Espace temps

[invite1e6186d6]

Comment calculer et représenter le vecteur vitesse d' un obus dans l' espace-temps au point L1 de coordonnées ( t1, x1, y1) ?
Comment interpréter sa décompsition selon ces tois axes ?
Afin de pouvoir le représenter graphiquement on prendra l' espace (O,t,x,y) composé d' une dimention temps ( t ) et de deux dimensions espace (x et y ) .


Je m' explique:

• Soit L la ligne d' univers parabolique de l' obus dans le repère (O, t x , y )
• Soit T la trajectoire parabolique de l' obus dans le repère ( O , x , y )
• Soit H la parabole donnant la hauteur de l' obus en fonction du temps dasn le repère (O,t,y)
• Sit D la droite donnant la distance parcourrue selon x par l' obus en fonction du temps dasn le repère (O,t , x).

La dérivée de H en t1 me donne :

• le coéfficient directeur de la tangeante à H en t = t1
• mais aussi le module du vecteur Vy (vitesse selon l' axe Y)
• Mais dans quel repère ce vecteur vitesse Vy peut il être représenté?
  

La dérivée de D en t1 me donne

• le coéfficient directeur de la tangeante à D en t1.
• Mais aussi le module de vecteur Vx (vitesse selon l' axe x)
• Mais dans quel repère ce vecteur vitesse Vx peut il être représenté?

La dérivée de T en x1 me donne :

• le coéfficient directeur de la tangeante à T en t1
• mais de quel vecteur me donne t il le module ?

Pour avoir le module du vecteur vitesse dasn le plan (O , x , y ) je peux sans doute le calculer à partir des vitesse Vy et Vx calculées précédemment soit: (Vy² + Vy² ) ^1/2

Génial ! Les deux dernieres étapes m' ont fourni le sens et le module du vecteur vitesse de l' obus dasn le plan (O , x , y )

Considérons maintenant l' intersection des deux plans suivant:

• plan tangeant à T au point x1 et parrallèle à l' axe du temps
• plan tangeant à H au point t1 et parrallèle à l' axe des x

Soit Vl un vecteur ayant :

• pour direction l' intersection de ces deux plans
• et un module tel que sa sur le plan (O, x , y ) soit le vecteur Vx

Ce vecteur est tangeant à la ligne d' univers de l' obus au point L1.(t1,x1,y1)
On peut le décomposer en trois vecteurs: Vl = Vx + Vy + Vt

• Vx vitesse selon l' axe des x
• Vy vitesse selon l' axe des y
• vt vitesse selon l' axe des temps !!!!!!!!!!

C' est quoi cet étrange vecteur vitesse vt ?
Vitesse de l' obus selon l'axe des temps ! Curieux tout de même !
Une vitesse en secondes par secondes !!!!!!!!

Et si dans vos réponse vous mourrez d' envie de citer Einstein, Lorentz, Mazwell et TuttiQuanti. Merci de le faire simplement sans oublier d' introduire les concepts.
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[mach3]

Bon, on va pas s'enflammer, il n'y a encore rien de relativiste la-dedans, juste une mauvaise compréhension de la dérivée il me semble...

Supposons un obus suivant une trajectoire parabolique. Je prends la variable x pour le déplacement horizontal, par contre je prendrais z pour le déplacement vertical (je préfère).

Conditions initiales:

position de l'obus (0,0)
vitesse de l'obus (v_0x,v_0z)
accélération de l'obus, constante (0,-g)

Equations horaires:




Ce système d'équations décrit une courbe dans l'espace (x,z,t), qui est la ligne d'univers décrite par l'obus

Equations des tangentes à la ligne d'univers en un de ses points (x_i,z_i,t_i) (je détaille pas, pas le temps tout de suite):




(A noter que pour décrire une droite dans l'espace il faut deux équations)
le coeff de la premiere équation est la vitesse selon x à t_i,
le coeff de la deuxieme est la vitesse selon z à t_i,
et c'est tout...
Au pire si tu touilles est que tu fais de la mayonnaise, tu trouveras d'autres choses, les deux inverses de ces deux vitesses et , ou encore la pente de la parabole dans (x,z), ou son inverse ... Pas de vitesse du temps par rapport au temps qui de toutes façons vaut .

Tout ceci en restant dans le cadre classique.

m@ch3

[invite1e6186d6]

Merci mach3
Oui tout à fait d' accord et tout à fait clair. Va aussi pour z à la place de y

Mais il y a tout de même quelque chose qui me gêne c'est la représentation graphique des vecteurs vitesse sous la forme de petites flèches:

- Concernant le vecteur vitesse dans le plan (0,x,z )
Il doit être tangent à la trajectoire et son module doit indiquer la vitesse instantanée au point A (x1, z1).

• sa direction est donnée par un calcul dans O,x,z):
  • dz / dx en t1 donc des mètres par mètres
• mais son module est donné par un calcul dans (O,t,z) et (O,t,x)
  • ((dz / dt) ² + (dz / dt) ² ) ^1/2 (donc en mètres par seconde)
• Les coordonnées de la petite flèche le représentant dans(O,x,y) seraient donc
  • (A,B) avec A = ( (x1, z1) et B = ((x1 + vx1), (z1 + vz1))) Des mètres + des mètres par secondes !!! Ce qui n'a pas de sens !

- Si au contraire j' essaie de représenter graphiquement le vecteur vitesse dans le plan (0,t,z )

• mais , à l' image du calcul fait précédemment, son module serait le module de la somme des vecteurs vz et vt, soit :
  • ((dz / dt) ² + (dt / dt) ² ) ^1/2 (donc en mètres par seconde)
  • ((dz / dt) ² + 1 ) ^1/2 (ce qui ne me convient pas non plus comme représentation graphique du vecteur vitesse !!! )
    

Il me parait en réalité plus illustratif de représenter le vecteur vitesse dans le plan (O,x,z) sous la forme d' une petite flèche AB , tangente à la trajectoire et dont le module exprimerait la vitesse instantanée. Mais il faut alors ajouter à la représentation graphique une annotation indiquant l' unité de mesure de la vitesse (m/seconde ou m/heure ...) Or je ne trouve pas qu'un graphe annoté soit un concept mathématique très rigoureux.
La question est en fait peut être plus littéraire que mathématique: Comment justifier proprement la petite flèche représentant le vecteur vitesse de l 'obus ? Je ne vais tout de même pas donner quatres vecteurs unitaires à mon repère (O,x,z) les uns en mètres et les autres en mètres par secondes

Ah au fait, Comment tu fais pour éditer les fractions

[mach3]

Si au contraire j' essaie de représenter graphiquement le vecteur vitesse dans le plan (0,t,z )

représenter un vecteur vitesse dans ce plan est inutile, la vitesse est lisible directement : c'est la pente de la courbe.

Un vecteur vitesse n'est utile que pour spécifier la norme de la vitesse dans une représentation exclusivement spatiale, je vois pas l'intérêt sinon.

Il me parait en réalité plus illustratif de représenter le vecteur vitesse dans le plan (O,x,z) sous la forme d' une petite flèche AB , tangente à la trajectoire et dont le module exprimerait la vitesse instantanée.

c'est exactement ce qui se fait

Mais il faut alors ajouter à la représentation graphique une annotation indiquant l' unité de mesure de la vitesse

C'est ce qu'on fait aussi, il faut préciser l'échelle des vecteurs vitesses lorsqu'on les représente sur un schéma, usuellement dans la légende.

Je ne vais tout de même pas donner quatres vecteurs unitaires à mon repère (O,x,z) les uns en mètres et les autres en mètres par secondes

C'est plus ou moins ce qu'on fait dans l'espace des phases, on a 6 coordonnées (x,y,z,vx,vy,vz) pour chaque objet considéré.

Ah au fait, Comment tu fais pour éditer les fractions

C'est du LateX, renseigne-toi ici : http://forums.futura-sciences.com/thread12735.html

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e6186d6]

merci Mach3

Me voila tout à fait rassuré sur la compréhension que j' avais de ces détails de représentation.

Il me semble toutefois qu' il y a encore une sorte d' abus de langage dans l'expression graphique d' un vecteur vitesse dans un repère exclusivement spatial.

La définition ancestrale qu' Euclide faisait des vecteurs (celle aussi que l' on enseigne encore aujourd'hui au collège) consistait à définir les vecteurs comme la classe d' équivalence des bipoints. Ainsi si OM était un représentant d' un vecteur V dans un repère spatial (O, x , z) on pouvait identifier le vecteur d' après les coordonnées du point M , donc en mètres.

• Totalement cohérent si le vecteur représente par exemple une translation,
• mais un peu tiré par les cheveux si l' on veut y dessiner un vecteur vitesse
  

La nouvelle définition des vecteurs comme éléments d' un espace vectoriel permet de raisonner sur les vecteurs sans nécessairement avoir recours à un espace affine associé et encore moins à un espace Euclidien.

• On imagine alors très bien exprimer les vecteurs vitesses d'un plan dans une base (Vx , Vz)
• Mais représenter un vecteur vitesse dans un plan spatial (O,x z) reste encore un peu tiré par les cheveux ne trouves tu pas ?

J' ai le sentiment qu' il manque une justification mathématique quelque part :
Un truc qui permettrait par exemple de superposer un espace euclidien ( pour le spatial) avec un espace affine (pour les représentants des vecteurs vitesses)
Mais je n' ai jamais entendu parler d' une telle construction par les mathématiciens et j' ai l'impression que les physiciens se contentent très bien de l' approximation. Mais peut être existe t il un objet mathématique qui représente très bien cette idée ? Qu' en penses tu ?

[mach3]

ça n'est pas tiré par les cheveux, le vecteur vitesse est juste une représentation. C'est une variation infinitésimale d'un vecteur position (appartenant à l'espace des positions) en fonction du temps (qui n'est pas une variable de l'espace des positions), c'est pour ça que le vecteur vitesse n'appartient pas à l'espace des positions.

Les vecteurs position et les vecteurs vitesses ne "vivent" pas dans le même espace mathématique. Les vecteurs positions sont des éléments de l'espace des positions, correspondant à l'espace physique bien concret que l'on perçoit. Les vecteurs vitesses appartiennent à l'espace des vitesses qui, lui, est abstrait.

Sinon pour démêlé l'histoire des espaces vectoriels ou euclidiens, sache qu'un espace euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, donc du coup pas clair ton histoire.

Dans un espace euclidien à 3 dimensions on défini le produit scalaire de deux vecteurs comme :


et on a en particulier



qui est la norme au carré du vecteur a

A part ça je me suis un peu remis à jour question relativité, et on peut définir une "composante de la vitesse" par rapport au temps. Mais attention, on est plus dans un espace euclidien mais dans un espace de minkowski. C'est à dire un espace vectoriel à 4 dimensions (ct,x,y,z) et muni d'un produit scalaire particulier à cause de ce qu'on appelle une métrique. Dans l'espace de Minkowski, la norme au carré d'un vecteur sera :




où A est un 4-vecteur de l'espace de minkowski et a un 3-vecteur de l'espace euclidien.

On peut définir une 4-vitesse (ou quadrivecteur vitesse) tel que :

avec le temps propre de l'objet étudié tel que avec v la 3-vitesse de l'objet par rapport au référentiel d'étude et t le temps propre du référentiel d'étude.

La composante selon ct de cette 4-vitesse vaut et la norme au carré de la 4-vitesse est toujours égale à c²

m@ch3

[invite1e6186d6]

Tu es génial
Tu anticipes même mes questions
C' est effectivement ici que j' en suis à savoir l' espace de minkowski.
C' est donc à moi cette fois de relire quelques fondamentaux pour poursuivre ma quête.
Petite question donc qui me permettra sans doute de progresser plus vite dans mes lectures:
Puisque la norme au carré de aa = x_a²+y_a²+z_a²
Pourquoi la norme au carré de AA n' est t' elle pas t_A²+ x_A²+y_A²+z_A²

[mach3]

Puisque la norme au carré de aa = x_a²+y_a²+z_a²
Pourquoi la norme au carré de AA n' est t' elle pas t_A²+ x_A²+y_A²+z_A²

A cause de la métrique. Dans un espace euclidien 3D elle est +++, dans un espace euclidien 4D elle est ++++ (et la norme au carré de AA est celle que tu proposes), mais dans un espace de Minkowski 4D, la métrique est +--- (on voit parfois -+++, c'est une histoire de convention, on arrive aux même conclusions).

Il se trouve que l'espace-temps, physique, concret, est décrit par un espace de Minkowski et non par un espace euclidien (quand il n'y a pas de courbure évidemment, sinon c'est encore plus complexe, restons dans la RR). C'est à cause de l'invariance par les transformation de Lorentz, et donc de l'invariance de la vitesse de la lumière.

Je pourrais développer un peu plus, notamment le rappport entre les rotations dans l'espace euclidien et l'effet de la vitesse (un boost de Lorentz si je ne me trompe) dans l'espace de Minkowski, mais je n'ai pas le temps ce matin.

m@ch3