Electrons Pi dans la structure du benzène en MQ

[invite047d9292]

Bonjour,
Je suis toujours dans la lecture du livre "Mes Premiers pas en Mécanique Quantique" de Nicolas Poilvert et Christos Gougoussis, qui est un bon livre malgré quelques passages flous dont celui dont je vais vous parler.

On étudie la structure du benzène et notamment le niveau d'énergie de la molécule via l'étude des niveaux d'énergies de ses électrons .

On a donc :

• la structure du benzène :
• une observable qui a pour vecteurs propres avec j de 1 à 6 pour les 6 atomes de carbone de la molécule
• on déduit la matrice du hamiltonien en posant : l'énergie d'un électron sur un atome et l'énergie du saut d'un électron vers un voisin (on limite le saut vers un voisin)
  la matrice est donc la suivante :
  

1. On va donc chercher les valeurs propres et états propres du Hamiltonien. Pour ça on pose : et on va donc chercher .
   
   On pose alors avec et k entier entre 0 et 5
   Première question : pourquoi cette valeur à ? C'est juste pour exprimer la symétrie de la structure?
   
2. Bon après je vous évite les calculs du Hamiltonien sur le vecteur et on obtient comme valeur propre :
   
   Deuxième question : pourquoi on prend pas tout de suite cette valeur propre pour des vecteurs propres avec k de 1 à 6 ?!
   
3. Ensuite on pose :
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   De façon à trouver les composantes des vecteurs u et donc les valeurs propres de H.
   Troisième question : pourquoi on utilise des vecteurs notés de 0 à 5 et pas de 1 à 6? et pourquoi ces égalités? à quoi servent-elles? et pourquoi ça et pas n'importe quoi d'autres?
   en fait là je vois pas du tout le rapport entre les différents vecteurs u et v...

Voilà merci d'avoir tout lu!
Et merci de m'aider si vous trouvez le courage de tout lire

sdumasp
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,
Je suis toujours dans la lecture du livre "Mes Premiers pas en Mécanique Quantique" de Nicolas Poilvert et Christos Gougoussis, qui est un bon livre malgré quelques passages flous dont celui dont je vais vous parler.

On étudie la structure du benzène et notamment le niveau d'énergie de la molécule via l'étude des niveaux d'énergies de ses électrons .

On a donc :

• la structure du benzène :
• une observable qui a pour vecteurs propres avec j de 1 à 6 pour les 6 atomes de carbone de la molécule
• on déduit la matrice du hamiltonien en posant : l'énergie d'un électron sur un atome et l'énergie du saut d'un électron vers un voisin (on limite le saut vers un voisin)
  la matrice est donc la suivante :
  

1. On va donc chercher les valeurs propres et états propres du Hamiltonien. Pour ça on pose : et on va donc chercher .
   
   On pose alors avec et k entier entre 0 et 5
   Première question : pourquoi cette valeur à ? C'est juste pour exprimer la symétrie de la structure?
   
2. Bon après je vous évite les calculs du Hamiltonien sur le vecteur et on obtient comme valeur propre :
   
   Deuxième question : pourquoi on prend pas tout de suite cette valeur propre pour des vecteurs propres avec k de 1 à 6 ?!
   
3. Ensuite on pose :
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   De façon à trouver les composantes des vecteurs u et donc les valeurs propres de H.
   Troisième question : pourquoi on utilise des vecteurs notés de 0 à 5 et pas de 1 à 6? et pourquoi ces égalités? à quoi servent-elles? et pourquoi ça et pas n'importe quoi d'autres?
   en fait là je vois pas du tout le rapport entre les différents vecteurs u et v...

Voilà merci d'avoir tout lu!
Et merci de m'aider si vous trouvez le courage de tout lire

sdumasp

Bonjour,
;
Je trouve çà très difficile pour un cours de débutant.

Le but est de trouver les vecteurs propres de ton hamiltonien qui est écrit dans la base de fonctions centrées sur les 6 atomes. Cela veut dire qu'il exite un changement de base qui diagonalise ton hamiltonien. Comme il est difficile de trouver a vue ce changement de base, il te propose un premier changement de base, ce sont les |vk>. Ce choix est dicté par des conditions de symétrie ce qui n'est pas évident a expliquer.
;
Une fois écrit l'hamiltonien dans cette nouvelle base il te propose un nouveau changement de base. Ce choix est dicté par le fait que ton hamiltonien est diagonal par bloc 2.2. il suffit donc de faire des changements dans chaque bloc. C'est pourquoi il te propose le changement de base des |u>. A l'issu de ce dernier changement de base l'hamiltonien doit être diagonal. Tu as alors les etats propres et les valeurs propres.
;
La notation k de 0 à 5 est arbitraire. Tun aurais pu écrire k varie de 3 à 8.!

[invite047d9292]

c'est vraiment difficile pour un cours de débutant?
parce qu'en réalité ce qui me pose problème ici ce sont juste les changements de base (si j'ai bien compris)

par contre j'ai pas bien compris ce qu'est un changement de base et son intérêt?!
et qu'est-ce que la diagonalisation?

en ce qui concerne ce cas précis :
- la notation k est bien arbitraire ok mais pourquoi ne pas utiliser la même que pour l'observable X si c'est la même base?
- et la matrice de mon hamiltonien est pas déjà diagonale avant toutes ces manips?
- et comment sont effectués les présents changements de base?

[invite7ce6aa19]

c'est vraiment difficile pour un cours de débutant?
parce qu'en réalité ce qui me pose problème ici ce sont juste les changements de base (si j'ai bien compris)

par contre j'ai pas bien compris ce qu'est un changement de base et son intérêt?!
et qu'est-ce que la diagonalisation?

en ce qui concerne ce cas précis :
- la notation k est bien arbitraire ok mais pourquoi ne pas utiliser la même que pour l'observable X si c'est la même base?
- et la matrice de mon hamiltonien est pas déjà diagonale avant toutes ces manips?
- et comment sont effectués les présents changements de base?

As-tu suivi un cours élémentaire d'algébre linéaire? Si ce n'est pas le cas il te sera difficile de traiter des problèmes de MQ même les plus élémentaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite047d9292]

ben en mathématiques et notamment en algèbre linéaire je n'ai que ems connaissances de Terminale et c'est bien pour ça que je lis ce bouquin qui est censé être dédié aux Terminales.

qu'appelles-tu un "cours élémentaire d'algèbre linéaire"?! c'est l'algèbre linéaire de la license?
parce que sinon Phys2 (du forum) m'avait conseillé de lire un bouquin qui s'appelle "Toute l'algèbre de la licence", qu'en penses-tu? serait-ce suffisant pour que je puisse m'atteler à un problème de ce type? voire à d'autrs bouquins plus orientés sur le formalisme?

merci

[invite7ce6aa19]

ben en mathématiques et notamment en algèbre linéaire je n'ai que ems connaissances de Terminale et c'est bien pour ça que je lis ce bouquin qui est censé être dédié aux Terminales.

qu'appelles-tu un "cours élémentaire d'algèbre linéaire"?! c'est l'algèbre linéaire de la license?
parce que sinon Phys2 (du forum) m'avait conseillé de lire un bouquin qui s'appelle "Toute l'algèbre de la licence", qu'en penses-tu? serait-ce suffisant pour que je puisse m'atteler à un problème de ce type? voire à d'autrs bouquins plus orientés sur le formalisme?

merci

Il s'agit simplement de l'algébre linéaire de la première année d'études supérieures. Il faut peu de choses en mathématiques pour débuter en MQ. Par contre ce peu de choses il faut le savoir. Visiblement il te manque la notion d'opérateurs, de representation d'un opérateur, de vecteurs propres d'un opérateur etc...Je te conseille donc de trouver un livre simple avec beaucoup d'exercices et là tu pourras reprendre ton livre de MQ et tu auras la satisfaction de mieux comprendre la MQ. Tu es sur la bonne voie.
;
Au plaisir de t'aider.

[invite047d9292]

merci beaucoup Mariposa tu sais pas à quel point tu me rassures
je te renvoie sur mon post où j'avais demandé de l'aide pour trouver un bouquin de MQ : Livres de physique (mathématiques) pour terminale SI sur lequel je viens de poster un message avec quelques références sur des bouquins d'algèbre!
peut-être pourras-tu m'aider