Théorie des champs

[invité576543]

Cela veut il dire que l'espace est orienté ?

Oui (du moins il est orientable). C'est ce qui nous permet de parler de gauche et de droite par exemple, de trièdre direct ou indirect, de pas de vis à droite ou de pas de vis à gauche.

Ou cette orientation est juste une convention pour distinguer les vecteurs champs magnétiques et les vecteurs champ électriques ?
Pourquoi pas l'inverse ? Les composantes de B changent de signe comme la base ?

Passer dans un miroir, c'est lié à la transformation x --> -x, y --> -y, z --> -z sur le système de coordonnées.

Un vecteur (x, y, z) est multiplié par -1 par cette opération, ses composantes sont transformées comme le système de coordonnées.

Cette inversion est vérifiée par les vitesses, les accélérations.

Le champ E se comporte comme les vitesses, c'est pour cela qu'on le classe avec la vitesse dans la même catégorie, les vecteurs.

Les paramètres du champ magnétique (ou d'un "vecteur" rotation, ou d'un "vecteur" normal à une surface) ne changent pas de signe lors de la transformation indiquée ci-dessus (qui porte, c'est important à rappeler, sur le système de coordonnées). Si ses coordonnées étaient (x, y, z), elles restent (x, y, z) après. Autrement dit, il ne change pas de signe quand multiplié par -1, ce qui est curieux.

C'est ce qu'on constate (c'est d'ailleurs facile à constater pour un vecteur normal à une sphère par exemple, qui est orienté par une notion d'intérieur et d'extérieur: l'image par un miroir ne permute pas l'intérieur et l'extérieur).

On n'a pas le choix pour E et B. On les classe dans la catégorie correspondant à leur comportement.

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Une autre manière de voir est de réaliser que le produit vectoriel classique en 3D met TOUJOURS en jeu au moins un "pseudo-vecteur". En particulier, le p.v. de deux "vrais" vecteurs est toujours un "pseudo-vecteur" (bon exercice, le vérifier sur les formules usuelles).

Donc, toutes les formules avec p.v. (comme celle donnant le champ magnétique ou la normale à une surface) permettent de classer les arguments y apparaissant en vecteurs et "pseudo-vecteurs". Là encore, il n'y a pas le choix: à partir du constat qu'un déplacement (donc une vitesse) est un vecteur, les formules imposent la catégorie des autres "objets".

Cordialement,
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[invite6754323456711]

Oui (du moins il est orientable). C'est ce qui nous permet de parler de gauche et de droite par exemple, de trièdre direct ou indirect, de pas de vis à droite ou de pas de vis à gauche.

Oui, mais cela ne sont que des conventions. Cela veut il dire que la nature de l'être physique est dépendant d'une convention ? Si on change de convention qu'advient-il des êtres physique ?

Patrick

[yahou]

Oui, mais cela ne sont que des conventions. Cela veut il dire que la nature de l'être physique est dépendant d'une convention ? Si on change de convention qu'advient-il des êtres physique ?

En fait on ne mesure jamais directement le champ magnétique, mais ses effets. Et ces effets sont indépendants de la convention choisie.

Par exemple la force de Lorentz est un vrai vecteur : lors d'une réflexion, le facteur -1 du au champ magnétique se compense avec celui dû au produit vectoriel.

[invite6754323456711]

En fait on ne mesure jamais directement le champ magnétique, mais ses effets. Et ces effets sont indépendants de la convention choisie.

Cela veut-il donc que les propriété intrinsèque au champ magnétique sont dépendantes d'une convention ?

Par exemple la force de Lorentz est un vrai vecteur : lors d'une réflexion, le facteur -1 du au champ magnétique se compense avec celui dû au produit vectoriel.

Que signifie réflexion ?

Patrick

[invite6754323456711]

Oui (du moins il est orientable). C'est ce qui nous permet de parler de gauche et de droite par exemple, de trièdre direct ou indirect, de pas de vis à droite ou de pas de vis à gauche.

Passer dans un miroir, c'est lié à la transformation x --> -x, y --> -y, z --> -z sur le système de coordonnées.

Un vecteur (x, y, z) est multiplié par -1 par cette opération, ses composantes sont transformées comme le système de coordonnées.

Cette inversion est vérifiée par les vitesses, les accélérations.

Le champ E se comporte comme les vitesses, c'est pour cela qu'on le classe avec la vitesse dans la même catégorie, les vecteurs.

Cela ne dépend-il pas de l'orientation du miroir ? Si je marche sur un miroir je me vois effectivement inversé. Si le miroir est parallèle à moi ma direction ne change pas.

Patrick

[yahou]

Cela veut-il donc que les propriété intrinsèque au champ magnétique sont dépendantes d'une convention ?

Une propriété, oui : le sens dans lequel il pointe.

Que signifie réflexion ?

Il s'agit de la réflexion dans un miroir dont parle mmy. Ca marche aussi avec l'inversion dont parle mariposa, ou plus généralement toute isométrie qui transforme un trièdre direct en trièdre indirect.

Imagine deux points et tels que pointe de vers , et deux points et tels que pointe de vers . Après la réflexion, se retourne (pointe de vers ), mais le produit vectoriel induit un second retournement, si bien que pointe toujours de vers

[invité576543]

Oui, mais cela ne sont que des conventions. Cela veut il dire que la nature de l'être physique est dépendant d'une convention ? Si on change de convention qu'advient-il des êtres physique ?

Patrick

Ce qui est une convention c'est de dire "droite" pour la droite. Ce qui est physique est la capacité de distinguer les deux côtés!

Imagine que tu sois quelque part sur Terre où tout le monde est d'accord ce qu'est la droite. Tu fais alors un long voyage et quand tu reviens ce que tu dis toi être la main droite est maintenant considérée comme la gauche par ceux restés sur place (et ton coeur est placé du côté différente du leur, les boulons que tu avais emmenés ne marchent plus avec les boulons restés sur place, etc. ). Manifestement, la notion de droite/gauche serait locale. C'est ce qui se passe dans un espace "non orientable".

Notre espace est orientable, ce qui veut dire que l'on peut choisir une convention et qu'elle reste valable quoi qu'on fasse, quels que soient les déplacements ou tout autre action.

Cordialement,

[invité576543]

Cela ne dépend-il pas de l'orientation du miroir ? Si je marche sur un miroir je me vois effectivement inversé. Si le miroir est parallèle à moi ma direction ne change pas.

Patrick

J'ai été un peu rapide. L'opération fondamentale est l'inversion, le changement de signe de toutes les coordonnées.

L'image dans un miroir (une réflexion comme le rappelle yahou) ne change le signe que d'une seule coordonnée, si on prend un repère avec deux vecteurs parallèles au plan du miroir, et un vecteur orthogonal au miroir. Mais cette transformation n'est pas simple à utiliser, bien moins que la multiplication par -1 de tout le vecteur qui est indépendante de toute base. Et c'est cette multiplication par -1 (l'inversion donc) qui donne la clé de la notion de pseudo-vecteur, qui permet de bien la comprendre.

Quel est alors la relation entre le miroir plan et l'inversion? Il faut voir le "passage dans un miroir comme combinant l'inversion (changement de signe de toutes les coordonnées) puis un changement de signe de deux coordonnées. Or cette dernière opération est une simple rotation d'un demi-tour, celle obtenue par exemple dans une chambre photographique.

Il existe une manière de disposer des miroirs donnant exactement l'inversion: trois miroirs perpendiculaires deux à deux, le coin intérieur d'un cube. L'image que l'on y voit est complètement inversée, le haut passe en bas, la droite à gauche, et (moins intuitif) l'avant et l'arrière sont échangés.

Un miroir concave, regardé à courte distance, donne le même résultat.

Cordialement,

[mariposa]

Cela veut-il donc que les propriété intrinsèque au champ magnétique sont dépendantes d'une convention ?

Que signifie réflexion ?

Patrick

Relie bien ce que j'ai écrit: Les vecteurs cad les objets mathématiques sur lesquels tu mets des flèches ont tous une direction déterminée dans l'espace.
;
C'est donc vrai pour F pour V et pour B avec des flèches dessus.
;
Donc la relation:



ne dépend d'aucun repère. Imagine toi que tu fasses une manip précise les vecteurs existent en soi sans faire référence a aucune base.
.
Par contre si tu remplaces cette relation par l'expression en termes de composantes de vecteurs le comportement des composantes dans un changement de base va dépendre de la nature tensorielle des vecteurs.
.
Par exemple on peut supposer connaitre les propriétés tensorielles de V et B et en déduire celle de F supposée inconnu. pour cela on teste l'inversion.
.
Ci-dessous il s'agit des composantes des vecteurs et non des vecteurs.
.
V devient -V
B devient B
Le produit vectoriel conserve le signe donc:
F devient -F

Les composantes de F changent de signe dans l'inversion donc F est un tenseur de rang 1 comme le champ électrique.
;
Peux-t-on le vérifier?
.
En effet on sait qu'une F dérive d'un gradient -dV/dx, -dV/dy, -dV:dz
Donc F se transforme comme un vecteur R c'est donc bien un tenseur de rang 1.
;
Encore une fois il ne pas confondre: les vecteurs qui se moquent royalement des repères avec les composantes de ces mêmes vecteurs dont le comportement dans les changements de base définissent leur caractère tensoriel.
.
En résumé on a rencontré dans cette discussion:
.
Des vecteurs qui sont des tenseurs de rang 1 : R (position),V(vitesse),E (champ électrique), F (force).
.
Un seul vecteur qui est un pseudotenseur, c'est B. Rappel: la vrai appelation c'est tenseur antisymétrique de rang 2.
.
En complément: on a rencontré des tenseurs de rang 1 et de rang 2. Il existe des tenseurs de tous les rangs et même zéro.
.
En effet un vecteur dont il existe une composante qui reste invariante par changement de base est un tenseur de rang zéro.

[invite6754323456711]

Relie bien ce que j'ai écrit: Les vecteurs cad les objets mathématiques sur lesquels tu mets des flèches ont tous une direction déterminée dans l'espace.
;
C'est donc vrai pour F pour V et pour B avec des flèches dessus.
;
Donc la relation:



ne dépend d'aucun repère. Imagine toi que tu fasses une manip précise les vecteurs existent en soi sans faire référence a aucune base.
.
Par contre si tu remplaces cette relation par l'expression en termes de composantes de vecteurs le comportement des composantes dans un changement de base va dépendre de la nature tensorielle des vecteurs.
.
Par exemple on peut supposer connaitre les propriétés tensorielles de V et B et en déduire celle de F supposée inconnu. pour cela on teste l'inversion.
.
Ci-dessous il s'agit des composantes des vecteurs et non des vecteurs.
.
V devient -V
B devient B
Le produit vectoriel conserve le signe donc:
F devient -F

Les composantes de F changent de signe dans l'inversion donc F est un tenseur de rang 1 comme le champ électrique.
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Peux-t-on le vérifier?
.
En effet on sait qu'une F dérive d'un gradient -dV/dx, -dV/dy, -dV:dz
Donc F se transforme comme un vecteur R c'est donc bien un tenseur de rang 1.
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Encore une fois il ne pas confondre: les vecteurs qui se moquent royalement des repères avec les composantes de ces mêmes vecteurs dont le comportement dans les changements de base définissent leur caractère tensoriel.
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En résumé on a rencontré dans cette discussion:
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Des vecteurs qui sont des tenseurs de rang 1 : R (position),V(vitesse),E (champ électrique), F (force).
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Un seul vecteur qui est un pseudotenseur, c'est B. Rappel: la vrai appelation c'est tenseur antisymétrique de rang 2.
.
En complément: on a rencontré des tenseurs de rang 1 et de rang 2. Il existe des tenseurs de tous les rangs et même zéro.
.
En effet un vecteur dont il existe une composante qui reste invariante par changement de base est un tenseur de rang zéro.

Je vous remercie pour toutes les précisions qui m'ont été apporté. Je comprends mieux la nécessité d'approfondir l'algèbre tensorielle pour satisfaire ma curiosité sur la relativité générale (on arrive à toucher du doigt la RR mais la RG c'est plus compliqué). Je vais donc repartir des bases, Espaces vectoriel de dimension n sur un corps commutatif, formes linéaires et espaces dual pour arriver au tenseurs.

J'ai trouvé un article sur l'algèbre tensorielle pour non mathématicien : http://hal.inria.fr/inria-00069934/en/


Merci
Patrick