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Equadiff et écoulement



  1. #1
    alias_sg1

    Equadiff et écoulement


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un problème avec un exercice sur les equations differentielles...

    Voial l'enonce : ON considère un reservoir cylindrique de 1,5m de haut et de 1m de diamètre. Un orifice circulaire de 1cm de diamètre est percé à sa base à l'instant t=0.
    La formule de Toricelli donne la vitesse d'écoulement d'eau par l'orifice : v(t) = 0,6*racine (2*g*h(t)) où v(t) est la vitesse d'écoulement de l'eau en m/s et h(t) la hauteur de l'eau dans le reservoir.
    Exprimer l'équation donnant le volume d'eau en fonction du temps dans le réservoir. Les constantes intervenant dans l'équation doivent être calculées. Caractériser de façon précise de quel type d'équadiff il s'agit.

    Alors je ne vois deja pas ce que represente la vitesse d'écoulement... la vitesse dans le trou ou la vitesse avec la quelle diminue la hauteur ?

    Je sais que je dois arriver à une equation ou je trouverai une focntion et sa dérivée mais je ne vois vraiment pas ...

    Mrci pour votre aide !

    -----

  2. #2
    The Artist

    Re : Equadiff et écoulement

    Citation Envoyé par alias_sg1 Voir le message
    La formule de Toricelli donne la vitesse d'écoulement d'eau par l'orifice : v(t) = 0,6*racine (2*g*h(t)) où v(t) est la vitesse d'écoulement de l'eau en m/s et h(t) la hauteur de l'eau dans le reservoir.

    Alors je ne vois deja pas ce que represente la vitesse d'écoulement... la vitesse dans le trou ou la vitesse avec la quelle diminue la hauteur ?
    1)C'est la vitesse d'écoulement par le trou !
    2)On sait que le débit est Q=dV/dt=v(t)S (où V est le volume) donc dV=v(t)Sdt...
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  3. #3
    zapple

    Re : Equadiff et écoulement

    Personnellement, je trouve , où B est le point de sorti. Le vient du fait que la surface de l'orifice peut être considéré comme très petite devant celle de l'eau à la surface.

    Quant à l'équation que tu demandes, je pense que ca doit être celle pour la hauteur h(t). Pour cela, il suffit d'utiliser la conservation du débit volumique :, puis d'écrire que dans cette équation et d'y injecter la valeur de donnée plus haut. Tu obtiendras une équation différentielle du genre :; et si tu veux obtenir l'expression de h(t) il te suffit de séparer les h d'un coté et le temps de l'autre et d'intégrer, en n'ayant soin de pas oublier la constante d'intégration. Cette constante s'obtient en posant simplement la valeur de h(t) lorsque t=0.

    Je te laisse le soin de calculer tout ca

  4. #4
    alias_sg1

    Re : Equadiff et écoulement

    Il me pose toujours problème ce foutu énoncé...

    Je sais que le débit est la dérivée du volume par rapport au temps.
    Je sais aussi que le débit c'est le produit de la vitesse d'écoulement et de la section du trou.
    J'égale les deux membres.

    J'ai donc dans le membre de gauche ma dérivée ( la fonction que je cherche est bien V(t) non ??). Dans le membre de droite par contre ( après avoir remplacé v(t) avec la formule de Toricelli) j'ai h(t) que je transforme en V(t)/(pi*0,5²)

    J'ai donc V(t) a droite (dans une racine...) et ma dérivée a gauche et j'obtiens exactement :

    dV/dt = pi*(rayon trou)²*0,6*racine(8g/pi*V(t))

    Et la que faire ? J'ai essayé en intégrant mais je m'y perd...
    Et autre question : je dois pas mettre un signe "-" devant le dV/dt ?

    Merci bcp !!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Tito1337

    Re : Equadiff et écoulement

    Haha j'ai exactement le même exercice dans mon syllabus de maths

    Bref, j'y arrive pas non plus... Un petit up?

    J'ai donc le débit qui est
    - la variation de volume en fonction du temps qu'on peut transformer en variation de hauteur en fonction du temps :
    - la vitesse d'écoulement multipliée par la surface d'écoulement :

    On recherche la fonction h(t). On se retrouve donc avec cette équadiff :

    Mon raisonnement me semble logique mais l'équdiff beaucoup moins puisque dans le chapitre en question on n'a pas vu comment résoudre une équadiff avec une racine carrée puante

    Je me trompe d'équation? Y'a plus simple? Help please...

  7. #6
    Nicolas83

    Re : Equadiff et écoulement

    Bonjour,

    Je ne pense pas que ton équa diff soit bonne car pas homogène me semble t il :
    - Membre de gauche homogène à une vitesse
    - Membre de droite homogène à une vitesse * surface (je suppose que 0.005 est un rayon ...)

    Pour la résolution, regarde le post de zapple, il te donne exactement la démarche et les formules pour calculer h(t). l'équa diff est simple es considérant qu'une fois arrangée, une fonction u'/racine(u) s'intègre en 2.racine(u)

    Bon courage

  8. #7
    Tito1337

    Re : Equadiff et écoulement

    Alors j'ai relu très attentivement le post de zapple (que je n'avais pas bien compris la première fois) et ce qu'il propose est effectivement génial Au cas où un autre pauvre petit étudiant de l'EPL passerait par ici, je résume:

    On a la vitesse d'écoulement de l'eau par l'orifice et donc le débit, produit de la surface et vitesse d'écoulement (en m³/s)

    On peut calculer le débit d'écoulement de l'eau à travers un anneau du cylindre, produit de la vitesse d'écoulement et de la surface. La vitesse est la dérivée de la position. (La vitesse est ici la vitesse d'écoulement dans le cylindre et la position n'est autre que la hauteur de l'eau à cet instant) :

    Or, le débit d'écoulement par l'orifice est le même que le débit d'écoulement à travers l'anneau.

    On trouve donc l'équation

    On intègre des deux côtés pour obtenir

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