Covariant, Invariant

[Jada]

Bonsoir à tous,

J'aimerais savoir quelle est la différence entre dire qu'une équation de la physique est covariante sous une classe de transformations et dire qu'elle est invariante sous une classe de transformations.

Merci,
JadA
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[Karibou Blanc]

Un invariant ne varie pas. Une grandeur covariante se transforme comme la représentation vecteur (dite aussi fondamentale) du groupe de transformation.

[gatsu]

Un invariant ne varie pas. Une grandeur covariante se transforme comme la représentation vecteur (dite aussi fondamentale) du groupe de transformation.

Je ne dirais pas ça de façon aussi simple...
Un champ scalaire invariant sous une transformation des coordonnées ne varie pas mais c'est le seul exemple. Cela souligne que la définition d'une grandeur invariante sous une transformation dépend de la grandeur en elle même, par exemple si la grandeur est vectorielle (notons la ) on définiera l'invariance sous une transformation des coordonnées de la façon suivante :

Il doit donc focément exister une formulation générale de la définition de l'invariance d'une quantité tensorielle quelconque mais je ne la connais pas.

En revanche selon moi la "covariance " est un concept different et est essentiellement associée à une equation. Ainsi, une equation est dite covariante sous une transformation si sa forme reste exactement la même après que chaque terme de l'equation ai été transformé, cela ne suppose donc rien sur l'invariance des quantités présentes dans l'equation.

[Karibou Blanc]

on définiera l'invariance sous une transformation des coordonnées de la façon suivante :

ce n'est pas une invariance, mais une covariance. D'une manière générale, et ce par construction, une grandeur tensorielle n'est pas invariante, mais covariante. Seul la représentation scalaire est invariante. Notez qu'on peut construire un scalaire en contractant les indices d'un tenseur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

En revanche selon moi la "covariance " est un concept different et est essentiellement associée à une equation

Non, cette notion est associée à la loi de transformation d'une représentation. Ce que tu dis n'est vrai que parce que ton équation met en relation des grandeurs qui vivent dans des représentations d'un groupe de transformations.

[Karibou Blanc]

Ainsi, une equation est dite covariante sous une transformation si sa forme reste exactement la même après que chaque terme de l'equation ai été transformé

Non, si l'équation reste la meme, c'est une invariance. Exemple les équation de Maxwell ne sont pas invariantes car le membre de gauche est un vecteur. Mais elles sont covariantes car elles se transforment comme un vecteur.

[gatsu]

Non, si l'équation reste la meme, c'est une invariance. Exemple les équation de Maxwell ne sont pas invariantes car le membre de gauche est un vecteur. Mais elles sont covariantes car elles se transforment comme un vecteur.

Je n'ai pas dit que l'equation restait la même mais que sa forme restait la même ce qui est exactement la même chose que ce que tu dis.

Pour le reste de tes remarques tu as sans doute raison il faut que je revoie ça. N'empeche qu'il reste dans ce cas là important de souligner que la covariance d'une equation n'implique pas la covariance (au sens où tu l'as définie) de chacun des termes de l'equation.

[Karibou Blanc]

Je n'ai pas dit que l'equation restait la même mais que sa forme restait la même ce qui est exactement la même chose que ce que tu dis.

je ne sais pas ce que tu appelles forme, mais si tu fais une transformation de Lorentz de l'équation précédente tu auras : pour moi ce n'est pas exactement la meme forme donc l'équation n'est pas invariante, mais covariante.

[Karibou Blanc]

N'empeche qu'il reste dans ce cas là important de souligner que la covariance d'une equation n'implique pas la covariance (au sens où tu l'as définie) de chacun des termes de l'equation.

au sens ou je viens de le définir (qui est le seul sens), si, car les représentations qu'on utilise ici sont linéaires. Imagine que j'ajoute un courant à droite de l'équation précédente, ce dernier sera un vecteur (par dimensionalité des représentations), j'obtiens : , chaque terme se transforme comme un vecteur (sinon l'équation n'a pas de sens), ainsi apres un transfo de Lorentz on obtient : .

[Karibou Blanc]

Donc l'equation est covariante car chacun de ces termes l'est. Le raison est que les représentations considérées sont linéaires.

[gatsu]

au sens ou je viens de le définir (qui est le seul sens), si, car les représentations qu'on utilise ici sont linéaires. Imagine que j'ajoute un courant à droite de l'équation précédente, ce dernier sera un vecteur (par dimensionalité des représentations), j'obtiens : , chaque terme se transforme comme un vecteur (sinon l'équation n'a pas de sens), ainsi apres un transfo de Lorentz on obtient : .

Pour préciser les notations, je considère une transfomration de Lorentz passant de coordonnées primées à des coordonnées non primées.
L'equation

conduit alors à l'expression :
que nu as donné.
Mais bon après rien ne nous empèche de faire une multiplication contractée de cette equation avec les composantes du tenseur de ce qui amène alors :

qui équivaut à

Ca correspond aussi à ma définition d'une equation covariante qui est de dire que l'equation a la même "forme" pour les quantités transformées (ici primées).
Il est à noter que dans ce cas ce n'est effectivement pas directement l'equation après transformation à laquelle on s'interesse mais l'equation "la plus simple" que vérifient les quantités après transformation.

Donc l'equation est covariante car chacun de ces termes l'est. Le raison est que les représentations considérées sont linéaires.

Il semble à la vue de cette phrase que nous ne parlons définitivement pas de la même chose mais je vais y réfléchir pour demain ; pour l'instant dodo ! .

[gatsu]

ce n'est pas une invariance, mais une covariance. D'une manière générale, et ce par construction, une grandeur tensorielle n'est pas invariante, mais covariante. Seul la représentation scalaire est invariante. Notez qu'on peut construire un scalaire en contractant les indices d'un tenseur.

Je reviens donc sur ce commentaire.
Si je me fie à tous tes autres messages, la covariance finalement définie un "scalaire" ( que j'aurais plutot appelé fonction ou tenseur d'ordre zéro a priori car pour caractériser un scalaire il faut préciser sous quel groupe la quantité dont on parle est scalaire ), un vecteur ou un tenseur de degré quelconque.

Aussi, en suivant ta définition de la covariance ( qui caractérise la transformation suivant l'espace dans lequel on effectue la représentation notée pour un vecteur) on a (on note ) :
- pour une fonction :

- pour un vecteur :


Ce qui correspond exactement à ce que tu as écrit dans tes derniers messages sauf que je précise ce qu'il se passe en argument.
Avec ces dernières définitions on peut montrer par exemple que les equations de Maxwell sont covariantes au sens où chacun de nous l'entend (et contrairement à ce que tu dis je ne pense pas qu'il n'existe qu'une seule et unique définition d'une equation covariante communément admise par l'ensemble de la communauté scientifique).

Après on peut définir une autre propriété qui est l'invariance sous une transformation :

-pour le tenseur d'ordre zéro on a par définition :


où la dernière égalité définie l'invariance. Il est bien évident que cette propriété n'est pas du tout générale et n'est vraie que pour certains systèmes invariants sous cette transformation.

-Pour le vecteur on a également :


où la dernière égalité définie l'invariance. Encore une fois cette égalité n'a aucune raison d'être générale.

Les applications et les exemples de ce genre de propriétés ne manquent pas, il suffit d'ouvrir un bouquin d'électrostatique de Licence pour voir que l'invariance d'un champ de vecteur veut dire autre chose que le simple mode de transformation du champ sus nommé.

je sais pas comment tu appelles cette propriété, mais si tu l'appelles covariance, il faut que tu soit plus précis parce que là alors je comprends pas.
Enfin ce que je veux souligner, c'est qu'une equation peut être covariante, au sens où chacun de nous l'a défini (qui sont équivalentes d'ailleurs ), sans pour autant que chacun de ses termes ne soit invariant au sens où je l'ai défini.