Comment calculer une vitesse d écoulement en mécanique des fluides ?

[invite1881550f]

Salut.je suis en maths spé et en colle j ai eu un exo sur lequel j ai séché.j ai essayé de le reprendre mais je seche toujours.je trouve l énoncé confus, pouvez vous m éclairer? voici l énoncé (je note entre * les vecteurs)
Un palet sur coussin d'air est modélisé par un cylindre d'axe Oz vertical et de rayon R, qui aqpire de l'air par le haut et l'éjecte avec une vitesse *V*=Vr(r)*er*-V0*ez* par sa base inférieure située à une hauteur h au dessus du sol (origine de l'axe Oz)
On étudie l'écoulement de l'ai supposé incompressible sous le palet.Pour traduire simplement la symétrie de révolution autour de l'axe Oz, on adopte un systeme de coordonées cylindriques et l'on cherche une expression du champ des vitesses de la forme: *V*=Vr(r)*er*+Vz(r;z)*ez*
On rappelle l'expression restreinte à r de la divergence en coordonnées cylindriques:
div*V*=1/r.d(rVr)/dr+dVz/dz

Détails supplémentaires

question : en faisant le bilan de matiere a travers le cylindre d axe Oz et rayon r situé sous le palet etablir l'expresionn de Vr(r) en fonction de V0, r et h. En déduire l expression de Vz(r,z)

précisions: l air est aspiré au dessus a une vitesse V0. il faut écrire la conservation du débit volumique.
en dessous du palet il faut aussi trouver une relation entre la hauteur et le rayon
les question qui suivent sont savoir si l écoulement est tourbillonnaire. l équation des lignes de courant. le tracé d un trajectoire. puis le calcul d une accélération.
mais ca je sais parfaitement le faire si on me donne la vitesse, c est sur la premiere question que je lutte

j espere que vous serez plus inspirés que moi.

merci

PS : je connais mon cours, c'était pas mon premier exo =)
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[invitefa62562c]

Salut.je suis en maths spé et en colle j ai eu un exo sur lequel j ai séché.j ai essayé de le reprendre mais je seche toujours.je trouve l énoncé confus, pouvez vous m éclairer? voici l énoncé (je note entre * les vecteurs)
Un palet sur coussin d'air est modélisé par un cylindre d'axe Oz vertical et de rayon R, qui aqpire de l'air par le haut et l'éjecte avec une vitesse *V*=Vr(r)*er*-V0*ez* par sa base inférieure située à une hauteur h au dessus du sol (origine de l'axe Oz)
On étudie l'écoulement de l'ai supposé incompressible sous le palet.Pour traduire simplement la symétrie de révolution autour de l'axe Oz, on adopte un systeme de coordonées cylindriques et l'on cherche une expression du champ des vitesses de la forme: *V*=Vr(r)*er*+Vz(r;z)*ez*
On rappelle l'expression restreinte à r de la divergence en coordonnées cylindriques:
div*V*=1/r.d(rVr)/dr+dVz/dz

Détails supplémentaires

question : en faisant le bilan de matiere a travers le cylindre d axe Oz et rayon r situé sous le palet etablir l'expresionn de Vr(r) en fonction de V0, r et h. En déduire l expression de Vz(r,z)

précisions: l air est aspiré au dessus a une vitesse V0. il faut écrire la conservation du débit volumique.
en dessous du palet il faut aussi trouver une relation entre la hauteur et le rayon
les question qui suivent sont savoir si l écoulement est tourbillonnaire. l équation des lignes de courant. le tracé d un trajectoire. puis le calcul d une accélération.
mais ca je sais parfaitement le faire si on me donne la vitesse, c est sur la premiere question que je lutte

j espere que vous serez plus inspirés que moi.

merci

PS : je connais mon cours, c'était pas mon premier exo =)

Bonjour,
Effectivement tout cela me semble vraiment très confus. Pour faire court, si cela peut t'aider et sans chercher midi à 14 heures, pour moi la vitesse a toujours été obtenue par la relation :

V = Q/s
Mais ce serait trop simple si c'était cela que tu recherche !
Salut

[Deedee81]

Bonjour,

question : en faisant le bilan de matiere a travers le cylindre d axe Oz et rayon r situé sous le palet etablir l'expresionn de Vr(r) en fonction de V0, r et h. En déduire l expression de Vz(r,z)

C'est bizarre, ça m'a l'air évident. Ou alors je me plante complètement !

D'abord : tiens, Vr(r) ne dépend pas de z ? C'est peut-être normal mais, bon, tant mieux Ou alors ça fait partie de la confusion indiquée.

L'air est considéré comme incompressible. Il arrive verticalement avec une vitesse V0 (je suppose qu'avant de sortir il n'a pas de vitesse radiale, elle est franchement bizarre l'expression initiale, t'as raison, c'est confu). Donc, pour un rayon r, tu as un certain débit (V0.pir²). Radialement, dans le cylindre de rayon r, sachant que tout ce qui entre doit ressortir (et ça peut pas sortir vers le bas), tu as Vr(r).2pi.r.h. On égale et on en déduit Vr(r). Vz(z,r) se déduit de la même manière mais en considérant une tranche de cylindre entre z et h et en soustrayant le débit radial du débit vertical.

[invite1881550f]

ta solution m inspire. mais pour la vitesse verticale Vz on ne ferait pas mieux d utiliser le fait que le fluide est incompressible et ecrire div V =0
comme on a Vr on en déduit Vz ??

[A voir en vidéo sur Futura]