Diffusion thermique... et oeuf à la coque.

[Frink]

Bonjour à tous !
Je cherche à résoudre un problème de diffusion thermique en régime transitoire... Il s'agit d'une sphère de rayon R, initialement à la température T0, à laquelle on impose en surface la température Tc>T0. On peut voir ça comme un oeuf que l'on place dans l'eau bouillante )
L'équation de diffusion est alors (on suppose une symétrie sphérique, en coordonnées sphériques)
Avec les conditions initiales / aux limites:
T(t=0,r)=T0, T(t,R)=Tc et T(t -> infini,r)=Tc
Je suis parti sur une résolution par séparation des variables: T(t,r)=F(t)*R(r), en prenant pour R(r) une forme en cos(pi r/ 2R), ce qui donne une forme exponentielle pour F(t), mais cette forme de solution ne me permet pas de remplir toutes les conditions aux limites...
Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver une forme appropriée pour la solution ?
L'objet étant de taille finie, je vois bien un truc faisant intervenir des séries de Fourier, par analogie avec le chauffage d'une plaque d'épaisseur finie, mais bon je galère un peu quand même...
Merci d'avance !
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[LPFR]

Bonjour.
Si la forme exponentielle est de la forme

Elle remplit les deux conditions limites.
Ou quelque chose m'échappe?
Au revoir.

[mariposa]

Bonjour à tous !
Je cherche à résoudre un problème de diffusion thermique en régime transitoire... Il s'agit d'une sphère de rayon R, initialement à la température T0, à laquelle on impose en surface la température Tc>T0. On peut voir ça comme un oeuf que l'on place dans l'eau bouillante )
L'équation de diffusion est alors (on suppose une symétrie sphérique, en coordonnées sphériques)
Avec les conditions initiales / aux limites:
T(t=0,r)=T0, T(t,R)=Tc et T(t -> infini,r)=Tc
Je suis parti sur une résolution par séparation des variables: T(t,r)=F(t)*R(r), en prenant pour R(r) une forme en cos(pi r/ 2R), ce qui donne une forme exponentielle pour F(t), mais cette forme de solution ne me permet pas de remplir toutes les conditions aux limites...
Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver une forme appropriée pour la solution ?
L'objet étant de taille finie, je vois bien un truc faisant intervenir des séries de Fourier, par analogie avec le chauffage d'une plaque d'épaisseur finie, mais bon je galère un peu quand même...
Merci d'avance !

Bonjour,

je crains que si r est le rayon, ton Laplacien en coordonnées sphériques ne soit pas correcte.

[LPFR]

Oui, Mariposa a raison.
Et j'ai raconté des idioties. La dépendance dans le temps de la température quelque part doit être du genre (1 - probabilité de Fermi):
-il ne se passe rien
-la température augmente
-il se passe plus rien.
(Le tout arrondi, évidement).
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Frink]

Bonjour,
Ah oui effectivement, erreur de débutant surle Laplacien, ca commence fort
Bon, je replanche dessus avec

Par contre, je ne suis pas familier avec la notion de probabilité de Fermi dont tu parles, LPFR, peux tu m'en dire plus ?
Merci encore !

[LPFR]

Bonjour.
Non. La fonction de Fermi n'a rien à voir avec ton problème. C'est à sa forme à laquelle je me référais. Une fonction en marche d'escalier arrondie avec les deux asymptotes horizontales. La température doit varier de cette façon. Mais c'est tout. C'était pour dire que la dépendance exponentielle que j'avais donnée était idiote. Désolé de t'avoir donné des espoirs d'éviter ta belle équation diff.
Bonne intégration.
Au revoir.

[Frink]

Tant qu'il y a des equa diffs, y'a de l'espoir
Bon, ben jusqu'ici, j'ai trouve la fonction T(r,t)=F(t)*exp(r)/r , qui verifie bien l'equation, mais ne satisfait pas mes conditions aux limites (diverge en 0)...
Peut etre qu'on ne peut y arriver par separation des variables... il faudrait peut etre passer par une transformee quelconque...
Des suggestions ?

[LPFR]

Bonjour.
Oui, c'est un soupçon que j'ai depuis hier: que la séparation de variables n'est pas possible.
La raison est que le passage de la température de départ vers la température final est d'autant plus rapide que l'on est près de la surface de l'œuf. Donc la dépendance avec le temps est bien mélangée avec le rayon.
Au revoir.

[mariposa]

Tant qu'il y a des equa diffs, y'a de l'espoir
Bon, ben jusqu'ici, j'ai trouve la fonction T(r,t)=F(t)*exp(r)/r , qui verifie bien l'equation, mais ne satisfait pas mes conditions aux limites (diverge en 0)...
Peut etre qu'on ne peut y arriver par separation des variables... il faudrait peut etre passer par une transformee quelconque...
Des suggestions ?

Bonjour,

Excate. Il faut utiliser la méthode de séparations des variables. A partir de là tu auras une base de fonctions sous le forme d'un produit. Comme ton équation est linéaire la solution générale est une combinaison linéaire de ces fonctions de base. Reste après à appliquer les conditions aux limites.

Bon courage