Equation différentiel dans un circuit RC

[manu840]

Bonjour à toutes et à tous,

Je suis bloqué dans un exercice de RC tout simple lol

Voici l'énoncé :
On réalise un montage RC avec la charge et la décharge.

(...) La résistance du conducteur ohmique est R=100Ω, la capacité du condensateur C=1.00µF et la tension U=3.00V. Le commutateur est initialement en position 1 (le circuit de décharge). A l'instant t=0, on le bascule en position 2. (circuit de charge)

a. Etablir, en précisant les conventions d'orientation utilisées pour les tensions et les intensités, l'équation différentielle vérifiée par la tension Uc aux bornes du condensateur à partir de l'instant t=0.
b. Cette équation admet des solutions de la forme U_c=A*e^-t/(R*C)+B. Déterminer les valeurs de A et B
c. Déterminer l'expression de l'évolution de l'intensité i dans le circuit à partir de l'instant t=0.
d. Peut-on considérer qu'à t=1s la charge est terminée?
e. Déterminer la valeur Q de la charge du condensateur et l'énergie emmagasinée dans le condensateur à t=1s.

Mes réponses :

E : tension aux bornes du générateur.
U_R : tension aux bornes de la résistance.
U_C : tension aux bornes du condensateur.

a. Equation différentielle :

U = U_R+U_C (1)
U=R*i+U_C

i = (dq_b)/(dt)
q_b = C * U_C

Donc : i = C * (dU_C)/(dt)

(1) U=R*C*(dU_C)/(dt)+U_C


(dU_C)/(dt) = - U_C/(R*C)+U/(R*C)

A = -1/(RC) et B = U/(RC)



b. La solution de l'équation est U_C==A*e^-t/(R*C)+B:

U_C = - 1/(R*C)*e^{- t/(R*C)}+U



c. Intensité i à t=0 :

A t=0, U_C=0V

U_C(t) = - e^{- t/(R*C)}/(R*C) + U
0 = -U/ (R*c)



Déjà je ne pense pas que ça soit juste et encore moins la partie C.
Si quelqu'un pourrait m'aider sur les 3 dernières questions et également me corriger les 2 premières.

Merci par avance,
Très cordialement,
M@nu840
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[invite8241b23e]

Salut !

Comment trouves-tu cette valeur pour A ?

Sinon, pour c, je te rappelle que i = dq/dt !

[manu840]

i=dq/dt c'est ce que j'ai fait non? ^o)

Pour trouver A et B?
J'ai utiliser la résolution d'équa diff par les mathématiques ou la solution est (en math) f(x) = k. e^a*x-b/a


Mais en y réfléchissant c'est absurde ce que j'ai fait dans mon raisonnement enfin c'est pas possible.
Bon bah enfaite y a un problème à partir de la résolution de l'équa diff :s

[invite8241b23e]

Pour l'équa diff, li faut remplacer u et du/dt dans l'équa diff, et ça devrait aller !

[A voir en vidéo sur Futura]

[manu840]

Mais je remplace u et du/dt par quoi?

[invite8241b23e]

Ben tu sais que Uc=A*e-t/(R*C)+B et du/dt, c'est la dérivée.

[manu840]

Oui, j'ai réfléchit après lol
En faite j'étais pas réveillé ce matin mdr

ALors ça fait :
J'ai remplacer U par E pour la tension du générateur, c'est plus judiceux

1) E =U_R+U_C
E = R+i+U_C
E =R*C*(dU_C/dt)+U_C (1)

2) E = R*C*(-A*e^-t/(R+C))+A*e^-t/(R*C)+B
E = B

A t=0, U_C=0v

0=A*e⁰+E
A=-E

U_C=E*(-e^-t/(R*C)+1) (2)

3) je suis sur la question, mais je pense avoir une idée pour la résoudre, je doit isoler dU_C/dt dans la première expression (1) de la 1ier question ?

[manu840]

En faite çe ne mêne en rien pour la question 3
j'avais fait ça:

(1) : dU_C/dt = (E-U_C)/(R*C) = -1/(R*C)*U_C+E/(R*C)

En résolution mathématique on trouve un a = -1/(R*C) et b = E/(R*C)

Mais faut trouver l'expression de l'évolution de l'intensité i dans le circuit à partir de l'intant t=0 et je ne sais pas comment faire :s

[manu840]

J'avais oublier de marqué ça dans ma réponse précédente
"DONC : U_C(t) = k*e^-t/(R*C)+E"

[invite8241b23e]

Pour la c., tu as u(t). Que faut q(t) ?

[manu840]

Je ne comprend pas.

Oui hj'ai U_C(t), mais qu'est ce que q(t) ? et on l'obtient comment? ^o)

[invite8241b23e]

T'as pas une relation qui relie u et q ?

[manu840]

bah q= C * U_C

je suppose que je remplace U_C par ce que j'ai trouvé au b.

q(t) = C * E*(-e^-t/(R*C)+1)

A t=0

donc q = C ? et c'est donc la relation

[invite8241b23e]

Bon, tu as l'expression de q. Comment faire pour trouver i ?

Et pourquoi veux-tu absolument chercher à t=0 ? Dans l'énonce, on te dit "à partir de t=0".

[manu840]

i = dq/dt donc je fais la dérivé de l'expression trouvé tout à l'heure. Une dérivé ou je but un peut à la faire :s

[manu840]

si j'ai bien compris et si je ne me suis aps plantéça nous fait

i = (C*E*e^-t/(R*C))/(R*C)

C'est ça?

[invite8241b23e]

C'est très bien.

Simplifie juste le résultat !

[manu840]

c. Simplification par C ça nous fait donc :

i = (E*e^-t/(R*C))/R


d. Après pour la question d. je ne sais aps non plus fiare (déssolé ej susi chiant lol) je sais que l'on considére un condensateur chargé quand il est à 63% de sa tention finale.
On applique la formule de tau ? soit : τ = R*C = 100*1.00E^-6 = 1.00E^-4s.
La charge est donc terminé à t = 1 s


e. Energie emmagasinée :
E_C = 1/2*C * U _C2
E_C = 1/2 * 1.00E-6*3.00²
E_C = 5.00E-6 J

Si peu?

Comment on détermine la valeur Q sz la charge du condensateur?

[manu840]

on se sertr de la relation q = C * U_C
donc q = 1.00E-6 * 3.00 = 3.00E-6 J ?

[invite8241b23e]

On considère qu'un condensateur est chargé à partir de 5 "tho", et pas à partir d'un seul, attention !

Sinon, erreur de calcul pour l'énergie, moi je trouve 4.5E-6 !

Et en effet, c'est Q = CU, mais l'unité n'est pas bonne !

[manu840]

_ Je n'ai jamasi entendu parler de "tho", pourrai tu en dire plus stp? (ce n'est peut etre pas au programme vu que l'ont fait du superficielle...) à moins que tu parle de la lettre grec lol

_ C'est bisarre j'ai beau refaire le calcul, pour l'énergie emmagasinée je trouve bien 5.00E-6J. Il faut bien faire 1/2 * C * U_C² soit 1/2 * 1.00E-6 * 3.00 = 5.00E-6J...

_ oui exactement pour q j'ai fait une erreur sur l'unité c'est des coulomb C.

[invite8241b23e]

C'est bien la constante de temps !

Sinon, tu as oublié de mettre le 3 au carré. Et la moitié de 9, ça doit faire environ 4.5 !

[manu840]

_ oui ça me parraissais bisard également, parce qeu de tete ça fait 4.5E-6 mais sur la calculette ça faisait 5.0E-6 mais en faite c'est qu'elle était configuré pour afficher qeu 6 flottants donc elle arrondissait lol

_ l'histoire des que le condensateur est chargé à 5 tau je le trouve pas dans mon cours.
Donc si j'ai compris, le condensateur est chargé à 5t = R*C = 1.00e-4 donc t = 2.0 e -5 s, c'est ça?
De totue façon il est chargé à 1s lol

[manu840]

c'est faux ce que ej viens de dire

Constante de temps d'un condensateur chargé :
5t = 5*R*C = 5.0E-5s

c'est ce que j'ai compris qu'il faut faire

[invite8241b23e]

Disont qu'à 5 tau, il est chargé à 99%, donc là, on a allègrement dépassé les 5 tau et on peut donc conclure qu'il est chargé !

[manu840]

oki d'accord, bah j'ai enfin terminé les R,C maintenant la chimie mdr

Merci à toi de ton aide mais surtout de ta patience !
Bonne fête de fin d'année
M@nu840

[invite8241b23e]

Bonnes fêtes à toi aussi ! Si t'as d'autres questions, n'hésite pas !

[invitea79d7113]

svp comment trouvez léquation diféretielle de l'éergie émégésiné le condesateur au cas de la charge