Mécanique quantique

[invitea180b11d]

bonjour
j'ai un probleme avec l'interpretation physique des differents notions de la mecanique quantique
je comprends pas ce que ca veut dire une fonction d'onde physiquement et POURQUOI son module au carré represente la densité de probabilité de presence de la particule
je voudrais aussi comprendre ce que ca veu dire un operateur en mecanique quantique autrement dit qu'est ce qu'il fait ici
j'aimerais une explication tres detaillé parceque je viens de commencer a etudier la mecanique quantique et je sais rien encore
merci d'avance pour votre aide
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[invite7ce6aa19]

bonjour
j'ai un probleme avec l'interpretation physique des differents notions de la mecanique quantique
je comprends pas ce que ca veut dire une fonction d'onde physiquement et POURQUOI son module au carré represente la densité de probabilité de presence de la particule
je voudrais aussi comprendre ce que ca veu dire un operateur en mecanique quantique autrement dit qu'est ce qu'il fait ici
j'aimerais une explication tres detaillé parceque je viens de commencer a etudier la mecanique quantique et je sais rien encore
merci d'avance pour votre aide

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Bonjour,

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Les réponses a des questions recouvrent presque un cours de MQ.
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En MQ les énergies sont quantifiées.
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La "raison" est que la MQ est un problème aux élements propres d'un opérateur hamiltonien H qui est la traduction (principe de correspondance) de l'énergie classique:
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Les valeurs propres de H sont les énergies.
Lers fonctions propres de H sont des fonctions d'ondes.

L'interpretation physique de la fonction normalisée Phi (r) est que son module-carré donne la densité probabilité de trouver la particule au point r.
;
Pour aborder la MQ il faut avoir fait au préalable en maths un peu d'algébre linéaire et un peu de probabilité

[Deedee81]

Salut,

j'ai un probleme avec l'interpretation physique des differents notions de la mecanique quantique
je comprends pas ce que ca veut dire une fonction d'onde physiquement

Oulàlà ! Il y a autant d'explications que d'interprétations !

Vu ce que tu dis (tu commences), je te conseille ceci :
- La fonction d'onde est la représentation ondulatoire de la matière (la matière vue comme une onde)
- La fonction d'onde est la représentation la plus complète et la plus concise de ce que l'on peut savoir sur l'état d'un système. Ou, dit autrement, l'état de connaissance (informations) le plus complet qu'on puisse avoir.

Quand à "physique" au sens "mesure", tu l'as donnée, ça représente la probabilité des mesures (+ une information sur la phase, importante pour traduire les effets d'interférences).

et POURQUOI son module au carré represente la densité de probabilité de presence de la particule

"Pourquoi", impossible à dire. C'est comme si tu demandais "pourquoi la masse est un scalaire est pas un vecteur" ou "pourquoi la force de gravité est en 1/r² et pas en 1/r³". On pourrait te dire comment on sait (expériences, etc...) que c'est en 1/r² et on pourrait te dire quelles seraient les conséquences du 1/r³. Mais te dire pourquoi le monde est comme ça, non !!!!

Ce que je te conseille (c'est le mieux) :
- Accepter une interprétation opérationnelle : règle de Born (mesure des probabilités donnée par le carré du module l'amplitude) et évolution de Schrödinger des états appartenant à un espace de Hilbert, etc....
- Apprendre la mécanique quantique (au moins jusqu'à Schrödinger, l'atome d'hydrogène, les particules identiques, le spin... pour avoir assez à manger)
- Puis étudier les différentes interprétations (par exemple en te baladant dans l'encyclopédie (en ligne) de philosophie de Stanford).

je voudrais aussi comprendre ce que ca veu dire un operateur en mecanique quantique autrement dit qu'est ce qu'il fait ici

Le mieux que je puisse te dire c'est de consulter wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur
Définition mathématique :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A...%A9matiques%29
Définition physique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A...%28physique%29

Et un exemple, à la fin de :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit...ique_quantique

Et le lien avec la mesure :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Observable

j'aimerais une explication tres detaillé parceque je viens de commencer a etudier la mecanique quantique et je sais rien encore

Mais, hum, si tu va commencer à étudier la MQ, alors tous ces détails, tu vas les voir, non ? Qu'est-ce que tu veux ? Savoir avant de savoir ?

[invitea180b11d]

c'est logique ce que vous venez de dire deedee81 mais la mecanique quantique est bourrée d'abstraction et en meme temps elle est passionnante
donc je m'enerve quand je compren pas quelque chose mais sans doute il faut du temps pour que je comprenne tt ca

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

c'est logique ce que vous venez de dire deedee81 mais la mecanique quantique est bourrée d'abstraction et en meme temps elle est passionnante
donc je m'enerve quand je compren pas quelque chose mais sans doute il faut du temps pour que je comprenne tt ca

C'est une très bonne remarque.

Si tu veux un aperçu "rapide" et orienté "compréhension", orienté "pourquoi", je te conseille :
http://plato.stanford.edu/entries/qm/
Ca te donnera les bases théoriques (si tu ne les as pas déjà)

Puis, dans le fond de cette page, tu as des liens vers une série d'articles sur l'interprétation (liste incomplète mais ces articles ont eux-mêmes des liens).

En tout une bonne vingtaine d'articles qui te donneront déjà pas mal d'idées.

Tu as aussi :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique
avec en bas aussi pas mal de liens sur l'interprétation

Enfin, un très bon article sur la décohérence (importante pour comprendre le lien entre le monde classique et quantique) et qui contient une partie importante sur les interprétations :
http://xxx.lanl.gov/PS_cache/quant-p.../0312059v4.pdf

Bon courrage et bonnes lectures,

[invite7ce6aa19]

c'est logique ce que vous venez de dire deedee81 mais la mecanique quantique est bourrée d'abstraction et en meme temps elle est passionnante
donc je m'enerve quand je compren pas quelque chose mais sans doute il faut du temps pour que je comprenne tt ca

Pour des raisons propres à la MQ il est difficile, sinon impossible, de ne pas l'introduire autrement que de façon axiomatique (comme en mathématiques). Elle est donc physiquement incomprehensible car les axiomes n'ont pas de sens en soi. Il faut l'appliquer a des concrets que l'on trouve dans les livres pour se familiariser avec elle et trouver du sens physique aux objets mathématiques. (voir la biblio de Deedee81)
.
Le moyen le plus simple pour commencer c'est de résoudre le problème d'un électron dans un puit de potentiel a 1 dimension nul à l'intérieur et infini au delà. Avec ce seul exemple il y a de quoi répondre concrètement aux questions que tu as posé. Avec une seul réserve qui est de connaitre le minimum mathématique sur le problème aux valeurs propres.

[Deedee81]

Le moyen le plus simple pour commencer c'est de résoudre le problème d'un électron dans un puit de potentiel a 1 dimension nul à l'intérieur et infini au delà. Avec ce seul exemple il y a de quoi répondre concrètement aux questions que tu as posé. Avec une seul réserve qui est de connaitre le minimum mathématique sur le problème aux valeurs propres.

Bonjour,

En effet, c'est d'ailleurs un peu ce que je proposais initialement. Une formation de base.

Je dois dire que je n'ai pas rencontré le "problème" de someone car j'ai appris la MQ à la fac, lors de mes études d'ingénieur. Et dans ce contexte, comprendre le "pourquoi c'est comme ça ?" n'était pas ma préoccupation majeure.

Donc, quand j'ai été amené à me poser des questions, j'avais déjà la formation de base nécessaire.

Mais je comprend très bien que si on se pose la question dès le départ, le coté abstrait puisse sembler très obscurs. Mais je vois mal comment échapper à ça autrement que par une approche très instrumentale (celle adoptée dans presque tous les cours de MQ). Si on en n'est pas satisfait, c'est dur dur

[invite7ce6aa19]

c'est logique ce que vous venez de dire deedee81 mais la mecanique quantique est bourrée d'abstraction et en meme temps elle est passionnante
donc je m'enerve quand je compren pas quelque chose mais sans doute il faut du temps pour que je comprenne tt ca

Au fait, veux-tu apprendre la MQ en autodidacte ou est-tu dans un cadre scolaire?

[invitea180b11d]

Au fait, veux-tu apprendre la MQ en autodidacte ou est-tu dans un cadre scolaire?

c'est pour l'ecole biensur bon d'accord je sais qu'on est pas sensé tout comprendre mais je suis tellement passionné par ce monde que je vien de decouvrir que je veux tout savoir la dessus
mais deedee81 si je vous compren bien vous me suggerez d'accepter des choses provisoirement quitte a les comprendre plutard n'est ce pas ?

[Deedee81]

c'est pour l'ecole biensur bon d'accord je sais qu'on est pas sensé tout comprendre mais je suis tellement passionné par ce monde que je vien de decouvrir que je veux tout savoir la dessus
mais deedee81 si je vous compren bien vous me suggerez d'accepter des choses provisoirement quitte a les comprendre plutard n'est ce pas ?

Bonjour,

C'est déjà comme ça avec beaucoup de chose. Imagine que tu veuilles comprendre la supraconductivité. Il faut d'abord voir ce qu'elle fait et l'accepter avant de la comprendre.

Malheureusement, la MQ est nettement plus complexe que l'étude d'un "simple" phénomène physique. Donc, à moins que tu ne trouves LE super-livre de vulgarisation capable de tout faire comprendre sans math.... et sans explications trompeuses. Je n'ai évidemment rien contre. Mais je n'en connais pas

Donc, ce que je conseille c'est de digérer au moins un minimum (de formalisme et de situations expérimentales, comme Young que tu dois déjà connaître) et à partir de là tu peux disgresser un peu.

Il est vrai qu'il n'est pas nécessaire d'attendre d'avoir étudié le groupe de renormalisation avant de se poser des questions

Les références que j'ai donné permettent au moins cette approche

[invite7ce6aa19]

C'est une très bonne remarque.

Si tu veux un aperçu "rapide" et orienté "compréhension", orienté "pourquoi", je te conseille :
http://plato.stanford.edu/entries/qm/
Ca te donnera les bases théoriques (si tu ne les as pas déjà)

Puis, dans le fond de cette page, tu as des liens vers une série d'articles sur l'interprétation (liste incomplète mais ces articles ont eux-mêmes des liens).

En tout une bonne vingtaine d'articles qui te donneront déjà pas mal d'idées.

Tu as aussi :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique
avec en bas aussi pas mal de liens sur l'interprétation

Enfin, un très bon article sur la décohérence (importante pour comprendre le lien entre le monde classique et quantique) et qui contient une partie importante sur les interprétations :
http://xxx.lanl.gov/PS_cache/quant-p.../0312059v4.pdf

Bon courrage et bonnes lectures,

Je trouve pas mal du tout ta courte et très judicieuse bibliographie.
.
Le seul défaut est qu'il n'existe aucune application concrète et je ne pense pas que l'on puiss.e comprendre la MQ sans applications.

[Deedee81]

Je trouve pas mal du tout ta courte et très judicieuse bibliographie.
.
Le seul défaut est qu'il n'existe aucune application concrète et je ne pense pas que l'on puiss.e comprendre la MQ sans applications.

Bonjour,

Très bonne remarque !

Alors à ajouter, après le formalisme, quelques applications.

Hum.... l'hydrogène je trouve ça un peu complexe (les calculs). Quoique lire ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Atome_d%27hydrog%C3%A8ne
ça va.

Intéressant aussi :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fentes_de_Young

Le puis de potentiel, que tu avais cité comme exemple, je trouve ça pas mal. Mais l'article wikipedia est singulièrement maigre ! Je n'arrive pas à trouver une référence potable sur le net

[invite7ce6aa19]

, quelques applications.

Hum.... l'hydrogène je trouve ça un peu complexe (les calculs). Quoique lire ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Atome_d%27hydrog%C3%A8ne
ça va.

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1- Effectivement l'atome d'hydrogène les calculs, c'est long, et le sens des calculs ne se comprennent que si l'on a une formation de representations des groupes.
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2- En presentant l'atome d'hydrogène on introduit le nombre quantique principal qui est un nombre quantique uniquement pour l'atome d'hydrogène. malheureusement on continu d'appeler n nombre quantique pour tous les éléments ce qui est une erreur. Beaucoup croient que l'on fabrique le Tableau de Mendeleieff en remplissant les couches de l'hydrogène.

Intéressant aussi :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fentes_de_Young

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Ce n'est pas a proprement parler une application. C'est plutot le moyen de faire comprendre que la MQ n'est pas compatible avec la notion de particules et/ou d'onde.
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Personnellement je suis partisan de commencer par le puit de potentiel a 1 dimension pour plusieurs raisons.
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1- Le calcul est tres simple.
2-On peut introduire doucement les groupes. L'hamiltonien est pair donc...
3-On peut traiter ensuite le puit de potentiel fini à 1 dimension.
4-On peut comparer les résultats de 3 avec des résultats expérimentaux issus de publications et disserter sur les accords et désaccord.
5-Le point 4 permet de refléchir sur le modèle (c'est le vrai travail du physicien).
6- Après avoir expliquer la théorie des perturbations, on peut l'appliquer au puit de potentiel et découvrir le concet de brisure de symétrie et comparer les calculs aux résultats contenus dans les publications.
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On est donc très loin de la pédagogie de Cohen-T. (j'ai été formé par un normalien de course-Thèse d'Etat à 23 ans- éleve de Cohen-T. Non merci).
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Pour bien enseigner la MQ il faudrait s'inspirer du style du Kittel (la bible des physiciens du solide) qui est rempli de résultats expérimentaux. Le but de la MQ n'est-t-il pas d'expliquer le réel?
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La difficulté propre à la physique (donc de la MQ) est de lié le langage mathématique au réel, cad aux résultats expérimentaux. Cela entraine des contraintes pédagogiques.

[Deedee81]

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Beaucoup croient que l'on fabrique le Tableau de Mendeleieff en remplissant les couches de l'hydrogène.

Ou plutôt des hydrogénoïdes. Pourtant, dans tous les livres que j'ai en ma possession (Feynman, par exemple), ils précisent bien que c'est une approximation et en quoi.

Et là, je ne crois pas qu'on peut accuser la mauvaise vulgarisation

Pour le reste je suis d'accord avec tes remarques, ce qu'il me manquait c'est juste des bonnes références en ligne à proposer à someone.

[invite7ce6aa19]

Ou plutôt des hydrogénoïdes. Pourtant, dans tous les livres que j'ai en ma possession (Feynman, par exemple), ils précisent bien que c'est une approximation et en quoi.

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je sais par expérience que beaucoup voient la Tableau de Mendeleiff comme remplissage de l'atome d'hydrogène?

Et là, je ne crois pas qu'on peut accuser la mauvaise vulgarisation

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Tu remarqueras que someone pose l'apprentissage de la MQ et non pas des images dites de vulgarisation. Donc je reste sur le principe d'apprentissage.

Pour le reste je suis d'accord avec tes remarques, ce qu'il me manquait c'est juste des bonnes références en ligne à proposer à someone.

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Il semble que ce soit difficile a trouver!

[Deedee81]

Tu remarqueras que someone pose l'apprentissage de la MQ et non pas des images dites de vulgarisation. Donc je reste sur le principe d'apprentissage.

Oui, oui, ce n'est pas à lui que je faisais référence mais au fait que fréquemment de mauvaises conceptions (simple constat en fréquentant les forums) étaient souvent due à la mauvaise vulgarisation. Sur le dos de laquelle on casse souvent du sucre (moi en premier) J'ai lâché ça un peu en forme de boutade

Il semble que ce soit difficile a trouver!

Je ne suis donc pas le seul à avoir fait chou blanc

Alors, pour someone : n'importe quel "bon" cours ou livre de MQ : lire au moins jusqu'au puits de potentiel (il y a quasiment toujours ça dans les bouquins de MQ). La barrière de potentiel c'est pas mal aussi (parfois c'est plus loin dans le cours, du coté de la "théorie des collisions", mais ça reste abordable avec les bases et très intéressant).

[invitea180b11d]

justement deedee81 je n'ai pas de livres detaillés sur le sujet

[inviteca4b3353]

Désolé je peux pas m'en empêcher

[]

Pourquoi", impossible à dire. C'est comme si tu demandais "pourquoi la masse est un scalaire est pas un vecteur"

Simple. Car j'éprouve la meme peine à me déplacer quelque soit la direction que je choisisse (pourvu, bien sur, qu'aucune autre force que celle générant mon déplacement ne s'applique sur moi). Ceci limite donc la "représentation" que peut prendre la masse à un simple scalaire.

"pourquoi la force de gravité est en 1/r² et pas en 1/r³".

Simple encore. Le 1/r2 provient du fait que l'espace à 3 dimensions (à "notre" échelle). La forme de la force provient de l'intégration de l'équation locale d'un champ (de gravitation ici). L'équation en question est de type Poisson, l'intégrale sur l'espace pour obtenir la force engendré par l'action de ce champ dépend donc de la dimensionnalité de ce dernier. Et on trouve 1/r2 et pas autre chose.

[/]

[Deedee81]

Salut,

Simple. Car j'éprouve la meme peine à me déplacer quelque soit la direction que je choisisse (pourvu, bien sur, qu'aucune autre force que celle générant mon déplacement ne s'applique sur moi). Ceci limite donc la "représentation" que peut prendre la masse à un simple scalaire.

Dans le sens vertical, c'est plus dur, non ? Ah non, c'est vrai, pas de force extérieure. En tout cas, pour soulever mes 90 Kg j'ai parfois bien du mal

Et sans rire : ton truc dit "pourquoi on le sait" mais pas "pourquoi c'est comme ça".

Idem pour le reste.

Peut-être qu'un jour on saura mais avec un jeu de poupées russes. Ainsi va la physique. Par exemple : avant le vingtième siècle, on savait qu'il y avait des éléments : hydrogène, carbone, gadolinium et autre tantale, oxygène soufre,... Mais pourquoi ces éléments avec ces propriétés ? Mystère, et la physique décrit, elle ne dit pas pourquoi. Maintenant, on a découvert les électrons, les protons, etc. et on sait pourqoi. Mais on peut dire "pourquoi y-a-til ces particules avec ces propriétés là"... C'est un jeu sans fin.

Enfin, bref, tu connais l'expression n'est-ce pas, "la physique ne s'occupe pas des pourquoi" même si avec l'amélioration des connaissances certains "pourquoi" deviennent des "comment"

C'est évidemment cela que je voulais faire sentir. Il va de soit que la situation pourrait changer. Mais à un certain moment on est bien obligé de dire "ben, c'est comme ça, regardez les expériences" Pourquoi les amplitudes sont-elles des nombres complexes dont le carré du module donne.... Ben, c'est comme ça (à moins qu'on aie maintenant une meilleure explication, évidemment ) Ou comme disais un humoriste connu : c'est étudié pour.

[invite3509096a]

bjr qui peut expliquer mathematiquement le sens de la fonction d'onde au carré ? Merci

[invitea180b11d]

bjr qui peut expliquer mathematiquement le sens de la fonction d'onde au carré ? Merci

bonjour lit ce topic depuis le debut

or deedee81 j'aimerais bien comprendre pourquoi on utilise des operateurs au lieu de grandeurs normales

[Deedee81]

Bonjour,

deedee81 j'aimerais bien comprendre pourquoi on utilise des operateurs au lieu de grandeurs normales

Oulàlà.... C'est compliqué et assez vaste comme question. Comment pourrais-je dire d'autre que "on a découvert que c'est ce qu'il fallait faire".

En gros (en TRES gros) : on a découvert que l'état d'un système (disons une particule) ne fixe pas avec précision la valeur des grandeurs physiques (indétermination) : position, impulsion,... Rien de magique là-dedans (les ondes n'ont plus n'ont pas de position ponctuelle).

On peut par contre avoir une base (vectorielle) correspondants à des états propres (valeur précise de ce ces quantités). Par exemple la base position ou la base impulsion.

Un état quelconque pourra alors être développé sur une telle base, la règle de Born donne alors la probabilité d'une mesure (proportionnelle au carré de l'amplitude de la composante concernée).

Et un observable (par exemple l'impulsion) sera l'opérateur qui agit sur un état et a pour spectre de valeurs propres les états propres concernés.

J'espère que c'est clair. Peut-être quelqu'un ici aura une justification différente.

[invitea180b11d]

donc si je comprends bien vous voulez dire que si la grandeur mesurée est dans un etat propre donc la valeur propre de l'operateur est bien valeur exacte de cette mesure
mais si ce n'est pas le cas donc on applique les lois de probabilités

[invite8ef897e4]

Bonjour

donc si je comprends bien vous voulez dire que si la grandeur mesurée est dans un etat propre donc la valeur propre de l'operateur est bien valeur exacte de cette mesure
mais si ce n'est pas le cas donc on applique les lois de probabilités

La mesure donne exactement une valeur propre et projette le systeme sur un vecteur propre correspondant. Les probabilites interviennent parce que l'on ne sait pas a priori laquelle des valeurs propres possibles sera obtenue.

[invitea180b11d]

ah oui je comprends maintenant mais l'etat propre est il un etat ou se trouve la particule quand elle est perturbée ou c'est sont etat avant la mesure

[Deedee81]

Bonjour,

ah oui je comprends maintenant mais l'etat propre est il un etat ou se trouve la particule quand elle est perturbée ou c'est sont etat avant la mesure

C'est une des composantes de son état avant mesure.

Prenons par exemple un système pouvant avoir deux états d'énergie précise E1 et E2. Un état quelconque |psi> peut se développer sur n'importe quelle base dont celle des états d'énergie précise :
|psi>=a|E1>+b|E2>

Si je mesure l'énergie, c'est-à-dire si j'utilise un opérateur (un observable), ayant pour état propre |E1> et |E2>, je vais mesurer, par exemple, E1 (avec une probabilité |a|² si c'est normalisé). L'état devient :
|E1>
Du moins dans l'interprétation opérationnelle/instrumentale habituelle (certaines interprétations disent qu'il n'y a pas "réduction" et que l'état de l'appareil de mesure est simplement corrélé à l'état du système).

Je n'aime pas parler de perturbations dans ce cas. J'utilise "mesure" (mesure idéale est encore une autre situation quand plusieurs observables sont impliqués). Simple question de terminologie. Pour deux raisons :
- justement parcequ'il est possible d'interpréter sans réduction, donc sans modification de l'état du "sous-sytème objet mesuré".
- Car le changement ci-dessus n'est pas compatible avec l'évolution tel que décrite par l'équation de Schrödinger.

Je préfère parler de perturbation pour un phénomène physique (perturbateur) modifiant l'état du système en suivant l'évolution de Schrödinger. d|psi>/dt = H |psi>

Une mesure imparfaite peut, bien entendu, perturber le système en plus de le réduire. Il vaut alors mieux décrire le processus de mesure en plusieurs étapes (perturbation - mesure - perturbation).

Mais, bien entendu, il faut voir dans tes cours quelle terminologie est employée. Il n'est pas rare de voir des phrases du genre "un électron est si petit et si léger que la moindre mesure le perturbe fortement". Il y a du vrai et du faux là dedans. Ca dépend de ce qu'on fait avec cet électron

[invitea180b11d]

bonjour
je voulais comprendre la notion de spin j'ai apris que c'etait la rotation de l'electron sur lui meme mais pourquoi la valeur 1/2 ?

[invite8ef897e4]

Bonjour,

je voulais comprendre la notion de spin j'ai apris que c'etait la rotation de l'electron sur lui meme mais pourquoi la valeur 1/2 ?

Comme c'est une question qui revient souvent, tu peux peut-etre deja regarder cette discussion.

[invitea180b11d]

Bonjour,
Comme c'est une question qui revient souvent, tu peux peut-etre deja regarder cette discussion.

je trouve pas ce que je cherche dans ce topic

[invite8ef897e4]

je trouve pas ce que je cherche dans ce topic

Parce que la reponse n'est pas simple et demande d'etudier la theorie des groupes. Il faut d'abord comprendre qu'une rotation d'un angle 2pi n'est pas necessairement la meme chose que pas de rotation du tout. Une rotation de 4pi en revanche est toujours equivalente a pas de rotation du tout. Il faut donc prendre le temps de comprendre ce que cela signifie pour deux roations d'etre equivalentes. Deux rotations sont equivalentes si l'on peut (en un certain sens) deformer l'une en l'autre de facon continue.

La discussion mentionnee plus haut, je crois, explique de facon pedagogique la topologie du groupe SO(3) de rotations de notre espace.