De l'utilisation des notions (mathématiques) de fonction et variable en physique

[Burakumin]

Bonjour

Faire de la physique, on en conviendra, cela passe à notre époque presque systématiquement par une étape de modélisation mathématique. Du coup rien d'étonnant à retrouver pas mal de notions de maths dés lors qu'on est un minimum interessé par l'obtention de résultats quantitatifs.

Ce fait étant - je l'espere - accepté de tous, je souhaiterais partager ici, l'incompréhension que j'ai souvent ressenti vis-à-vis de la physique lorsqu'elle
en vient à assimiler un peu facilement des notions qui mathématiquement recouvre des réalités pas si interchangeables que celà.

Une des choses qui a pu me chagriner c'est qu'en physique on assimile fonction et variable. Bien sûr, à priori ca semble tellement intuitif ! Jusqu'à ce qu'on tombe dans le cas où justement ca ne l'est plus ...

Un exemple qui me vient en tête : en mécanique des fluides, les descriptions eulériennes et lagrangiennes. J'ai une quantité Q et je peux calculer sa dérivée particulaire et sa dérivée habituelle.
Tiens donc ? J'aurais maintenant une autre manière de dériver ?? Ca sort d'où en math ? En fait, il n'y a bien sur toujours qu'une façon de dérivée. La difficulté vient du fait qu'on dérive une FONCTION (appelée aussi application en maths) et pas une quantité. La fonction est le lien que l'on établie entre des "valeurs d'entrée" est des "valeurs de sorties". Les deux dérivées apparentes proviennent du fait qu'en fait on dérive deux fonctions mathématiques distinctes.

f(x,y,z,t) qui fournit Q en fonction du temps et de la position d'évaluation
g(x0,y0,z0,t) qui fournit Q en fonction du temps et de la particule identifée par ses coord d'origines
sont bien distincts (sauf cas hyper particuliers).

Le problème c'est qu'en se limitant à parler de "la fonction" Q (que Q soit une température, une vitesse ou que sais-je), on ne précise en aucun cas de quelle fonction on parle : on assimile implicitement toute fonction dont le résultat est la quantité Q.

Sous prétexte de simplifications, cette assimilation HYPER COURANTE EN PHYSIQUE me semble compliquer les choses dans bien des cas. En particulier dès lors qu'il s'agit d'utiliser les outils de dérivations et d'intégrations qui n'ont théoriquement de signification QUE pour des fonctions.

S'il y a notamment un domaine que j'avoue ne vraiment jamais avoir compris c'est bien la thermodynamique ! (inventé par des martiens sans doute, à moins que ce ne soit moi qui soit plutonien).

dU = T dS - P dV

suppose que U, S et V soit des fonctions pour que la différentielle est un sens mais BORDEL fonction de QUOI ???!!!

Du coup je ne suis jamais parvenu à saisir comment il fallait considérer la transformation de Lorentz.

Si une âme sympatique a la patience de m'expliquer....

Merci

NB : Je tiens à préciser que pour moi une différentielle ce n'est PAS une "petite variation", c'est bien un champs de forme linéaire. Alors bien sûr on peu user de métaphore, mais en rester à ce niveau me parait bien peu explicatif ... Je sais qu'on risque de me reprocher d'avoir une vision beaucoup trop matheuse, mais la cohérence d'outils puissants comme la dérivation n'est possible que parce que l'on sait en donner une définition TRES rigoureuse. Dés lors, comment être sûr de ne pas raconter n'importe quoi si l'on se permet systématiquement des "ouep grosso modo ça doit correspondre à l'idée intuitive qu'on peut s'en faire"
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[obi76]

Un exemple qui me vient en tête : en mécanique des fluides, les descriptions eulériennes et lagrangiennes. J'ai une quantité Q et je peux calculer sa dérivée particulaire et sa dérivée habituelle.

Ben c'est "juste" que tu dérive selon un référentiel en mouvement et généralement accéléré (vision lagrangienne) ou en référentiel fixe (eulérien).
L'apparition du terme en vient de là... pa de quoi hurler à l'hérésie en disant qu'on dérive autrement.
Il apparaît "juste" un terme qui dans le premier cas s'annulait voilà tout.

Cordialement

[Burakumin]

> L'apparition du terme en vient de là... pa de quoi hurler à l'hérésie en disant qu'on dérive autrement.

Je n'ai pas dit que je ne comprenais pas la différence entre ces deux visions, j'ai dit que les concepts finalement pas trés compliqués qu'ils modélisaient tendaient à devenir confus parce que souvent en physique on assimile (trop facilement d'apres moi) les fonctions et les variables représentants leur résultats.

> Ben c'est "juste" que tu dérive selon un référentiel en mouvement et généralement accéléré (vision lagrangienne) ou en référentiel fixe (eulérien).

La notion purement mathématique de dérivation ne connait absolument pas d'histoire de référentiel. C'est quoi le référenciel de f : x --> x cos(x) - 2 quand je la dérive ?

Parler d'un référentiel ou d'un autre cela revient en fait à décrire (mais sans le dire explicitement) un certain phénomène par des fonctions mathématiques différentes. En faite on parlera toujours de la même grandeur résultat mais pas des même variables de départ. C'est cet aspect implicite qui justement m'a toujours dérangé dans la physique.

C'est notament pour ca que j'aimerai arrivé notament à comprendre à quoi correspondent les différentielles, trés utilisées en thermo notamment ...

[obi76]

Je n'ai pas dit que je ne comprenais pas la différence entre ces deux visions, j'ai dit que les concepts finalement pas trés compliqués qu'ils modélisaient tendaient à devenir confus parce que souvent en physique on assimile (trop facilement d'apres moi) les fonctions et les variables représentants leur résultats.

là je suis d'accord, on y accorde pas trop d'importance.

La notion purement mathématique de dérivation ne connait absolument pas d'histoire de référentiel. C'est quoi le référenciel de f : x --> x cos(x) - 2 quand je la dérive ?

là je me permet un désaccord...

Admettons (plus facile à voir) une fonction paramétrique x(t) (équation horaire de base quoi) par rapport à un point en mouvement que je nommerai b(t) (peu importe les notations).
Tu veux l'accélération que subit x. Tu dérive donc 2 fois par rapport à un repère galiléen (0 admettons).
c'est bien, tu va avoir x''. maintenant si le support de x (c'est à dire b dans mon exemple) est non Galiléen (c'est à dire que son équation horaire par rapport à O ne se restreint pas à un monome), alors tu va avoir un terme "visible" en dérivant 2 fois b, ce qui ne serai pas le cas si b était lui même Galiléen (b(t) = vb*t + b0).

J'espère être assez clair, mais tout ça se tient de manière parfaitement mathématique et sans accrocs...

Traduction : si B subit une accélération, alors cette accélération aura un effet sur l'accélération que tu calculera sur x (encore heureux).

En Lagrangien tu as souvent des accélérations (je serai même tenté de dire toujours), pas étonnant donc que ton repère accéléré ait une conséquence sur le reste...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Burakumin]

J'ai vraiment l'impression que nous ne voyons pas les choses du même angle

> Admettons (plus facile à voir) une fonction paramétrique x(t) (équation horaire de base quoi) par rapport à un point en mouvement que je nommerai b(t) (peu importe les notations).
> Tu veux l'accélération que subit x. Tu dérive donc 2 fois par rapport à un repère galiléen (0 admettons).

Deja cela part mal si le but etait de rester dans les maths. Du point de vue des maths, le terme accélération ne veut rien dire ! Pas plus que le concept de mouvement ! x admet une unique dérivée seconde x'' point bar.

Le fait est que les fonctions que tu choisis pour représenter la position d'un mobile par rapport à différents repères sont justement des fonctions différente s même si tu choisis de les appeler toutes x.

Je peux choisir d'appeler x1 la fonction qui associe à l'instant la position de mon mobile dans un repère R1.
Je peux choisir d'appeler x2 la fonction qui associe à l'instant la position de mon mobile dans un repère R2.
et x1 <> x2 quand bien même elle représenterais la même position !

x1'' et x2'' existent tous les deux et on chacune une seule expression, ce ne sont que des objets mathématiques. Apres savoir si x1'' ou x2'' peuvent avoir une interprétation physique est un problème différent...

Donc non pour moi la dérivation est une opération qui n'a pas besoin que de connaitre la fonction a dériver. Mais j'ai l'impression que le problème c'est que tu ne lis pas le terme fonction dans le même sens que moi ...

[Chaospace]

Bonsoir Burakumin,

Je crois t'avoir compris... En fait tu te dis, pourquoi est-ce que les lois de la physique obéïraient-elles à la logique des mathématiques et à ses concepts ? Je me trompe ?
Personnellement, je me suis déjà posé cette question...
C'est le seul outil dont on dispose pour résoudre des probèmes en physique (à ma connaissance ). On est bien obligé de conceptualiser les phénomènes physiques pour les comprendre non ?
Bah ça, c'est le principe des maths et c'est parti, on utilise les notions de fonctions, puis de dérivées, d'intégrales... Je vois pas comment faire autrement... et toi ?
En espérant avoir bien répondu (qualitativement) à ta question
A+

[Burakumin]

Je crois t'avoir compris... En fait tu te dis, pourquoi est-ce que les lois de la physique obéïraient-elles à la logique des mathématiques et à ses concepts ? Je me trompe ?

Ma question n'est pas tout à fait de cet ordre là (mais à y repenser il y a des implications). Ce qu'on peut dire c'est que les objets des maths sont tres stricts et purement abstrait. La physique parle du monde physique réel mais il est un fait que mathématiser et abstraire les phénomènes est un mode d'étude souvent productif ; je ne le remet pas en cause (apres se demander pourquoi c'est le cas - on peut penser à la "déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature" pour citer Wigner - est une question interessante mais pas l'objet de ce fil ).

Ce qui me pose problème c'est la physique a tendance a utiliser les concepts de maths avec parfois moins de rigueur et en se permettant plus facilement des assimilations. Cela parce que les simplifications d'ecriture permettent soi disant de s'exprimer de manière plus concise sans perdre en l'expressivité. C'est assez souvent vrai mais pas toujours. Ou plutot, c'est facile de se permettre des simplifications lorsqu'on connait bien l'outil mathématique derrière, que l'on sait dans quels cas il n'y a aucun risque et que l'on sait rapidement reconnaitre ce qu'il y a derrière lesdites simplifications.

Reprenons l'exemple sur lequel je demandais une explication. La thermodynamique utilise beaucoup de "petit d" dans des formules du type "dU = T dS - P dV" . Hors en lisant ce qu'on en dit dans un bouquin de physique j'apprends quoi ? Que U est l'energie interne, T la temperature etc ... Mais alors que signifie dU ?

1 ) Mathématiquement

Si l'on cherche à cherche à interpréter dU mathématiquement, il s'agit d'une différentielle. Ok, mais le concept de différentielle n'a de sens que pour une fonction. Et une fonction c'est en gros un objet qui associe à une quantité d'entrée (numérique, vectorielle, ensembliste ou que sais-je) une autre quantité en sortie. Donc U est une fonction, qui produit vraisemblablement en sortie une quantité représentant l'energie interne et qui prend en entrée ... une position dans l'espace ? une durée ? la température en un point ? la pression ? le nombre d'atome dans l'univers ? l'age du capitaine ? tout ça à la fois ? Ca c'est clairement un truc que je ne comprends pas.

2) Physiquement

Apres on peut décider que cela n'est pas important pour le physicien et que dU représentera plus simplement une "petite variation" de l'energie interne. Fort bien ! Mais apres ca veut dire quoi d'effectuer une transformée de Legendre pour déduire que :

dH = V dp + T dS
dF = - p dV - S dT
etc ...

???

La transformée de Legendre (désolé j'avais fait un lapsus dans mon premier message en parlant de Lorentz) c'est purement des maths pour moi. Voir http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transform On la définit comment, la transformée de Lorentz d'une "petite variation" ?


En esperant avoir était plus clair sur mes interrogations ...

[jazzàparc]

Bonjour,

je ne veux pas trop entrer dans le débat, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris le problème. Je me permets quelques petites remarques...
- est-il vraiment embêtant de confondre la fonction avec le "résultat" de la fonction, mathématiquement parlant... ?
- la difficulté de la physique, c'est peut-être qu'il n'y a pas de "x" ultime : je veux dire que toute variable (toute ?) est exprimable en "fonction" d'autres...
- concernant la transformation de legendre, pour les francophones, c'est plus "simple" ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_de_Legendre

je ne sais pas si j'aide...
Bon courage !

[Burakumin]

Bonjour jazzàparc

> - est-il vraiment embêtant de confondre la fonction avec le "résultat" de la fonction, mathématiquement parlant... ?

Pour moi oui. Une particularité qui peut (et je dis bien "peut") s'avérer problématique c'est qu'ainsi on efface ce qu'il y a en entrée de la fonction. Il convient donc de savoir ou de ne pas oublier qu'est ce qui dépend de quoi. Au contraire, introduire une fonction distincte de son résultat nécessite d'expliciter l'entrée.

- la difficulté de la physique, c'est peut-être qu'il n'y a pas de "x" ultime : je veux dire que toute variable (toute ?) est exprimable en "fonction" d'autres...

Tout à fait, mais justement si j'ai un jouli circuit electrique, la fonction f qui donne la tension U en fonction de la tension V est un objet différent de g, celle qui donne U en fonction de l'intensité I. C'est en particulier important lorsqu'on utilise des outils du calcul intégral et différenciel. La notion de dérivé / différentielle ne s'applique pas sur une variable mais bien sur un lien entre au moins deux variables. Et ce type de lien ça s'appelle justement ... une fonction. La dérivée de f ne sera en principe pas égale à la dérivée de g . Dans le cas ou il n'y a qu'une variable en entrée ca ne pose pas trop problème puisque une notation "dU / dV" permet quand même d'expliciter quel fonction est dérivée. Si l'on considére une différentielle (qui généralise à des variables d'entrée multiples) la notation ne permet plus à elle seul de comprendre de quels paramètres on parle.

Pour creuser un point qui ne me semble pas non plus anodin, tu doutes visiblement qu'absolument "toute variable soit exprimable en fonction d'autres". Et tu as bien raison ! Voila encore un point que la physique n'explicite que rarement. Supposons que j'ai deux quantités A et B liées par B = f(A). On peut dire que dB / dA correspond à f' . Cela dit en physique on ne se génera pas forcément pour parler de dA / dB ce qui correspond à la dérivé de g défini par A = g(B) . Mais l'on ne connait pas toujours a priori la forme de f. Imaginons qu'en faite f soit une fonction en escalier (= localement constante), alors g n'existe pas et dA / dB ne veut absolument rien dire !!

- concernant la transformation de legendre, pour les francophones, c'est plus "simple" ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_de_Legendre

La notion de simplicité est sans doute bien relative. Je trouve bien plus simple l'approche du premier paragraphe de la page anglaise. Mais dés que ca part dans l'exemple de la thermo je ne vois au mieux qu'un vague lien avec le concept mathématique et je ne comprends toujours pas en quoi la transformée de Legendre s'applique ...

[Rincevent]

salut,

Donc U est une fonction, qui produit vraisemblablement en sortie une quantité représentant l'energie interne et qui prend en entrée ... une position dans l'espace ? une durée ? la température en un point ? la pression ? le nombre d'atome dans l'univers ? l'age du capitaine ? tout ça à la fois ? Ca c'est clairement un truc que je ne comprends pas.

l'écriture même de dU (et donc d'une certaine façon le premier principe) te dit que c'est une fonction de S et V... ce qui n'est pas trivial, tu l'admettras.

Mais apres ca veut dire quoi d'effectuer une transformée de Legendre pour déduire que :

dH = V dp + T dS
dF = - p dV - S dT
etc ...

???

ça veut dire que le fait de postuler que U est une fonction d'état (ce que veut dire le fait que la différentielle est exacte) de V et S (ce que dit le premier principe d'une certaine façon) est équivalent à pouvoir définir H comme une fonction d'état de (S,p), F de (V,T), etc... ce qui physiquement implique que telle ou telle grandeur sera particulièrement utile si telle ou telle variable est fixée comme paramètre extérieure...

autrement dit, la confusion faite en physique est encore pire que ce dont tu te plains car "dU" représente une certaine grandeur physique (un transfert, de la même façon que ), mais également une variation d'une grandeur physique U (par opposition à qui n'est pas une différentielle exacte).

La transformée de Legendre (désolé j'avais fait un lapsus dans mon premier message en parlant de Lorentz) c'est purement des maths pour moi. Voir http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transform On la définit comment, la transformée de Lorentz d'une "petite variation" ?

c'est encore une fois un lapsus ou alors y'a réellement Lorentz dans le coup ?

[Burakumin]

Salut Rincevent

>> c'est encore une fois un lapsus ou alors y'a réellement Lorentz dans le coup ?

Oui c'est encore un lapsus ... décidément La prochaine fois que je parle de Lorentz je vous autorise à me balancer un paquebot dans la gueule.


>> l'écriture même de dU (et donc d'une certaine façon le premier principe) te dit que c'est une fonction de S et V... ce qui n'est pas trivial, tu l'admettras.

En faite comme l'écriture dx peut aussi bien signifier la différentielle d'une fonction x ou bien (un peu abusivement) la différentielle de la projection qui au n-uplet de variables (x,y,z,...) associe la variable x, il n'est pas toujours si évident de savoir si x est une variable ou pas (et cet abus existe malheureusement également en math).

Donc si je comprend bien, il faut interpréter la quantité U comme entiérement définie à S et V donné : il existe une fonction U(S,V)

Si j'augmente par exemple légérement le volume il existe une fonction b (dépendant donc également de S et V) qui permet de déduire la variation au premier ordre de l'energie interne qui en résulte : dU(S,V) = a(S,V) dS + b(S,V) dV

La valeur prise par cette fonction correspondant en faite à l'opposé de la pression d'ou par assimilation fonction/résultat : dU(S,V) = T(S,V) dS - P(S,V) dV

Je dis pas trop de conneries ? Cela dit, pression en quel point de mon système ? Mes cours de thermo sont lointains. Cette formule n'est-elle valable qu'en considérant la pression (et de même la température) uniforme sur tout mon système ?


>> ça veut dire que le fait de postuler que U est une fonction d'état (ce que veut dire le fait que la différentielle est exacte) de V et S (ce que dit le premier principe d'une certaine façon) est équivalent à pouvoir définir H comme une fonction d'état de (S,p)

Je crois que j'ai jamais vraiment compris ce qu'on appelle une fonction d'état ... Et je ne comprends pas trop votre définition. Une forme différentielle peut être exacte ou non mais lorsqu'on parle d'une différentielle tout cours, pour moi on sous-entend "différentielle d'une fonction donnée", qui par définition ne peut être qu'exacte. Si je prend une fonction f qui lie les quantité A,B,C,D,... à la quantité Q je peux bien définir df (= dQ) si la fonction est pas trop dégueulasse (ce que l'on considère toujours vrai en physique). Du coup ca fait automatiquement de Q une fonction d'état ?

>> autrement dit, la confusion faite en physique est encore pire que ce dont tu te plains car "dU" représente une certaine grandeur physique (un transfert, de la même façon que ), mais également une variation d'une grandeur physique U (par opposition à qui n'est pas une différentielle exacte).

Je suis plus à un raccourci prés En faite ce n'est pas tant le fait de s'autoriser des simplifications abusives qui me gène (il y en a pas mal en math si on y réfléchit). C'est simplement qu'une simplification n'est possible que dans la mesure où on a bien compris ce qu'il y avait derrière et en quoi ce n'était pas génant. Hors y a plein de domaine de la physique ou on ne m'a jamais explicité ces mécanismes. Ceci parce qu'à force de les utiliser, un spécialiste (comprendre entre autre prof de physique ) a l'impression qu'elles vont de soi et ne les voit plus (ou pire parfois, ne s'en ai jamais rendu compte).

[Rincevent]

La prochaine fois que je parle de Lorentz je vous autorise à me balancer un paquebot dans la gueule.

c'est noté

Je dis pas trop de conneries ?

non, non... le hic dans la compréhension de tout ça, c'est qu'on mélange des concepts historiques, des concepts redéfinis, etc, et sans toujours bien faire la part des choses dans leur présentation...

Cela dit, pression en quel point de mon système ? Mes cours de thermo sont lointains. Cette formule n'est-elle valable qu'en considérant la pression (et de même la température) uniforme sur tout mon système ?

en fait tout ça est défini à l'équilibre. Par définition dans ce cas ces grandeurs sont homogènes dans tout le système. Si tu veux faire de la thermo pour des systèmes pas homogènes, il faut introduire la notion d'équilibre thermodynamique local et considérer ton système pas homogène comme composé d'un ensemble de petites zones homogènes.

Je crois que j'ai jamais vraiment compris ce qu'on appelle une fonction d'état ...

une grandeur physique dont la valeur actuelle ne dépend que de choses actuelles et non de l'histoire passée. Ça se reformule en disant que les variations ne dépendent pas du chemin, et donc (si on reprend le raisonnement à l'envers) que la variation infinitésimale est une différentielle au sens mathématique. C'est exactement ce que tu fais quand, à partir du travail de la force de gravitation, tu dis qu'il existe un potentiel. Le potentiel est une fonction d'état [et c'est pour ça qu'on peut l'utiliser en thermo]

Et je ne comprends pas trop votre définition. Une forme différentielle peut être exacte ou non mais lorsqu'on parle d'une différentielle tout cours, pour moi on sous-entend "différentielle d'une fonction donnée", qui par définition ne peut être qu'exacte. Si je prend une fonction f qui lie les quantité A,B,C,D,... à la quantité Q je peux bien définir df (= dQ) si la fonction est pas trop dégueulasse (ce que l'on considère toujours vrai en physique). Du coup ca fait automatiquement de Q une fonction d'état ?

désolé, j'ai fait un lapsus moi aussi : je voulais dire variation infinitésimale, ou plutôt forme différentielle en termes mathématiques, et non différentielle... est donc une forme, mais pas exacte [et d'une certaine façon le second principe consiste à dire qu'elle est intégrable, c'est-à-dire, égale à TdS où dS est une différentielle, ce qui n'est pas trivial dans le cas de systèmes comportant plusieurs composants, ce qui mathématiquement se dit "quand la variété décrivant l'état thermodynamique n'est pas bidimensionnelle"]

Ceci parce qu'à force de les utiliser, un spécialiste (comprendre entre autre prof de physique ) a l'impression qu'elles vont de soi et ne les voit plus (ou pire parfois, ne s'en ai jamais rendu compte).

tous les physiciens (ou profs de physique) ne creusent en effet pas le sens mathématique des truc avec lesquels ils "jouent"...

[Burakumin]

Rebonjour,

>> une grandeur physique dont la valeur actuelle ne dépend que de choses actuelles et non de l'histoire passée. Ça se reformule en disant que les variations ne dépendent pas du chemin, et donc (si on reprend le raisonnement à l'envers) que la variation infinitésimale est une différentielle au sens mathématique. C'est exactement ce que tu fais quand, à partir du travail de la force de gravitation, tu dis qu'il existe un potentiel. Le potentiel est une fonction d'état [et c'est pour ça qu'on peut l'utiliser en thermo]

Donc si je récapitule, les variations infinitésimale de U peuvent se représenter par une forme différentielle omega ; c'est à dire qu'au premier ordre ces variations sont linéaires par rapport au couple (dS,dV). Mais qui plus est, de manière équivalente :
- oméga est représentable comme la différentielle d'une fonction, on la note donc dU
- l'intégrale de oméga entre deux points A=(Sa,Va) et B=(Sb,Vb), qui représente donc une variation sensible, ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de A et B

Une question me vient à l'esprit : si l'on considère votre définition, pourquoi ne pourrait-je pas dire par exemple que le volume v est également une variable d'état. La variation de volume entre un état de départ et d'arrivé ne dépend en rien des valeurs prises par le volume au cours d'une transformation.

>> désolé, j'ai fait un lapsus moi aussi : je voulais dire variation infinitésimale, ou plutôt forme différentielle en termes mathématiques, et non différentielle... est donc une forme, mais pas exacte

En faite j'ai du mal à concevoir que pour une quantité Q donnée, sa variation infinitésimale puisse être représentable par une forme (donc pour laquel il y existe bien une partie linéaire au premier ordre) qui soit non exacte ... Si la chaleur échangée avec l'extérieur Q est exprimable en tant que fonction de certaines quantité (à définir, S ? T ? ... ), donc si Q est une fonction de ces quantités, n'est il pas nécessairement possible d'en calculer la différentielle ? Qu'est ce qui rend Q et U si différent ?

>> [et d'une certaine façon le second principe consiste à dire qu'elle est intégrable, c'est-à-dire, égale à TdS où dS est une différentielle,

Justement si (delta Q) est intégrable, c'est bien qu'il existe une quantité Q telle que delta Q soit la différentielle, non ?

>> ce qui n'est pas trivial dans le cas de systèmes comportant plusieurs composants, ce qui mathématiquement se dit "quand la variété décrivant l'état thermodynamique n'est pas bidimensionnelle"]

Cela sousentend-il que classiquement (c'est à dire avec un seul "composant") deux paramètres suffisent pour décrire l'état de mon système ? Ca m'évoque des lointains souvenirs ce genre de chose mais je ne suis plus trés sûr.

Une question que je me posais par ailleurs : si dU s'exprime en fonction de dS et dV, ne peut on pas l'exprimer également par exemple en fonction de dv et dP ? Est-ce qu'on évite de le faire parce que la relation ne serait alors plus linéaire et donc bien moins interessante que celle avec dS et dv ?

[mariposa]

Rebonjour,

>> une grandeur physique dont la valeur actuelle ne dépend que de choses actuelles et non de l'histoire passée. Ça se reformule en disant que les variations ne dépendent pas du chemin, et donc (si on reprend le raisonnement à l'envers) que la variation infinitésimale est une différentielle au sens mathématique. C'est exactement ce que tu fais quand, à partir du travail de la force de gravitation, tu dis qu'il existe un potentiel. Le potentiel est une fonction d'état [et c'est pour ça qu'on peut l'utiliser en thermo]

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Les potentiels thermodynamiques, certes sont des fonctions d'état mais servent a exprimer la stabilité du système. Cad que les dérivées premières sont nulles et les dérivées secondes sont positives relativement à une petite perturbation.
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A noter que -S et non S est un potentiel thermodynamique pour les systèmes isolés.

Une question me vient à l'esprit : si l'on considère votre définition, pourquoi ne pourrait-je pas dire par exemple que le volume v est également une variable d'état. La variation de volume entre un état de départ et d'arrivé ne dépend en rien des valeurs prises par le volume au cours d'une transformation

.
.
Le volume est une variable d'état comme P, T, Ni etc.. Ni lest e nombre de molécule d'espèces i dans le cas d'un système ouvert (échanges de matière).

En faite j'ai du mal à concevoir que pour une quantité Q donnée, sa variation infinitésimale puisse être représentable par une forme (donc pour laquel il y existe bien une partie linéaire au premier ordre) qui soit non exacte ... Si la chaleur échangée avec l'extérieur Q est exprimable en tant que fonction de certaines quantité (à définir, S ? T ? ... ), donc si Q est une fonction de ces quantités, n'est il pas nécessairement possible d'en calculer la différentielle ? Qu'est ce qui rend Q et U si différent ?

.
Ce n'est pas le raisonnement mathématique, mais l'expérience physique qui montre que Q n'est pas une fonction d'état. C'est la raison prècise pour laquelle il a été inventé l'entropie qui elle est une fonction d'état:

ds =dQ/dt

[Burakumin]

.
Ce n'est pas le raisonnement mathématique, mais l'expérience physique qui montre que Q n'est pas une fonction d'état. C'est la raison prècise pour laquelle il a été inventé l'entropie qui elle est une fonction d'état:

ds =dQ/dt

C'est bien possible. Mais moi je cherche à comprendre comment fonctionne la modélisation mathématique que l'on utilise pour cela et qui doit bien nécessairement - vous en conviendrez - rendre compte des différences de comportement (dans le cas contraire elle serait inadapté). Si Q est une fonction, elle a mathématiquement une différencielle (sous réserve de dérivabilité mais c'est typiquement le genre de chose dont ne se soucie pas trop la physique).

Qu'est ce que cela signifie quand on dit que l'objet delta Q (qui est apparemment une forme différentielle) n'est mathématiquement pas exacte (donc n'est pas LA différentielle d'aucune fonction) ? Plus j'y repense plus j'ai tendance à me dire qu'il faut comprendre :

Q est une fonction dépendant non seulement de P, v, T, S mais également d'autre paramètres non explicités liés à la forme du transfert. dQ existe mathématiquement :
dQ = a1(p1,p2,...) dp1 + a2(p1,p2,...) dp2 + ...
mais ne rend pas compte des variations réellement possibles de Q car les variations des paramètres (dp1,dp2,...) ne peuvent être indépendantes dans la réalité et que leur interdépendance est complexe. Donc dQ n'a physiquement aucun sens même si elle existe d'un point de vue purement théorique. Par contre la fonction (delta Q) reste une forme vis-à-vis de certains de ces paramètres ...

Me rapproché-je de la bonne façon de voir les choses ou me fourvoie-je royalement ?

[mariposa]

C'est bien possible. Mais moi je cherche à comprendre comment fonctionne la modélisation mathématique que l'on utilise pour cela et qui doit bien nécessairement - vous en conviendrez - rendre compte des différences de comportement (dans le cas contraire elle serait inadapté). Si Q est une fonction, elle a mathématiquement une différencielle (sous réserve de dérivabilité mais c'est typiquement le genre de chose dont ne se soucie pas trop la physique).

Qu'est ce que cela signifie quand on dit que l'objet delta Q (qui est apparemment une forme différentielle) n'est mathématiquement pas exacte (donc n'est pas LA différentielle d'aucune fonction) ? Plus j'y repense plus j'ai tendance à me dire qu'il faut comprendre :

Q est une fonction dépendant non seulement de P, v, T, S mais également d'autre paramètres non explicités liés à la forme du transfert. dQ existe mathématiquement :
dQ = a1(p1,p2,...) dp1 + a2(p1,p2,...) dp2 + ...
mais ne rend pas compte des variations réellement possibles de Q car les variations des paramètres (dp1,dp2,...) ne peuvent être indépendantes dans la réalité et que leur interdépendance est complexe. Donc dQ n'a physiquement aucun sens même si elle existe d'un point de vue purement théorique. Par contre la fonction (delta Q) reste une forme vis-à-vis de certains de ces paramètres ...

Me rapproché-je de la bonne façon de voir les choses ou me fourvoie-je royalement ?

.Si je comprends bien ce sont les aspects mathématiques qui posent problème.
.
1- Quand tu as un champ scalaire définis sur le plan euclidien fFi (x,y)
2- Tu peux construire un champ de vecteur que l'on appelle gradient et dont les composantes sont:

X = df/dx;
Y = df/dy
.
3- La différentielle df = df/dx.dx + df/dy.dy = X.dx + Y.dy
;
4- En intégrant df entre 2 points 1= (x1,y1) et 2= (x2,y2) on trouve
I = f(1,2) et ce quelquesoit le chemin d'intégration entre 1 et 2.
;
Dans ce cas on dit que X.dx + Y.dy est une différentielle totale excate.
.
Maintenant soit un champ de vecteurs dont les composantes sont Z, H
.
Question; Est-ce que la forme différentielle dg = Z.dx + H.dy est excate?

Si oui alors son intégration ne dépend pas du chemin.

Si non son intégration dépend du chemin. et ce n'est pas une différentielle totale excate.
;
On montre que cette forme est excate si rot V= 0 avec V(Z,H);
.
Application a la thermo:

C'est ainsi que dQ = .Z.dV + H.dP n'est pas une différentielle totale excate
par contre:

dQ/T = Z/T.dV + H/T.dP est une différentielle totale excate.
.

[Burakumin]

.Si je comprends bien ce sont les aspects mathématiques qui posent problème.

Non ! Ce ne sont pas les concepts de maths qui me posent problème. C'est comment la thermo les utilisent qui m'en pose.

Question; Est-ce que la forme différentielle dg = Z.dx + H.dy est excate?

Clairement pas d'accord. Dés lors que vous écrivez "dg" la réponse est nécessairement oui. Parce que la signification de "dg" c'est différentielle de "g". Et que dés lors qu'il existe une fonction primitive, "dg" est exacte. Par définition exacte veut justement dire "primitivable" !!

Si l'on se pose le problème d'exactitude, c'est qu'on parle d'une forme différentielle quelconque, qu'on note par exemple "omega" et justement PAS "dg". On ne sait justement pas si une telle fonction "g" existe. C'est sans doute pour cela que la thermo prend bien soit d'utiliser un "delta" et pas un "petit d" pour désigner "delta Q". Donc quand on parle de la forme "omega" on ne sait pas si encore si elle pourrait être interprété comme la variation au premier ordre en tout point d'un certain "g". Hors la physique, en parlant de "delta Q", reste un peu le cul entre deux chaises : elle suppose qu'il y existe bien une quantité Q pour laquelle la forme différentielle "delta Q" (je dis bien "forme différentielle" et non pas "différentielle" tout cours) décrirait les variation infinitésimal sans que "delta Q" soit justement LA différentielle de Q.

C'est notamment cela que j'ai du mal à comprendre.

[invite8ef897e4]

Bonjour

C'est notamment cela que j'ai du mal à comprendre.

ce que j'ai du mal a comprendre, c'est que tu reponds toi meme a la question soulevee. Les ambiguites de notation sont normalement un probleme trivial si tu comprends les maths (et j'ai bien l'impression que ce soit le cas). Ce qu'il te faut, c'est un cours rigoureux. Ceux de Pauli datent un peu, mais en ce qui concerne la thermo c'est pas grave, et ils sont je crois a un niveau de rigueur qui pourrait te permettre de mieux aborder la physique.

[mariposa]

Clairement pas d'accord. Dés lors que vous écrivez "dg" la réponse est nécessairement oui. Parce que la signification de "dg" c'est différentielle de "g". Et que dés lors qu'il existe une fonction primitive, "dg" est exacte. Par définition exacte veut justement dire "primitivable" !!

.
Soit la différentielle:

dg = x.dy - y.dx

Calcul sa variation selon plusieurs chemins et tu constateras que ce n'est une différentielle totale excate.
.
En effet dX/dy n'est pas égal à dY/dx

avec X = -y et Y = x

Donc il n'existe pas de primitive de ce champ de vecteurs.
;
Donc etant donné une forme différentielle définie rien ne garantit qu'elle soit excate.

[invite8ef897e4]

.
Soit la différentielle:

dg = x.dy - y.dx

Calcul sa variation selon plusieurs chemins et tu constateras que ce n'est une différentielle totale excate.

Attention, ta notation "dg" suggere que la forme "dg" est la differentielle de "g" (c'est a dire exacte et donc est necessairement fermee)

[Rincevent]

C'est sans doute pour cela que la thermo prend bien soit d'utiliser un "delta" et pas un "petit d" pour désigner "delta Q".

c'est exactement pour ça...

Hors la physique, en parlant de "delta Q", reste un peu le cul entre deux chaises : elle suppose qu'il y existe bien une quantité Q pour laquelle la forme différentielle "delta Q" (je dis bien "forme différentielle" et non pas "différentielle" tout cours) décrirait les variation infinitésimal sans que "delta Q" soit justement LA différentielle de Q.

disons que pour un physicien, le delta dit juste que c'est une quantité petite... le "Q" serait un delta Q intégré sur un chemin dans l'espace des états, ce qui n'en fait néanmoins pas une fonction des variables d'état... [pense à ce qui se passe pour le travail dans le cas de force non-conservatives : tu as bien alors un delta W, un W (parfois noté Delta W), mais pas de "fonction travail"]

on est tous d'accord que la notation est malheureuse (et elle fait plein de dégats chez les étudiants), et comme souvent dans ce genre de cas, la raison est historique. Pendant quelques temps, les gens croyaient à l'existence d'un "fluide calorique" auquel on aurait pu attacher une grandeur Q s'il avait exister...

au bout du compte, je rejoins l'avis d'humanino : ce qui te manque, c'est un cours de thermo propre... je ne connais malheureusement pas celui de Pauli, mais il doit très certainement l'être...

Soit la différentielle:

encore une fois le problème est dans les notations et le vocabulaire : un mathématicien ne notera jamais une forme différentielle (et pas une différentielle tout court qui est par définition une forme obtenue par différenciation d'une fonction) "dg" mais "g" ou "omega"... le "d" indique que la forme est la différentielle d'une fonction g...

[invite8ef897e4]

je ne connais malheureusement pas celui de Pauli, mais il doit très certainement l'être...

Je ne le connais qu'en anglais, et je l'apprecie plus pour des raisons historiques. Ses cours sont tres compacts. Lien site editeur

Cours de physique statistique par Pauli manuscipt (!) en allemand sur le site du CERN

Il existe d'autres court tout a fait valables, pour ma part j'ai etudie sur le Diu

[mariposa]

encore une fois le problème est dans les notations et le vocabulaire : un mathématicien ne notera jamais une forme différentielle (et pas une différentielle tout court qui est par définition une forme obtenue par différenciation d'une fonction) "dg" mais "g" ou "omega"... le "d" indique que la forme est la différentielle d'une fonction g...

.
Ok,

Merci à Humanino et à Rincevent pour cette remarque. il est vrai que les physiciens (la plupart d'entre-eux dont moi-même) sont peu respectueux de la rigueur mathématiques. Mon sentiment est que si l'on manipule salement les maths mais en symbiose avec les concepts physique on n'a pas de difficulté spécifiques.
.
Quand au bon cours de thermo, je ne pense pas que le problème soit mathématique. Le vrai problème est de développer la thermodynamique classique hors d'équilibre ce qui permet de comprendre facilement le concept d'entropie.
.
Les physiciens du XIX ième siècle ont cru longtemps au fluide calorique. C'était une erreur et pourtant ils n'étaient pas très loin du concept de fluide entropique. C'est pour moi la seule façon de comprendre l'entropie sans faire aucune référence a la nature microscopique de la matière.
.
En bref:

. dS/dt = P -1/T div.dQ/dt

La variation d'entropie dans un volume élémentaite c'est la production d'entropie (toujours positive) + le bilan des flux de chaleur entrant-sortant.

Si la source d'entropie est négligeable on a:

dS/dt + 1/T.divdQ/dt =0

Qui exprime la conservation de l'entropie lorsque les échanges sont lents ce qui correspond aux transformations reversibles quasi-statiques.
.
La thermodynamique des processus irréversibles consistent a développer l'expression de la production d'entropie.

[mariposa]

Je ne le connais qu'en anglais, et je l'apprecie plus pour des raisons historiques. Ses cours sont tres compacts. Lien site editeur

Cours de physique statistique par Pauli manuscipt (!) en allemand sur le site du CERN

Il existe d'autres court tout a fait valables, pour ma part j'ai etudie sur le Diu

J'avais au boulot le livre de Progogine; structure stabilité et fluctuations. c'est super. Si je le trouve a vendre j'achète;

[invite8ef897e4]

J'avais au boulot le livre de Progogine; structure stabilité et fluctuations. c'est super. Si je le trouve a vendre j'achète;

Je l'ai a la maison (c'est a dire, de l'autre cote de l'ocean). Je pourrais peut etre le mettre aux encheres

Oui, en fait ce que je voulais dire c'est qu'effectivement les cours de Prigogine sont remarquables aussi.

Les cours de David Ruelle sont de loin les plus rigoureux que je connaissent, mais ils atteignent un niveau "recherche" (Statistical Mechanics: Rigorous Results, World Scientific (1969) notamment)

[Rincevent]

Je ne le connais qu'en anglais, et je l'apprecie plus pour des raisons historiques. Ses cours sont tres compacts. Lien site editeur

j'avais pas pensé à ça : j'ai celui de QFT et c'est effectivement une collection (là je parle pas uniquement des oeuvres de Pauli) que j'apprécie beaucoup... on y trouve d'ailleurs aussi publié sous le titre Theory of relativity le fameux article de revue qu'il écrivit en 1921 pour une encyclopédie des "sciences mathématiques", à la demande de son directeur de thèse Sommerfeld (Pauli avait alors 21 ans), sur la toute jeune théorie de la relativité générale (qui n'avait donc que 5 ans)... cet article est resté pendant de nombreuses années l'une des très rares références sur le sujet... et même s'il est évidemment un peu vieillot pour pas mal de choses, il reste une bonne intro au sujet et est aussi intéressant pour la propreté mathématique (qui reste toutefois à la portée d'un physicien) et le dernier chapitre où Pauli parle de certaines théories (aujourd'hui oubliées) en relation : celle de Mie et celle de Weyl au minimum dans mes souvenirs...

Cours de physique statistique par Pauli manuscrit (!) en allemand sur le site du CERN

manuscrit et allemand ça fait deux obstacles pour moi

Il existe d'autres court tout a fait valables, pour ma part j'ai etudie sur le Diu

j'avais étudié sur ça aussi pour la phy stat, mais vue la taille du pavé, je ne l'ai pas avec moi et ne me souvenais pas que la thermo était aussi abordée... très bon bouquin en tous cas, c'est sûr...

[mariposa]

Je l'ai a la maison (c'est a dire, de l'autre cote de l'ocean). Je pourrais peut etre le mettre aux encheres

.
Ca peut se négocier. Je possède le bouquin de Penrose: The Road to the reality signé da la main de Penrose.

Oui, en fait ce que je voulais dire c'est qu'effectivement les cours de Prigogine sont remarquables aussi.

Les cours de David Ruelle sont de loin les plus rigoureux que je connaissent, mais ils atteignent un niveau "recherche" (Statistical Mechanics: Rigorous Results, World Scientific (1969) notamment)

Je ne connais pas le Ruelle. dans le même esprit je possède:

Statistical Thermodynamics of Nonequilibrium process. de Joel Keiser
chez Springer-Verlag

[Burakumin]

disons que pour un physicien, le delta dit juste que c'est une quantité petite... le "Q" serait un delta Q intégré sur un chemin dans l'espace des états, ce qui n'en fait néanmoins pas une fonction des variables d'état... [pense à ce qui se passe pour le travail dans le cas de force non-conservatives : tu as bien alors un delta W, un W (parfois noté Delta W), mais pas de "fonction travail"]

Ok je crois que je commence à comprendre un peu mieux. Alors qu'on peut voir U comme une fonction, il faut simplement lire que Q est la quantité (une simple variable numérique) calculée par "Q = \int_gamma (delta Q)" avec gamma le chemin suivi par la transformation.

Mais pour tenter de décortiquer un peu plus la modélisation mathématique utilisée par la thermo, j'ai une autre problématique en tête (peut être pas trés claire). Quand vous dites en parlant de Q "ce qui n'en fait néanmoins pas une fonction des variables d'état", je pourrais vous répondre : soit, mais ça en fait peut être (et je dis bien peut être) quand même une fonction, fonction d'un nombre plus grand de paramètres (paramètres liés à la transformation). Ne pourrait on pas dans ce contexte parler de la différencielle de Q (d'un point de vue strictement abstrait). Encore faut-il bien sûr que ces paramètres soient des grandeurs pour lesquelles la différentiation ait un sens (nombre réel par exemple). Mais en dehors de ce problème en quoi le fait que ces paramètres ne soit pas des variables d'états empéchent de voir dQ comme représentative des variations infinitésimales de la quantité physique (fonction) Q vis à vis des variations desdits paramètres ?

au bout du compte, je rejoins l'avis d'humanino : ce qui te manque, c'est un cours de thermo propre...

Ca existe ?

Je ne le connais qu'en anglais, et je l'apprecie plus pour des raisons historiques. Ses cours sont tres compacts. Lien site editeur

Cours de physique statistique par Pauli manuscipt (!) en allemand sur le site du CERN

Il existe d'autres court tout a fait valables, pour ma part j'ai etudie sur le Diu

Je ne parle pas l'allemand donc déjà ça élimine un lien. Vous proposez des bouquins (et pas des documents électroniques). Je ne suis pas vraiment dans l'optique d'acheter des bouquins de thermo pour le moment. Il y a des tas de domaines (en maths, en physique, en linguistique, en philo, ... ) où j'aimerais avoir des éclaircissement sur certains points. Je n'ai malheureusement pas les moyens d'acheter des bouquins pour tous (et pas forcément le temps pour les lire). Mais je garde tes références sous la main, au cas où je me décide.

C'est pour moi la seule façon de comprendre l'entropie sans faire aucune référence a la nature microscopique de la matière.

Puisque vous parlez de ça, je n'ai personnellement jamais pu comprendre l'entropie à partir d'une des définitions classiques. Du coup j'ai dû me renseigné moi même sur l'approche statistique (qu'on ne m'a jamais présenté en cours). C'est notamment en constatant cela que j'ai parfois pensé que décidément je n'étais pas fait pour la thermo (comme certains pensent qu'ils ne sont pas fait pour les proba, la cuisine ou pour les langues étrangères).

[invite8ef897e4]

Ca existe ?

Une (authentique, pas typo) erreur ou omission dans le Ruelle cite plus haut donnerait clairement lieu a une publication. Je ne dis pas qu'il faut acheter tous les livres cites. Je dis simplement que l'on peut les trouver dans des bonnes bibliotheque si l'on est interesse. Ca sera plus efficace que toute autre solution.

[gatsu]

Bonjour

Faire de la physique, on en conviendra, cela passe à notre époque presque systématiquement par une étape de modélisation mathématique. Du coup rien d'étonnant à retrouver pas mal de notions de maths dés lors qu'on est un minimum interessé par l'obtention de résultats quantitatifs....

Bonjour,

Je n'ai rien à ajouter je partage en grande partie ta pensée (même si ce qui a été dit ensuite par humanino et rincevent a le mérite d'être clair je trouve). Peut être parce que moi aussi j'ai eu (subi) un cours de thermo tout pourri .

En ce qui concerne l'entropie par contre, je trouve que le point de vue statistique est indispensable pour s'en faire une "bonne" représentation.
Je te conseille donc au passage d'étudier un peu la mécanique statistique, si tu as l'occasion et si tu ne l'as pas déjà fait c'est super !