Diffusion de particules et diffusivité

[invite36155920]

bonjour à tous,
actuellement élève en prépa, je travaille sur un devoir maison concernant les phénomènes de transports et en particulier la diffusion de bactéries unidirectionnelle.

Mon problème est le suivant : les bactéries se déplacent selon Ox, avec une vitesse individuelle moyenne v. Tous les t=1s, chaque bactérie peux changer de sens. On dispose aussi de n (densité de population, nombre de bactérie par unité de longueur).
L'objectif final est de déterminer D (diffusivité).

Pour résoudre cette question je comptais utiliser les relations :

(1) Jn=Nv*V avec Jn:densité de courant(vecteur), Nv:concentration des bactéries, V:vitesse d'ensemble(vecteur)

(2) Jn=-D*gradNv

===> Nv*V=-D*gradNv
==> Nv/d(Nv)*V*dx=-D*ux(vecteur)

Mais là je bloque doublement car d'une part je ne sais pas comment trouver V à partir de v, d'autre part l'équation finale me parait... fausse (un pressentiment...)

merci d'avance pour votre aide...
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[invite8c514936]

Salut,

C'est un problème délicat quand on n'est pas guidé dans les questions, comme ça semble être le cas pour toi...

Il y a deux manières d'aborder le problème, qui ne te donnent pas les mêmes infos.

D'une part, tu peux utiliser la loi de Fick reliant au gradient de la concentration (pourquoi as-tu introduit une nouvelle variable Nv ?), avec l'équation de conservation des bactéries, qui relie la divergence de à (je ne développe pas, demande si tu veux des détails). Tu obtiens ainsi l'équation de diffusion, qui fait apparaître la diffusivité, en fonction du coefficient qui intervient dans la loi de Fick (mais que tu ne connais pas). Résultat net, tu n'es pas bien avancée.

D'autre part, tu peux utiliser la modélisation qu'on te propose, en supposant que les bactéries se déplacent librement sur une distance d, au bout de laquelle elles ont une chance sur deux de rebrousser chemin. Si tu te places en un point donné et si tu fais le bilan de la variation du nombre de bactéries en ce point pendant =1 seconde (combien rentrent et combien sortent ?), tu obtiens une équation discrète du style

Or si tu développes cette expression en considérant que et d sont petits, tu tombes sur l'équation de diffusion avec, comme le nez au milieu de la figure, la diffusivité D en fonction des paramètres que tu connais.

C'est un peu condensé comme réponse, n'hésite pas à demander des éclaircissements sur un point précis.

Bon courage !!

[inviteeda3573f]

Transfert de matière_Pouvez-vous m'aider à résoudre l'exercice sous-cité:
La diffusivité d'un gaz (vapeur) dans un autre peut être mesurée à l'aide de la cellule de STEPHAN représentée ci-dessous dans un bain thermostaté
(j'ai un probleme)
la branch supérieure est parcourue par un débit constant , sous une pression totale P , de gaz diluant pur .L'abaissement du niveau liquide de la substance diffusante est repéré , en fonction du temps , au cathétomètre.
a) Donner l'expression du flux molaire ф* de A qui traverse la section du tube vertical en fonction du niveau Z , de la pression totale P et des pressions partielles P1 et P0 du soluté . pour tenir compte de l'effet de bord causé par le raccordement des tubes en T , on considère que la longueur de diffusion est non pas Z mais Z-б , б ne dépend que du débit de gaz diluant .
b) Appeler VL le volume molaire de la substance diffusante à l'état liquide et exprimer la conservation de la matière en faisant un bilan infinitésimal dans le temps .
En déduire une relation simple entre ΔZ et t/ΔZ , ΔZ représente l'abaissement du niveau liquide entre t=0 (niveau Z0) et l'instant t (niveau Z) qui permet , facilement d'obtenire le coefficient de diffusion cherché.
A.N: Pour la diffusion du pentane dans l'azote , on a obtenu les résultats suivantes pour T=31.4°c et P=770 mmHg,
-tension de vapeur du pentane P0=645mmHg
-la débit d'azote (150cm3/mn pour tube de 10mm) est suffisant pour que P1≈0
Z0= 2,75cm ,VL =117,05cm3/mol
c) Evaluer DA,B , coefficient de diffusion du pentane dans l'azote à 31,4°c
et sous 770mmHg et évaluer la correction d'effet de bord .
les lectures au cathétométre son effectuées à 0.01 cm prés.
La correction d'effet de bord est-elle significative?
On donne les résultats expérimentaux sous forme ΔZ= f(t/ΔZ)

t(heures)

5
12
25
40
60
80
100
ΔZ (cm)
3.28
5.94
9.39
12.41
15.66
18.42
20.85
t/ ΔZ (h/cm)
1.524
2.02
2.66
3.22
3.83
4.34
4.79
la régime est quasi-stationnaire et sans réaction chimique.

Dans l'attente de recevoir une réponse, je remercie tous les participants
de futura-Sciences