Invariant

[inviteccb09896]

Bonjour

Comment est-ce qu'on peut montrer que



est un invariant ? J'ai cherché mais pas trouvé (du moins pour l'instant...)

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[inviteccb09896]

Pour info... j'avais pensé au fait que puisque est invariant (j'ai la démo) et aussi alors leur multiplication était invariante.

Mais j'aurai préféré une démonstration directe car est supposé invariant car le d'alembertien de l'est.

Je trouvais pas cela nécessairement génial comme méthode d'approche.

[invite93279690]

Pour info... j'avais pensé au fait que puisque est invariant (j'ai la démo) et aussi alors leur multiplication était invariante.

Mais j'aurai préféré une démonstration directe car est supposé invariant car le d'alembertien de l'est.

Je trouvais pas cela nécessairement génial comme méthode d'approche.

En fait si on fait un raisonnement a priori on peut supposer (c'est un postulat) que le champ peut être décrit par un quadrivecteur de composante contravariante (là c'est une définition). Ensuite comme tu l'as précisé on peut aussi montrer que est la composante d'un quadrivecteur en partant par exemple de la conservation de la charge (je ne suis pas sûr par contre que "invariant" soit la bonne dénomination). Tu n'as plus qu'à faire le produit scalaire de ces deux quadrivecteurs (qui est donc lui invariant par propriété).

[inviteca4b3353]

Salut,

Par définition les quadri-vecteurs sont co(ntra)variants c'est à dire qu'il se transforme ! Ils ne sont pas invariants !

par définition un quadrivecteur contravariant se transforme comme :



et un vecteur covariant comme :



Si bien que la contraction des deux est un invariant :

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteccb09896]

oui excuse-moi. je me suis mélangé les pinceaux entre la pseudo-norme qui est invariante et les quadrivecteurs qui sont contravariants. Mais merci pour ton intervention

[spi100]

Bonjour

Comment est-ce qu'on peut montrer que



est un invariant ? J'ai cherché mais pas trouvé (du moins pour l'instant...)

Merci d'avance pour votre aide.

Et si tu veux une explication plus avec les mains.
est le produit scalaire de J et de A. Si tu fais subir la même (quadri)rotation aux deux vecteurs, l'angle entre J et A reste inchangé et donc le produit scalaire.

[inviteccb09896]

Merci beaucoup pour l'indication par SO(4,|R)

Elle est très bien !

[mtheory]

Et si tu veux une explication plus avec les mains.
est le produit scalaire de J et de A. Si tu fais subir la même (quadri)rotation aux deux vecteurs, l'angle entre J et A reste inchangé et donc le produit scalaire.

Salut spi.
ça m'embête,y a pas que les rotations ou les boosts de SO(3,1) qui sont admissibles comme transformations du système de coordonnées.En plus l'espace-temps n'est pas forcément plat.

[spi100]

Salut spi.
ça m'embête,y a pas que les rotations ou les boosts de SO(3,1) qui sont admissibles comme transformations du système de coordonnées.En plus l'espace-temps n'est pas forcément plat.

Oui, comme je disais c'est une explication avec les mains pour faire sentir pourquoi un produit scalaire est invariant. Prendre le cas particulier des rotations à l'avantage d'être parlant et de bien faire sentir pourquoi la quantité est conservé. Mais effectivement tu as raison tout transformation vérifiant laisse le prod scal invariant.

[invité576543]

Et si tu veux une explication plus avec les mains.
est le produit scalaire de J et de A. Si tu fais subir la même (quadri)rotation aux deux vecteurs, l'angle entre J et A reste inchangé et donc le produit scalaire.

Bonjour,

Juste une remarque au passage.Il me semble que écrit comme ça est trivialement invariant: cette notation n'est pas celle d'un produit scalaire, mais celle de l'application d'une forme à un vecteur . Or toute application d'une forme à un vecteur donne un résultat indépendant de la base, quelle qu'elle soit (il suffit que les composantes soient exprimées dans les bases duales), même ne respectant pas la métrique.

Cordialement,

[spi100]

c'est bien un produit scalaire entre deux vecteurs.

[mtheory]

Bonjour,

Juste une remarque au passage.Il me semble que écrit comme ça est trivialement invariant: cette notation n'est pas celle d'un produit scalaire, mais celle de l'application d'une forme à un vecteur . Or toute application d'une forme à un vecteur donne un résultat indépendant de la base, quelle qu'elle soit (il suffit que les composantes soient exprimées dans les bases duales), même ne respectant pas la métrique.

Cordialement,

Dans le cas présent il n'y a aucun doute,c'est une contraction de deux vecteurs dans l'espace-temps et donc bien un produit scalaire.

[invitea29d1598]

cette notation n'est pas celle d'un produit scalaire, mais celle de l'application d'une forme à un vecteur .

disons qu'un physicien regarde ça comme la notation pour un produit scalaire car on zappe les applications dièse et bémol la plupart du temps

[invité576543]

disons qu'un physicien regarde ça comme la notation pour un produit scalaire car on zappe les applications dièse et bémol la plupart du temps

?? Ca veut dire quoi dièse et bémol ?? Monter et descendre les indices?

SInon, je trouve ta remarque et celle de Deep curieuses, si je puis me permettre. J'ai mis pas mal de temps par de simples lectures (pas les bonnes? pas celles de physiciens?) à faire le tri dans les notations de l'algèbre linéaire. J'en suis arrivé à la conclusion qu'il y a une importante différence entre le produit scalaire et l'application d'une 1-forme à un vecteur. Comprendre cela m'a pas mal aidé pour faire le tri entre ce qui marche en RR mais ne marche pas en RG...

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Oui, comme je disais c'est une explication avec les mains pour faire sentir pourquoi un produit scalaire est invariant. Prendre le cas particulier des rotations à l'avantage d'être parlant et de bien faire sentir pourquoi la quantité est conservé. Mais effectivement tu as raison tout transformation vérifiant laisse le prod scal invariant.

.
Et je dirais même plus si on prend un tenseur de rang 17, le produit scalaire de celui-ci par un autre de même rang est un scalaire, car un tenseur est d'abord un vecteur (au sens usuel des mathématiques). Ce vecteur ayant des composantes qui se transforment les unes dans les autres d'une manière spéciale par changement de base.
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Relativement à ce qu'écrit mmy, je suis d'accord avec ce qu'écrit Rincevent: "on peut zapper dièse bémol" cad ignorer la dualité.
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On avait discuter de cet aspect avec Rincevent dans un fil nommé tenseur, spineur ....
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Il est préférable da ce mettre dans la tête qu'un tenseur c'est d'abord un vecteur.
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D'ailleurs j'avais noté que toutes de raisonnements sur les tenseurs se trouvent déjà dans la théorie de représentations des groupes.
.
Par exemple lorsque l'on décompose un tenseur de rang 2 représenté par une matrice 3.3 on sait décomposer celle-ci entre une matrice diagonale + une matrice symétrique à Trace nulle + une matrice antisymétrique.
.
Dans le langage de la théorie des groupes cela revient à décomposer une représentable réductible de dimension 9 de O(3) en ses composantes irréductibles: On a
.
D1.D1 = D2 + D1 + D0 ( 3.3) = 9 = 5 + 3 + 1

[inviteca4b3353]

J'en suis arrivé à la conclusion qu'il y a une importante différence entre le produit scalaire et l'application d'une 1-forme à un vecteur

Qui est ?
Pour moi c'est la définition même du produit scalaire...

[invité576543]

Qui est ?
Pour moi c'est la définition même du produit scalaire...

Non. Comme l'a écrit spi, le produit scalaire de deux vecteurs (comme tenseurs (1,0)), c'est . Ca fait explicitement intervenir la métrique.

Il y a des objets physiques, comme un simple gradient, qui sont naturellement des formes (tenseurs (0,1)), et dont l'application à un vecteur ne fait pas intervenir la métrique: voir cela comme un produit scalaire est assez pervers, puisque cela revient à faire intervenir un concept inutile dans ce cas (la métrique). D'où un comportement différent en RG et en RR. L'application d'un gradient à un vecteur donne le même résultat avec tout changement de base. La métrique est un truc finalement très bizarre, en particulier vue comme une bijection entre vecteurs et 1-formes. Il y a des fois où je me demande s'il faut la prendre comme "chose naturelle" et l'omettre....

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Non. Comme l'a écrit spi, le produit scalaire de deux vecteurs (comme tenseurs (1,0)), c'est . Ca fait explicitement intervenir la métrique.

Il y a des objets physiques, comme un simple gradient, qui sont naturellement des formes (tenseurs (0,1)), et dont l'application à un vecteur ne fait pas intervenir la métrique: voir cela comme un produit scalaire est assez pervers, puisque cela revient à faire intervenir un concept inutile dans ce cas (la métrique). D'où un comportement différent en RG et en RR. L'application d'un gradient à un vecteur donne le même résultat avec tout changement de base. La métrique est un truc finalement très bizarre, en particulier vue comme une bijection entre vecteurs et 1-formes. Il y a des fois où je me demande s'il faut la prendre comme "chose naturelle" et l'omettre....

Cordialement,

Bonjour mmy
.
est un tenseur de rang 2


est un tenseur de rang 2 comme produit de 2 tenseurs de rang 1

Le produit scalaire de 2 tenseurs de rang 2 est un scalaire (en respectant la dualité des objets).
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[invite7ce6aa19]

Non. Comme l'a écrit spi, le produit scalaire de deux vecteurs (comme tenseurs (1,0)), c'est . Ca fait explicitement intervenir la métrique.

Il y a des objets physiques, comme un simple gradient, qui sont naturellement des formes (tenseurs (0,1)), et dont l'application à un vecteur ne fait pas intervenir la métrique: voir cela comme un produit scalaire est assez pervers, puisque cela revient à faire intervenir un concept inutile dans ce cas (la métrique).

.
En fait si tu prends le gradient d'un champ vectoriel tu as le gradient de 3 champs scalaires, soient 9 composantes.
.
Du point de vue du changement de base le gradient et le vecteur se transforment l'un et l'autre comme la base. autrement dit le produit se transforme comme x2 +y2+z2 cad comme un produit scalaire. Tu peux le vérifier en changeant x en -x.
.

D'où un comportement différent en RG et en RR. L'application d'un gradient à un vecteur donne le même résultat avec tout changement de base. La métrique est un truc finalement très bizarre, en particulier vue comme une bijection entre vecteurs et 1-formes. Il y a des fois où je me demande s'il faut la prendre comme "chose naturelle" et l'omettre....

. Il faut comprendre la métrique comme un tenseur de rang 2 et tout devient clair.

Cordialement,

[invitea29d1598]

Il y a des objets physiques, comme un simple gradient, qui sont naturellement des formes (tenseurs (0,1)), et dont l'application à un vecteur ne fait pas intervenir la métrique: voir cela comme un produit scalaire est assez pervers, puisque cela revient à faire intervenir un concept inutile dans ce cas (la métrique).

inutile dans ce cas mais un physicien oublie souvent cela car (et il peut se le permettre):
- il travaille le plus souvent dans une théorie où tous les objets mathématiques sont disponibles (métriques, connexion, etc). Donc généralement le physicien se prend pas la tête à tout faire de manière rigoureuse et minimaliste (c'est faux quand il cherche à aller plus loin que la théorie dont il dispose, cf la gravitation quantique, les extensions non-quantiques tentées de la RG, etc...)

- à partir du moment où la métrique n'est pas dégénérée, tu as des isomorphismes entre espace vectoriel tangent et cotangent (on les nomme souvent dièse et bémol) donc on considère parfois (mais c'est un tort) que l'on peut travailler autant avec les "composantes covariantes" que les "covariantes" même si comme tu le soulignes, la "différence de nature" est importante (mais c'est surtout si on utilise le calcul extérieur qu'on le voit or beaucoup de physiciens ne l'ont jamais étudié et ne l'emploient pas).

La métrique est un truc finalement très bizarre, en particulier vue comme une bijection entre vecteurs et 1-formes.

pourquoi, "très bizarre" ?

Il y a des fois où je me demande s'il faut la prendre comme "chose naturelle" et l'omettre....

dans les formulations "modernes" de la RG, on essaie de se débarrasser de la métrique de manière à avoir un truc plus proche des théories de jauge usuelles. C'est par exemple ce qui se fait en "Loop Quantum Gravity" et plus généralement avec la formulation d'Ashtekar de la RG ou encore avec les formulations dans lesquelles on donne la priorité à la connexion et à une tétrade orthonormée. La seule métrique qui reste est alors plate et définie sur l'espace tangent.

Du point de vue du changement de base le gradient et le vecteur se transforment l'un et l'autre comme la base.

tu parles de quels vecteur/gradient ?

Il faut comprendre la métrique comme un tenseur de rang 2 et tout devient clair.

je pense que mmy n'a pas de problème avec les maths liés à la structure métrique (isomorphisme entre duaux, etc), mais qu'il parle de la "naturalité" des concepts. Par exemple il a entièrement raison quand il dit qu'un gradient est une forme et pas un vecteur, même si on peut en première approximation zapper cette différence.

[invite7ce6aa19]

[QUOTE=Rincevent]

je pense que mmy n'a pas de problème avec les maths liés à la structure métrique (isomorphisme entre duaux, etc), mais qu'il parle de la "naturalité" des concepts. Par exemple il a entièrement raison quand il dit qu'un gradient est une forme et pas un vecteur, même si on peut en première approximation zapper cette différence.

.

Il me semble que l'on avait déjà discuter de tout cela.
.
Bien évidemment un gradient c'est une forme, puisque c'est une application sur un espace vectoriel E. Mais l'ensemble des formes qui forment le dual E* sous-tend un espace vectoriel et donc le gradient est un vecteur dont les propriétés par changement de bases sont pilotées par ceux de l'espace E.
.
Donc le gradient est un vecteur de E* qui se transforme comme (x,y,z) et c'est donc un tenseur de rang1.
.
De la même façon un tenseur de rang 17 sera encore un vecteur (mais avec d'autres propriétés de transformation).
.
Par expérience je sais que les gens bloquent au départ avec les tenseurs parce qu'ils ne percoivent pas qu'un tenseur c'est d'abord un vecteur (muni de propriété spéciales).
.
Lorsque l'on présente un tenseur diélectrique 3.3 on le représente sous la forme d'une matrice (c'est la présentation en tant que forme) mais ce qui est important c'est de le penser comme vecteur.
.
J'ai donner l'exemple de la décomposition d'un tenseur de rang 2, (vecteur à 9 composantes) qui vue en tant que forme se décompose en 3 matrices: une matrice de trace nulle + une matrice symétrique + une matrice antisymétrique. Cela apparait comme une "astuce".
.
En tant que vecteur cela signifie qu'il y 3 sous-espaces invariants par changement de base:
.
1 Espace de 1 dimension (scalaire de trace nulle).
.
2- Espace de 3 dimensions (3 composantes de la matrice antisymétrique).
.
3- Espace de 5 dimensions (5 composantes de la matrice symétrique).
.
On a bien: 3*3 = 1 + 3 + 5
.
Dans la théorie des représentations des groupes qui généralisent le cacul tensoriel) on a:
.
...D1*D1 = D2 + D1 + D0 3*3 = 5 + 3 + 1

La dimension de Dn est 2.n + 1
.
Dans ce cas on dit que l'on a décomposer le tenseur réductible dans 0(3) de rang 2 en ses composantes irréductibles relativement à O(3).
.
Encore j'insiste pour dire que si on introduit le tenseur comme une forme, ce qui compte c'est son aspect vectoriel (de E*).
.
Si on veut zapper quelquechose c'est forme qu'il faut zapper et surtout pas vecteur.
.
Et pour finir un spineur c'est encore un vecteur sauf que les propriétés par changement de base sont autres.
.
En théorie des groupes on définit des opérateurs tensoriels irréductibles qui sont la généralisation des tenseurs. Un opérateur tensoriel irréductible c'est:
.
Un opérateur (cad un élément d'un espace dual) qui par changement dans l'espace de base (un espace de Hilbert) est un vecteur qui sous-tend un sous espace invariant relativement à un groupe (en général un groupe de symétrie).

[invité576543]

Bonsoir,

(mais c'est surtout si on utilise le calcul extérieur qu'on le voit or beaucoup de physiciens ne l'ont jamais étudié et ne l'emploient pas).

J'ai découvert le calcul extérieur il y a quelque temps, au hasard de mes lectures, et j'ai trouvé ça fascinant et très élucidant pour comprendre plein de choses en physique! Que le sujet soit rarement abordé dans les vulgarisations je l'avais constaté, mais ce que tu dis sur le physiciens m'interloque!

pourquoi, "très bizarre" ?

Parce qu'en métrique euclidienne la bijection entre un gradient et un vecteur est assez naturelle: c'est plus ou moins la notion de direction principale d'une ellipse ou d'un 8, la direction de variation maximale.

Mais en signature minkowskienne (y compris en 2D (+ -)), la relation "géométrique" n'est pas très visible (enfin, pour moi!), et la métrique semble arbitraire. Ce côté (partiellement) arbitraire est bien ce qu'on voit en RG, où la métrique "varie". Et c'est en comprenant l'aspect arbitraire de la métrique que j'arrive à aborder la RG...

dans les formulations "modernes" de la RG, on essaie de se débarrasser de la métrique de manière à avoir un truc plus proche des théories de jauge usuelles.

Ca m'intéresse, ça! T'as des références sur des papiers abordant précisément comment se débarasser de la métrique? En travaillant quelques années, j'arriverai peut-être à les comprendre!

...qu'un gradient est une forme et pas un vecteur, même si on peut en première approximation zapper cette différence.

Il y a quand même une chose qui me chiffonne. Le choix de la signature -+++ ou +--- change le signe d'un produit scalaire. Or l'application d'un gradient à un vecteur garde le même signe, indépendamment de la signature de la métrique. Il doit donc y avoir (?) un moyen de distinguer les "machins physiques" dont le signe dépend du choix de signature ou non.

Cordialement,

[invite93279690]

J'ai pas dû étudier les formes exterieurs jusque là...donc je suis un peu perdu là
Est ce que quelqu'un pourrait me montrer comment on écrit un gradient dans le formalisme de l'algèbre extérieur svp parceque là je vois pas très bien

[invite93279690]

En fait le seul objet "differentiel" que je connaisse en algèbre exterieur c'est la dérivé exterieur....pour faire le gradient d'une fonction j'aurais donc tendance à penser à un objet qui fait passer d'une 0-forme à une 1-forme tout en introduisant les dérivés de la 0-forme donc à la dérivé exterieur:

Aussi si on a une 0-forme alors on peut former une 1-forme par :

(où d est la dérivé exterieur.)

avec les composantes dans l'espace dual.

Est ce que c'est comme ça que vous écrivez le gradient ?

[invité576543]

En fait le seul objet "differentiel" que je connaisse en algèbre exterieur c'est la dérivé exterieur....pour faire le gradient d'une fonction j'aurais donc tendance à penser à un objet qui fait passer d'une 0-forme à une 1-forme tout en introduisant les dérivés de la 0-forme donc à la dérivé exterieur:

Aussi si on a une 0-forme alors on peut former une 1-forme par :

(où d est la dérivé exterieur.)

avec les composantes dans l'espace dual.

Est ce que c'est comme ça que vous écrivez le gradient ?

Bonjour,

C'est ce que je comprend aussi, en notant que le "produit" s'écrit toujours avec des "+", quelle que soit la signature de la métrique. Donc en 4D:



(contrairement au produit scalaire qui s'écrit -+++ ou +---)

Cordialement,

[invite93279690]

Bonjour,

C'est ce que je comprends aussi

On est d'accord alors

en notant que le "produit" s'écrit toujours avec des "+", quelle que soit la signature de la métrique. Donc en 4D:



(contrairement au produit scalaire qui s'écrit -+++ ou +---)

Je pense qu'il faut quand même différencier le fait que est par définition une multiplication avec contraction sur deux indices et que on peut donc remplacer (au choix), par propriété, le tenseur appliqué au vecteurs et appartenant à tel que : par la forme linéaire définie par tel que l'on ait:
.
Alors que la 1-forme qui correpond au gradient que l'on a trouvé ne correpond pas à un sclalaire mais bien à une 1-forme exterieure obtenue par dérivation exterieure sur une 0-forme...une telle définition est a priori comme tu le dis indépendante du tenseur métrique...je ne vois donc pas pourquoi tu parles du tenseur métrique dans ce cas tu peux expliciter svp .

[invité576543]

Alors que la 1-forme qui correpond au gradient que l'on a trouvé ne correpond pas à un sclalaire mais bien à une 1-forme exterieure obtenue par dérivation exterieure sur une 0-forme...une telle définition est a priori comme tu le dis indépendante du tenseur métrique...je ne vois donc pas pourquoi tu parles du tenseur métrique dans ce cas tu peux expliciter svp .

Bonjour,

Dans d'autres messages il était question plus ou moins explicitement de dire que était le produit scalaire. Si on inverse la proposition, cela reviendrait à dire que toute expression de cette forme est un produit scalaire. Or, si l'opération est l'application d'une 1-forme à un vecteur, l'interpréter comme un produit scalaire revient à voir le produit comme le produit scalaire du vecteur et du vecteur ; ce qui demande de faire intervenir la métrique.

Mais tout cela tourne autour du simple fait que d'un côté la pratique usuelle de la physique ne s'encombre pas de la distinction entre vecteurs et formes, alors que je cherche à comprendre le sens physique de la distinction... Dans le premier cas, ces distinctions sont du pinaillage.

Cordialement,

Notes: Pour moi un gradient est une forme, plutôt que correspond à une forme. Ensuite la restriction aux p-formes n'est pas nécessaire, le sujet est la distinction entre indices en haut ou en base, l'antisymétrie n'est pas pertinente. Enfin, le gradient est à la fois la différentielle d'un champ scalaire et la dérivée extérieure dudit champ (simplement parce que la différentielle est une forme (1,0), et que toute forme (1,0) est trivialement antisymétrique).

[invite93279690]

Notes: Pour moi un gradient est une forme, plutôt que correspond à une forme. Ensuite la restriction aux p-formes n'est pas nécessaire, le sujet est la distinction entre indices en haut ou en base, l'antisymétrie n'est pas pertinente. Enfin, le gradient est à la fois la différentielle d'un champ scalaire et la dérivée extérieure dudit champ (simplement parce que la différentielle est une forme (1,0), et que toute forme (1,0) est trivialement antisymétrique).

Ok un gradient est une 1-forme. Mais je ne comprends pas la partie

Enfin, le gradient est à la fois la différentielle d'un champ scalaire et la dérivée extérieure dudit champ

Parceque si le gradient est une 1-forme du type , où les sont les vecteurs de base de l'espace dual E*, l'égalité implique que l'on a pour
ce qui correspond bien au gradient d'un champ scalaire.
En revanche ici je ne comprends pas pourquoi tu parles de differentielle puisqu'une différentielle est un scalaire de telle sorte que si dw est une differentielle alors n'implique pas forcément (puisqu'on sait que le gradient peut aussi être hortogonal au chemin suivi).
Aussi, je pense que pour parler de différentielle on ne peut pas laisser le gradient en tant que 1-forme mais il faut plutot écrire que l'on peut écrire - par définition des vecteurs de base du dual- (qui est un scalaire).
Aussi, on peut aussi écrire de cette façon

Cette écriture nous permet de trouver qu'il existe un vecteur de E tel que

[invité576543]

Bonjour,

Mais je ne comprends pas la partie

C'est peut-être moi qui utilise un vocabulaire innapproprié. J'ai utilisé le mot différentielle au sens suivant: la différentielle d'un tenseur (n, p) est le tenseur (n, p+1) défini comme .

Avec cette définition, la différentielle d'un champ scalaire est aussi la dérivée extérieure du champ scalaire.

Cordialement,

[invitea29d1598]

Il me semble que l'on avait déjà discuter de tout cela.

oui, et justement: le seul truc dont tu m'avais convaincu c'est que ton point de vue était trop restrictif et inadéquat pour diverses choses.

Donc le gradient est un vecteur de E* qui se transforme comme (x,y,z) et c'est donc un tenseur de rang1.

De la même façon un tenseur de rang 17 sera encore un vecteur (mais avec d'autres propriétés de transformation).

on est tous évidemment bien d'accord sur ça.

Par expérience je sais que les gens bloquent au départ avec les tenseurs parce qu'ils ne percoivent pas qu'un tenseur c'est d'abord un vecteur (muni de propriété spéciales).

bah par expérience je sais que voir dans un tenseur avant tout un vecteur c'est avoir un point de vue partial qui te fait râter tout le principal. On est évidemment tous d'accord que l'espace des formes a une structure d'espace vectoriel. Mais reste que ne souhaiter voir dans les formes ou tenseur que des vecteurs, c'est absurde. L'exemple que donnait mmy l'illustre bien: y'a des tonnes de trucs de géométrie différentielle qui se formulent de manière beaucoup plus élégante et intuitive sans la notion/structure de métrique, mais il faut pour ça savoir différencier une forme et un vecteur.

Lorsque l'on présente un tenseur diélectrique 3.3 on le représente sous la forme d'une matrice (c'est la présentation en tant que forme)

euh, non, non... quand on parle de formes, ça n'a a priori strictement rien à voir avec un tenseur d'ordre 2. Cela semble d'ailleurs illustrer ce que je disais à mmy: je suis quasi-certain que tu n'as jamais rencontré l'algèbre extérieure (c'est pas une critique, juste une quasi-constatation).

mais ce qui est important c'est de le penser comme vecteur.

ça dépend pour quoi... c'est utile de savoir que l'espace des tenseurs d'ordre 2 a une structure d'espace vectoriel, mais c'est absurde de dire que les structures supplémentaires sont inutiles ou sans importance. Elles sont d'ailleurs d'autant plus utiles qu'elles interagissent: cf ce qu'a dit et répété mmy sur l'interprétation de termes de couplage avec une forme agissant sur un vecteur plutôt qu'un produit scalaire.

se décompose en 3 matrices: une matrice de trace ulle + une matrice symétrique + une matrice antisymétrique. Cela apparait comme une "astuce". En tant que vecteur cela signifie qu'il y 3 sous-espaces invariants par changement de base:
.
1 Espace de 1 dimension (scalaire de trace nulle).

c'est quoi un scalaire de trace nulle ?

ça serait plutôt "un scalaire" (éventuellement mais pas nécessairement nul puisque c'est la trace du tenseur initial)

3- Espace de 5 dimensions (5 composantes de la matrice symétrique).

si tu ne prends pas soin de dire matrice symétrique de trace nulle, la dimension est 6...

Dans la théorie des représentations des groupes qui généralisent le cacul tensoriel) on a:
.
...D1*D1 = D2 + D1 + D0 3*3 = 5 + 3 + 1

La dimension de Dn est 2.n + 1
.
Dans ce cas on dit que l'on a décomposer le tenseur réductible dans 0(3) de rang 2 en ses composantes irréductibles relativement à O(3).

oui, mais désolé: toute la physique ne se résume pas à la théorie de la représentation des groupes malgré sa grande importance.

Encore j'insiste pour dire que si on introduit le tenseur comme une forme, ce qui compte c'est son aspect vectoriel (de E*).

le tenseur n'est pas nécessairement une forme justement! un tenseur c'est plus général que ça!

Mais en signature minkowskienne (y compris en 2D (+ -)), la relation "géométrique" n'est pas très visible (enfin, pour moi!), et la métrique semble arbitraire. Ce côté (partiellement) arbitraire est bien ce qu'on voit en RG, où la métrique "varie". Et c'est en comprenant l'aspect arbitraire de la métrique que j'arrive à aborder la RG...

désolé, je vois toujours pas trop ce que tu veux dire... mais puisqu'on peut très bien avoir des métriques qui ne soient pas constantes même avec signature euclidienne, ça devrait t'éclairer, non ? idem pour la signature: avec Minkowski en RR tu as une signature pas euclidienne mais constante...

Ca m'intéresse, ça! T'as des références sur des papiers abordant précisément comment se débarasser de la métrique? En travaillant quelques années, j'arriverai peut-être à les comprendre!

exagère pas, c'est pas si dur que ça

en fait, c'est lié aussi à ce dont on avait déjà parlé qui est présenté en appendice du cours de RG de Linet. Le truc, c'est que dès que tu veux introduire des spineurs en RG, tu es obligé d'utiliser "le formalisme de la tétrade". C'est exactement ça: la métrique devient un sous-produit de la tétrade, laquelle est une base orthornormée pour l'espace tangent. Pour réaliser combien c'est en fait pas super complexe et très courant, suffit que tu regardes avec un peu de recul ce que tu fais lorsque tu travailles en coordonnées sphériques mais avec une base de vecteurs orthonormée (c'est-à-dire pas avec la base "naturelle" de coordonnées mais avec la base que n'importe quel lycéen utilise, laquelles est orthonormée).

pour plus de détails sur ça en RG ou géoémtrie différentielle (ça sert dès que tu veux faire de la RG d'une manière plus ressemblante aux théories de jauge, c'est donc par exemple utiliser en cordes), tu peux chercher n'importe quel cours avec "formalisme de Cartan", "formalisme de la tétrade", etc.

Il y a quand même une chose qui me chiffonne. Le choix de la signature -+++ ou +--- change le signe d'un produit scalaire. Or l'application d'un gradient à un vecteur garde le même signe, indépendamment de la signature de la métrique.

qu'appelles-tu exactement "gradient d'un vecteur" ? et en quoi cela te dérange ? le produit scalaire ne dépend pas de l'orientation mais le produit vectoriel, si. Tu vois donc qu'il y a des machins dont le signe n'a pas une signification absolue mais relative.

Il doit donc y avoir (?) un moyen de distinguer les "machins physiques" dont le signe dépend du choix de signature ou non.

encore une fois, je ne suis pas certain de ce que tu veux dire.... les machins dont le signe dépend du choix de la métrique sont tout autant physiques que les autres. Il peut y avoir simplement une convention de signe (pense par exemple au signe définissant l'extérieur et l'intérieur).