Température en fonction du temps (thermodynamique ?)

[invite92b6e5eb]

Bonjour à tous.
Dans le cadre des TPE ( je suis donc en 1ere) j'ai été amené à faire une expérience. Celle-ci consiste à mettre une boite plus ou moins isolée contenant de l'air chaud dans un milieu froid et à voir comment sa température évolue au cours du temps en fonction de l'isolation. Nous avons donc fait un relevé de température avec une sonde thermique et cela donne un beau graphe.
Jusque là pas de problème mais le prof nous a demandé de "mettre en équation" notre expérience et de voir si les résultats sont conformes à la théorie. Je me dit "pas de problème je vais chercher des infos sur wikipedia". Sauf que le problème a en fait l'air beaucoup plus compliqué que ce que je pensait. Je suis tombé sur les équations de Fourrier ( je crois que c'est ça leur nom), mais je n'y comprends rien!
Après quelques recherches sur certaines notations mathématiques obscures cela parlerait de "gradient de température", de "dérivé partielle" ... Je rappelle que je ne suis qu'en première ! Donc si quelqu'un pouvait me donner (et si possible m'expliquer ) une formule relativement simple sur l'évolution de la température dans mes boites( je cherche donc f pour que la formule T=f(t) donne la température en fonction du temps ) , sachant qu'on connait :
- la température extérieure aux boites
- la température interne à t=0
- la conductivité thermique des matériaux + l' isolation composant la boite
- la surface en contact avec le milieu extérieur
- le volume d'air interne de la boite

pour donner un ordre de grandeur les boites sont des cubes de 30 cm de coté, la température extérieure était de 2°C et la température initiale de l'air a peu près 25°C

Si quelqu'un a ça sa serait super sympa, sinon bah ... j'essaierai de me débrouiller sans...
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[mach3]

il s'agit plus de transfert thermique que de thermodynamique. La loi de Newton concernant les transfert thermique est ce qu'il te faut pour mettre ton expérience en équation. Le souci, c'est que je doute que tu aies le niveau pour développer les équations toi-même.

A partir de cette loi de Newton, on abouti à une équation différentielle (ça ça se voyait en Terminale, je ne sais pas si c'est toujours le cas) qui après résolution donne une fonction exponentielle (ça aussi, c'est en terminale que je l'ai vu...). La constante de temps de cette fonction dépend de la capacité calorifique du corps qui refroidit et du coefficient de transfert thermique (lui même lié à la conductivité thermique et à la surface de contact).

Ca sera peut-être difficile vu ton niveau première, mais surement pas insurmontable.

m@ch3

[invite92b6e5eb]

Merci pour la piste sur la loi de Newton. En faisant une recherche je suis tombé sur la formule et sa résolution:

ce qui donne:

(sources des images: wikipédia ). Il me reste donc à trouver ce fameux coefficient R.

Toujours sur wikipédia, j'ai trouvé cela :
"En régime permanent, la relation qui lie le flux avec les températures de deux objets en contact peut s'écrire en utilisant la relation suivante :
"

Je pense que cette formule conviendrait, mais ce qui me gêne est le "En régime permanent". On ne peut pas tellement considérer que mon système soit en régime permanent. Comment faire alors ?


Sinon pour le niveau en maths requis je pense pouvoir comprendre si on m'explique le principal, surtout si le niveau requis n'est "que" de terminale ( le "que" s'entend relatif à tout ce que j'ai cité dans mon premier post ^^ ).

[invitec053041c]

Bonsoir.

On ne peut en effet pas considérer que ton système soit en régime permanent (ie que les paramètres ne dépendent pas du temps).

Une hypothèse simplificatrice serait de considérer que la température de ton objet est uniforme, ce qui supprimerait la dépendance spatiale de ta température.
Quand on dit que ça n'est pas de ton niveau, on entend que la température est une fonction de 4 variables en règle générale: T=T(x,y,z,t), et on doit ainsi introduire des équations aux dérivées partielles multiples (ou des laplaciens, bref..).
Ma requête sur la température uniforme nous donnerait simplement T=T(t) et ainsi une equa différentielle plus buvable à ton niveau.

EDIT: je viens de voir que ton dT/dt=-r(T-Text) traduit exactement le fait que la température de ton objet est uniforme! Et cette équation différentielle est plutôt sympathique, facile à interpréter (exponentielle, temps caractéristique, température à l'infini=Text, analogie avec un condensateur qui se charge etc..).
Le R se trouve dans les tables..ce sont des coefficients de conducto convections entre un fluide et le matériau que tu considères. Donc cherches à "coefficient de conducto convection".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Pour ton cas, on peut expliciter le r.

Les outils qu'il te faut, c'est:
1/le premier principe de la thermodynamique
2/que tu admettes la modélisation d'échange de chaleur par conducto convection.
3/la résolution d'une équa diff du type y'=ay+b (vu en terminale..)

Après quelques calculs, tu obtiens cette équation différentielle vérifiée par la température de ton cube (que tu admettras? à moins que tu veuilles te pencher un peu plus sur la thermo et les échanges thermiques..).



Avec:
h= coefficient de conducto-convection entre ton cube et l'air.
: masse volumique de ton cube.
c: capacité thermique massique de ton cube.

Ces 3 coefficients peuvent être trouvés dans des tables sur internet...

Et R est la longueur de l'arête du cube.

[mach3]

Le r en question peut se trouver, en effet on a des relations supplémentaires très sympathiques :



La chaleur échangée est proportionnelle à la variation de température. Cp est la capacité calorifique de l'objet qui refroidit et dT est une variation infinitésimale de sa température.

Par ailleurs d'après la loi de Newton on peut écrire :



La chaleur échangée pendant un temps dt est proportionnelle à la différence de température objet/extérieur. k est le coefficient de transfert thermique.

En combinant les deux, on a :





Donc le r de la formule de wikipédia est le rapport entre le coefficient de transfert thermique et la capacité calorifique.

m@ch3

PS: j'ai un doute, j'espère que j'ai pas une erreur de signe qui se ballade
PS2: doublé par ledescat qui donne d'ailleurs une formule plus complète

[invitec053041c]

Je viens de mieux lire ton post initial, et j'ai l'impression que tu considères aussi l'évolution de température de l'environnement du cube...

Tu peux dans un premier temps considérer un environnement suffisemment grand pour considérer Text constant, ce qui te donneras la solution en exponentielle donnée par wiki.

Et dans un second temps ne plus considérer la température extérieure constante, et considérer l'équation différentielle vérifiée par la température de l'environnement (considérée uniforme?), auquel cas tu devrais nous donner les caractéristiques de cet environnement).

Tu auras alors une équa diff similaire (si Text(t) uniforme):


, ce qui te donne 2 équations différentielles couplées, qui te donne au final une équation différentielle du second ordre (en dérivant la première, tu injectes ensuite la seconde etc..)

Bref, à toi de voir.
EDIT: conseil pratique, si tu veux changer de forme d'objet:
Tu peux remplacer le 6/R de mon équation par (surface en contact avec l'air)/(volume du solide), qui vaut ici 6R²/R^3 (6 faces).

[invite92b6e5eb]

Bonjour à tous et merci de vos réponses. Je vais tout d'abord préciser certaines choses qui me paraissaient évidentes dans mon 1er post mais qui en fait de l'étaient pas.
- La température extérieure peut en effet être considérée comme constante
- La température de l'air à l'intérieur de la boite peut être considérée comme uniforme (de toute façon avec ma sonde thermique je n'ai fait une mesure qu'en un seul point de l'espace alors à quoi bon compliquer tout ça ...)

J'espère que ces précisions vont simplifier le problème.

Je n'ai pas le temps de regarder tout cela ce matin. je reposterai ce soir pour quelques questions . Merci encore.

[invite92b6e5eb]

Me revoilà. Ayant du mal pour trouver le h de la formule de Ledescat et le k de celle de mach3, je me suis demandé si sur un temps infiniment court on ne pourrait pas considérer que mon système est en régime permanent. Au lieu de on aurait donc . Et comme d'après je ne sais plus quel site et , la formule deviendrait donc:
.
Comme je connais lambda (coeff. propre à l'isolant), S (surface de contact entre les deux milieux), e (épaisseur de l'isolant), et C ( capacité thermique massique de l'air ) et que je peux calculer m (masse de l'air présent à l'intérieur), mon r deviendrait calculable. Mais je ne sais pas si mon hypothèse de base (sur un temps infiniment petit, etc ...) est bonne, ni si mes calculs sont exacts (je ne suis pas trop habitué aux dT et tout ça ..), j'attends donc votre confirmation.

EDIT: je viens de penser à quelque chose: si ma formule est bonne ( j'espère ^^ ) elle ne traite que le transfert par conduction. Est-ce que le transfert par convection peut etre considéré comme négligeable dans ce cas (écart de température initiale de 20°C, ouverture transparente de 10x10 cm pour voir l'interieur) ?

[mach3]

en fait le mieux serait que tu mesures ce paramètre k expérimentalement! tu peux aisément l'extraire de la courbe de refroidissement, en passant en logarithme.

m@ch3

[invitec053041c]

Ce que j'aimerais savoir, c'est si la température de la boîte peut être considérée comme égale à celle de l'air qu'elle contient ?
Parcequ'en réalité, le transfert de chaleur entre un solide (boîte) et l'air extérieur (même intérieur, mais on n'en tient pas compte si on considère le système {boite+air} à T uniforme), se fait non pas par conduction mais par convection, pour être plus juste par conducto convection. Ce mode de transfert considère qu'une fine couche d'épaisseur e d'air est immobile autour de ta boîte, et le h vaut alors lambda(air)/e.

[invite92b6e5eb]

Oui en effet quand je parle de la température de la boite c'est la température de l'air qu'elle contient qui importe le plus, celle des parois est moins importante.
Donc selon toi je peux prendre h=lambda(air)/e ? et e aurait à peu près quelle épaisseur ?
Autre chose dans ta formule , pour la masse volumique de la boite, je prends celle de la boite totale (air+isolant+parois) ou juste de l'isolant+parois ? Même question pour la capacité thermique massique.

Et sinon (dernière question pour ce soir ) pour la formule que j'ai trouvé tu as une idée de sa validité ?

[invitec053041c]

Ca devient un peu plus compliqué en fait si tu considères une couche d'isolant.
Mon équation est valable telle quelle si on considère une sorte de boîte homogène d'un seul matériau.
Une étude plus rigoureuse serait : considérer le système {isolant} qui échange de la chaleur avec l'extérieur et l'intérieur avec T(isolant) uniforme dans l'isolant. Considérer le système {air intérieur} qui échange de la chaleur avec l'isolant avec T(air intérieur) uniforme à l'intérieur, mais a priori pas égale à la température de l'isolant.
Dans ce cas, il faudrait un peu plus préciser l'aspect géométrique de ton problème (épaisseur d'isolant surtout). Tu obtiendrais alors 2 équations différentielles couplées avec du T(air int) et du T(isolant) dépendant du temps.
En rouvrant mon cours, j'ai déjà un ordre de grandeur très approximatif (mais c'est déjà ça): le h est entre 5 et 1000W.m-².K^-1 pour une conducto convection non forcée. Je vais essayer de trouver ce qu'il vaut plus précisément. (ou ça peut au contraire être un bon but de recherche: trouver le coefficient de conducto convection de l'air)
Sinon, ta formule est vraie en régime permanent seulement, là où j (vecteur densité de courant) est à flux conservatif..ce qui 'nest pas le cas en général en régime non stationnaire.

[invitec053041c]

Ce site http://www-energie.arch.ucl.ac.be/CD...ochalparoi.htm done un h pour l'air de l'ordre de 23W/(m².K), ça semble peu, mais pourquoi pas...