
    L1: facile a definir (l integrale avec une exponentielle).
    L2 (et autre L truc < infini): par completion de S et extension de la TF de S sur ces esapces
    L infini et autres: les distributions temprees
    ++
    Euh.... Je dirais comme toi pour L^1 et L^2, mais plutôt TF définie comme distribution tempérée pour L^p, avec p plus grand que 2, et éventuellement infini. De toutes façons, comme tu l'expliques, en MQ, c'est L^2 qui est important.

  15. #14
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par Etile Voir le message
    C'est juste la relation de De Broglie, je ne vois pas le problème.
    Excuse moi de chipoter mais je ne vois aucune raison pour que le k de la TF soit aussi le k de de Broglie.

  16. #15
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Bon je vais essayer de préciser le sens de ma question.
    Le fait que l'on puisse écrire
    avec (de Broglie)
    comment l'établi-t-on ? Qu'admet-on ? Que démontre-t-on ?

  17. #16
    invite93279690

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par alberto1980 Voir le message
    Bon je vais essayer de préciser le sens de ma question.
    Le fait que l'on puisse écrire
    avec (de Broglie)
    comment l'établi-t-on ? Qu'admet-on ? Que démontre-t-on ?
    En fait la question n'a presque pas de sens. En mathématique la TF sert juste à dire qu'on peut décomposer une fonction dans des bases différentes.
    En MQ c'est exactement la même chose on décompose sur des bases continues connues que sont et ; je m'explique.

    Prenons un vecteur d'état , on définit :

    or, on a la relation de fermeture pour toute base continue :

    que l'on injecte dans le produit scalaire plus haut, on obtient alors :

    qui va faire intervenir par linéarité le produit "scalaire" :

    Or, on peut montrer (si tu le demandes je le ferais) que comme par définition

    et que

    on a

    en remplaçant cette expression dans le développement de on a :

  18. #17
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Ce raisonnement est tautologique : tu supposes que la TF est la bonne opération pour passer de la représentation r à la représentation p et tu retrouves la TF !

  19. #18
    invite6d6bb0c1

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Tu peux faire la demonstration s'il te plait ?? Je pense qu'il faut introduire la relation de commutateur :

    Mais j'avoue que je patauge...

  20. #19
    invite6d6bb0c1

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par alberto1980 Voir le message
    Ce raisonnement est tautologique : tu supposes que la TF est la bonne opération pour passer de la représentation r à la représentation p et tu retrouves la TF !

    Pas du tout il ne se sert pas de la TF dans sa demonstration. Il ne suppose rien sur elle..

  21. #20
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    qui va faire intervenir par linéarité le produit "scalaire" :

    Or, on peut montrer (si tu le demandes je le ferais) que comme par définition

    et que
    Dans ce cas je veux bien voir le détail du calcul ...

  22. #21
    invitef4181796

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Des bases continues? c'est quoi?

  23. #22
    invite6d6bb0c1

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par modulaire Voir le message
    Des bases continues? c'est quoi?
    Je pense qu'il voulait dire des bases completes.

  24. #23
    invite93279690

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par adri662 Voir le message
    Tu peux faire la demonstration s'il te plait ?? Je pense qu'il faut introduire la relation de commutateur :

    Mais j'avoue que je patauge...
    Alors tout dépend de ce que vous voulez que je montre...
    comme je l'ai dit :

    est une définition donc ça ne se montre pas ça s'énonce un point c'est tout .
    Ensuite le fait que :
    (1)
    est en fait equivalent au postulat de quantification canonique de la mécanique quantique qui dit que :
    (2)
    ça je veux bien vous le montrer mais plus tard car c'est assez long mais en gros si on postule (1) ou (2) c'est la même chose .
    Donc en partant de (0) on trouve :

    car est réel et n'est plus un opérateur.
    En identifiant ça à (1) on tombe sur une égalité vectorielle :
    (3)
    Si on projette cette égalité sur x par exemple on tombe sur :

    dont la solution est forcément de la forme :

    est une fonction de z et y.
    En réinjectant ça dans (3) et en réitérant ce calcul pour y et z on trouve :

    il est à noté que ce résultat aurait aussi pû être trouvé en utilisant l'identité et de plein d'autres façons differentes.

  25. #24
    invite6d6bb0c1

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message


    et que
    Cette relation me semble un peu bizarre. Je n'arrive pas a la demontrer.
    Peux tu expliquer s'il te plait ?

  26. #25
    invite93279690

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Citation Envoyé par adri662 Voir le message
    Cette relation me semble un peu bizarre. Je n'arrive pas a la demontrer.
    Peux tu expliquer s'il te plait ?
    J'ai proposé une démonstration en page 2 ici

  27. #26
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Je maintiens qu'il y a quelquechose de tautologique dans tout cela. Tout est cohérent :
    si on associe à la fonction et à la fonction et que l'on pose
    [/quote]

    gatsu te démontre la deuxième partie de ta phrase, donc ce n'est pas tautologique...

  28. #27
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    C'est qui ça gatsu ? Pourquoi avoir effacé la moitié de mon message ?! En voilà des manières.

  29. #28
    invite9c9b9968

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Ouuups ! J'ai cru que je te citais et te répondais, et à la place j'ai édité ton message

    Je m'excuse pour cette erreur de manipulation

    Tu n'aurais pas sauvegardé ton message quelque part ? Vraiment désolé

  30. #29
    invite31a28a40

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Je reprends donc :
    Pour moi, tout j'ai dans ce fil jusqu'à présent peut se résumer à (on peut mettre des vecteurs sur tous les r et tous les p) :
    on associe à la fonction et à la fonction (à une constante près). On a donc

    et

    Ainsi
    et réciproquement.
    Mais cela ne répond pas à la question : pourquoi p est précisement l'impulsion de la particule.

  31. #30
    GrisBleu

    Re : transformation de Fourier en MQ

    Salut

    Je croyais avoir explique un peu. Apparemment pas assez clair.
    En gros, au k d'une onde (qui est bien celui qui intervient dans une TF lors du produit scalaire de cette onde et d'une fonction), on associe le p d'une particule par la relation de De Broglie (verifier sur de la diffraction d'electrons) p=hbar k.
    Ca,c'est l'idee.
    Ensuite vient tout le formalisme mathematique (que des forumeurs ont bien explique, vive LaTeX). Le point c'est que i hbar nable fait office d'operateur impulsion grace a la correspondance expliquee au dessus.
    Si je ne suis pas clair, essaie le cours de C. Azgul, c'etait pas mal explique).

    Bon courage

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