Mesure en physique quantique: cas de 2 opérateurs

[invited8880792]

Bonjour a tous,

Je vous contact pour un problème que je rencontre dans un exercie concernant la physique quantique.
J'ai deux opérateurs H et B représentés par deux matrices:

H = 1 0 B= 3/2 i
0 3 -i 0

On suppose que le systeme occupe l'état |u> = 1/sqrt(2) ( |u1> + |u2> )

On mesure d'abord H: quels sont les resultats possibles avec quelles probabilités? Dans quel état se trouve le systéme après la mesure?
On mesure ENSUITE B: même question

D'avance merci pour votre aide

Gyzmo
-----

[pbord]

Bonjour,

Tu calcules les vecteurs propres de chacun de tes opérateurs, ce sont les résultats possibles.
Ici, H est déjà diagonalisé, donc les vecteurs propres sont |u1> et |u2>.

La probabilité est donnée par la formule suivante :

P(|u1>)=|<u1|u>|²/<u|u>=<u1|u>*<u|u1>/<u|u>

Ici, |u> est normalisé, donc <u|u>=1

On a donc P(|u1>)=(1/V2)² et P(|u2>)=(1/V2)²
Tu peux vérifier que P(|u1>)+P(|u2>)=1

Tu refais de la même façon pour B, en séparant les deux cas:1°) système dans l'état |u1>, 2°)système dans l'état |u2>

[Coincoin]

Salut,
Y a pas besoin de faire aussi compliqué (décomposer les vecteurs, diagonaliser les matrices) : par postulat, si tu appliques l'opérateur A sur l'état |x>, tu obtiens A|x>.

Il suffit donc d'écrire |u> sous forme de vecteur et de le multiplier à gauche par la matrice.
Et si ça paraît obscur, il faut relire son cours et poser des questions dessus.

[invited8880792]

Merci Coincoin!!! Donc si je comprends bien, pour l'operateur H on obtiendrait
|u> = 1/ sqrt(2) * ( |u1> + 3 |u2>) ? c cela?
et pour les probabilités tu fais comment?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Je pense qu'il faudrait que tu relises ton cours. Ce sont vraiment des questions de base. Si tu as des questions sur le cours, n'hésite pas, mais là je pense que ton cours l'explique clairement.

[invited8880792]

J'ai relu mon cours avant de faire mon exercice ... c'est pour ca que je suis venu sur le forum ...
enfin pas grave

[Coincoin]

Que dis ton cours sur le lien entre les coordonnées d'un vecteur et la probabilité de le mesurer dans un état donné ?

[invited8880792]

Je comprends et je sais calculer la probabilité ... je comprends pas comment on peut faire une mesure à partir d'une matrice (je ne l'ais jamais fait) je ne vois pas du tt a quoi corresponde le 1 et 3 de la 1ere matrice...

Donc a partir de là je ne vois pas comment calculer.

Au préalable, il m'a été demandé de dire si les matrices étaient hermitiques, si elles possédaient des vecteurs propres communs et de calculer les valeurs et vecteurs propres de ces dernieres! Ca je l'ai déja fait

Merci :d

[Coincoin]

La matrice n'est qu'une représentation de ton opérateur. Tu as donc un état quantique, tu lui appliques ton opérateur, ça te donne un nouvel état, et ensuite tu mesures ce nouvel état. Donc la matrice n'intervient que dans le calcul du nouvel état. Pour savoir les probabilités de mesure, le nouvel état marche comme l'ancien.

Les termes de la matrice te renseignent sur l'opérateur. Par exemple, le 1 et le 3 te disent que cet opérateur préférent u2 à u1 (au sens où il augmente la probabilité de trouver u2). Des termes extra-diagonaux te diraient par exemple que l'opérateur a tendance à donner du u2 quand il voit du u1, ça te mélangerait un peu tes états, c'est pour ça qu'on préfère les bases où les opérateurs sont diagonaux (donc on diagonalise pour trouver une telle base).

Déjà, ici je suis perturbé par le fait que tes opérateurs ne sont pas hermitiques : la normalisation n'est pas bonne. Du coup, le nouvel état n'est pas normé et on ne peut pas calculer directement de probabilités. Normalement, un opérateur "physique" doit être hermitique.

[invited8880792]

D'accord!!! je comprends mieux l'interêt des matrices pour exprimer les opérateurs maintenant ...
par contre moi je trouve que mes deux matrices sont hermitiques ... avec ma definition du cours elles le sont ...

Donc pour résumer, si je comprends bien ... quand on fait la mesure de H les différents resultats possibles c'est soit E1 soit E2 et la probabilité d'avoir E1 et de 1/4 et celle d'avoir E2 est de 3/4? (Le 1 et le 3 de ma matrice interviennent dans le calcul de la probabilité? je pensais que non que cela signifiait juste les "niveaux" d'energie au final)

Merci :d

[Coincoin]

par contre moi je trouve que mes deux matrices sont hermitiques ... avec ma definition du cours elles le sont ...

Désolé, je raconte n'importe quoi. Elle est bien hermitique, mais par contre elle n'est pas unitaire. Je me suis mélangé.

quand on fait la mesure de H les différents resultats possibles c'est soit E1 soit E2 et la probabilité d'avoir E1 et de 1/4 et celle d'avoir E2 est de 3/4?

Pas tout à fait. Ce qui compte, ce ne sont pas les coefficients (1 et 3) mais leur norme au carré.

(Le 1 et le 3 de ma matrice interviennent dans le calcul de la probabilité? je pensais que non que cela signifiait juste les "niveaux" d'energie au final)

Ta matrice intervient car les probabilités que tu considères ne concernent pas |u> mais H|u>.

[invited8880792]

Hum !!! et donc ca donne quoi au niveau des probabilités?

La somme des probabilités doit toujours etre de 1 non?

[Coincoin]

La somme des probabilités doit toujours etre de 1 non?

Oui, oui.
Les coefficients 1 et 3 te donnent des probabilités de 1/10 et 9/10 (et non 1/4 et 3/4).

[invited8880792]

Ok !! et il vient d'ou le /10 ? :$ dsl si c simple g un peu de mal

merci en tt cas

[Etile]

Oui, oui.
Les coefficients 1 et 3 te donnent des probabilités de 1/10 et 9/10 (et non 1/4 et 3/4).

Euh, normalement non, les coéfficients de H ne donnent certainement pas les probabilités mais la valeur physique mesurée pour l'énergie. Seul les vecteurs propre de H agissant sur le système concernent les probabilités. Or dans cet exemple, le système est dans un état équiprobable pour H.

[Coincoin]

Je propose un truc : on oublie tous ces messages, on reprendre la discussion à partir du message #2, je vais me coucher et je fais un gros dodo. Avec un peu de chance, ça m'évitera de dire des conneries plus grosses que moi.

Désolé Elgizmo, mais tout ce que j'ai dit est faux. (Enfin, y a peut-être un ou deux trucs qui sont justes par erreur, mais faire le tri risque d'être difficile.)

[invited8880792]

Ok lol pas de soucis ... j'attends demain alors bonne nuit
a demain

et merci

[Coincoin]

Bon, après avoir réinventé la mécanique quantique, je me sens coupable d'avoir embrouillé Elgizmo. Je vais donc tâcher de clarifier tout ça, mais cette fois-ci en utilisant mon cerveau !

Partons de et prenons comme état

Quels sont les résultats possibles ?
Les résultats sont donnés par le spectre de l'opérateur, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres. H étant déjà sous forme diagonale, il est évident que ses valeurs propres sont 1 et 3. (La présence de termes extra-diagonaux signifierait donc que les états propres de H sont un mélange de nos vecteurs de base.)

Avec quelles probabilités ?
La probabilité de mesurer 1 est donnée par le carré de la norme du produit scalaire entre notre état et l'état propre correspondant à 1 (à diviser par la norme de notre état s'il n'est pas normalisé). Ici, on trouve donc : . Or car la base est orthonormale.
Donc . De même


Dans quel état se trouve le systéme après la mesure?
D'après le principe de réduction du paquet d'onde, l'état est projeté sur l'état propre. On obtient donc soit , soit .

On mesure ENSUITE B: même question
Il faut donc faire pareil, en partant cette fois-ci de ou de . La difficulté vient du fait que B n'est pas diagonale dans la base . Il faut donc diagonaliser B, puis exprimer (puis ) dans la base des vecteurs propres.

[pbord]

Bon, après avoir réinventé la mécanique quantique, je me sens coupable d'avoir embrouillé Elgizmo. Je vais donc tâcher de clarifier tout ça, mais cette fois-ci en utilisant mon cerveau !

Partons de et prenons comme état

Quels sont les résultats possibles ?
Les résultats sont donnés par le spectre de l'opérateur, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres. H étant déjà sous forme diagonale, il est évident que ses valeurs propres sont 1 et 3. (La présence de termes extra-diagonaux signifierait donc que les états propres de H sont un mélange de nos vecteurs de base.)

Avec quelles probabilités ?
La probabilité de mesurer 1 est donnée par le carré de la norme du produit scalaire entre notre état et l'état propre correspondant à 1 (à diviser par la norme de notre état s'il n'est pas normalisé). Ici, on trouve donc : . Or car la base est orthonormale.
Donc . De même


Dans quel état se trouve le systéme après la mesure?
D'après le principe de réduction du paquet d'onde, l'état est projeté sur l'état propre. On obtient donc soit , soit .

On mesure ENSUITE B: même question
Il faut donc faire pareil, en partant cette fois-ci de ou de . La difficulté vient du fait que B n'est pas diagonale dans la base . Il faut donc diagonaliser B, puis exprimer (puis ) dans la base des vecteurs propres.

C'est ce que j'avais dit dès le début...

[invited8880792]

:d c'est beaucoup plus clair :d merci beaucoup!!!!!
Il me reste encore un petit doute! j'ai réussi a diagonaliser la matrice B et j'obtiens comme valeur propre 8 et -2! mais je ne vois pas du tout comment faire pour trouver les vecteurs propres (qui apparement sont différents de ceux de H)

Merci bcp pr ton explication

[pbord]

Moi je trouve -1/2 et 2 comme valeurs propres.

On a bien ??

Alors tes valeurs propres sont déterminées par det(B-I)=0
ce qui donne

D'où et

Pour trouver tes vecteurs propres, tu résouds pour chaque valeur propre l'équation

avec ton vecteur propre

Puis tu exprimes ces vecteurs propres en fonction de |u1> et |u2>, sans oublier de les normaliser.

[invited8880792]

Autant pour moi je me suis trompé dans mes valeurs propres ^^ finalement je trouve bien 2 et -1/2 ! par contre pour trouver les vecteurs propres et les projeter sur |u1> |u2> je nage complétement :$

[Coincoin]

C'est ce que j'avais dit dès le début...

Tout à fait. Je n'ai fait que réparer mes bêtises pour revenir à ton message, c'est-à-dire avant que je vienne tout embrouiller. Mais moi, j'ai mis du LaTeX

par contre pour trouver les vecteurs propres et les projeter sur |u1> |u2> je nage complétement :$

Prenons par exemple la valeur propre .
On veut résoudre , c'est-à-dire
Tu as donc un système à deux équations :
-1/2x+iy=0
ix+2y+0

Tu vois que les deux équations sont équivalentes. C'est normal, c'est parce que c'est bien une valeur propre donc l'espace propre associé n'est pas qu'un point.
Bref, tu obtiens que l'espace propre associé est la droite x=2iy. Un vecteur directeur de cette droite est par exemple (2i,1) : . Ensuite, tu détermines C en normalisant.

[invited8880792]

Tu entends quoi par "en normalisant"?

[pbord]

Tu entends quoi par "en normalisant"?

c'est à dire que la norme de ton vecteur est égal à 1:

donc ici

ce qui donne

Mais moi, j'ai mis du LaTeX

Moi aussi maintenant, mais je débute depuis 2 jours seulement

[physiquantique]

Bon, après avoir réinventé la mécanique quantique, je me sens coupable d'avoir embrouillé Elgizmo. Je vais donc tâcher de clarifier tout ça, mais cette fois-ci en utilisant mon cerveau !

Partons de et prenons comme état

Quels sont les résultats possibles ?
Les résultats sont donnés par le spectre de l'opérateur, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres. H étant déjà sous forme diagonale, il est évident que ses valeurs propres sont 1 et 3. (La présence de termes extra-diagonaux signifierait donc que les états propres de H sont un mélange de nos vecteurs de base.)

Avec quelles probabilités ?
La probabilité de mesurer 1 est donnée par le carré de la norme du produit scalaire entre notre état et l'état propre correspondant à 1 (à diviser par la norme de notre état s'il n'est pas normalisé). Ici, on trouve donc : . Or car la base est orthonormale.
Donc . De même


Dans quel état se trouve le systéme après la mesure?
D'après le principe de réduction du paquet d'onde, l'état est projeté sur l'état propre. On obtient donc soit , soit .

On mesure ENSUITE B: même question
Il faut donc faire pareil, en partant cette fois-ci de ou de . La difficulté vient du fait que B n'est pas diagonale dans la base . Il faut donc diagonaliser B, puis exprimer (puis ) dans la base des vecteurs propres.

Pour la première affirmation , c'est donc le théorème spectral de riesz qu'il faut utiliser?

[invited8880792]

Hum j'ai réussi à exprimer |u1> et |u2> en fonctions de |u'1> et |u'2> mes vecteurs propres de B. Donc aprés, quand je fais la mesure de B, je projette si je suis dans l'état |u1> et j'obtiens donc 4/5 chances davoir 2 et 1/5 d'avoir -1/2 c'est cela?

Et on peut avoir un niveau d'energie finale égal à -1/2???

Merci

[Coincoin]

Et on peut avoir un niveau d'energie finale égal à -1/2???

Oui, tout à fait. L'énergie est définie à une constante additive près. Mais personne n'a dit que B correspondait à l'énergie...