Les filtres (second ordre)

**fusionfroide** · 30/03/2008, 17h07

Salut, je suis entrain de faire l'étude d'un filtre (second ordre, passe bas). Ce qui me pose problème c'est l'expression finale de la fonction de transfère $H(jw)$ (note : $Q = \frac{Lw_0}{R}$ , $w_0 = \frac{1}{sqrt{LC}}$ )

$U_s = \frac{Z_c}{Z_r+Z_c+Z_L}U_e$

$H(jw) = \frac{Z_c}{Z_r+Z_c+Z_L}$

$H(jw) = \frac{1}{1+\frac{Z_r+Z_L}{Z_c} }$

$H(jw) = \frac{1}{1+\frac{R+jLw}{\frac{ 1}{jCw}}}$

$H(jw) = \frac{1}{1+(R+jLw)(jCw)}$

$H(jw) = \frac{1}{1+jRCw-LCw^2}$

$H(jw) = \frac{1}{1+j\frac{LRCw}{L}-LCw^2}$

$H(jw) = \frac{1}{1+j\frac{Rw}{Lw^2_0}-\frac{w^2}{w^2_0}}$

$H(jw) = \frac{1}{1+j\frac{w}{Qw_0}-\frac{w^2}{w^2_0}}$

Peut être que la calcul est bon, mais est ce que c'est la bonne expression finale ? (PS : dans l'énoncé on ne me donne pas l'expression de $H(jw)$ que je devrais trouver) merci.

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**obi76** · 30/03/2008, 17h26

Avec le schéma ça serai bien, parce que visiblement tu as des R, L et des C...

Un filtre passe bas du second ordre je peux t'en faire avec 2 Ret 2C, ou avec 2 L et 2 R...

Bref pourrais tu nous rajouter le schéma du truc stp ?

**fusionfroide** · 30/03/2008, 17h47

voila pour le filtre, mais je ne vois pas en quoi le schéma aidera. Mon problème c'est juste la manipulation et les calculs.

**fusionfroide** · 30/03/2008, 19h38

coucou ? une réponse ?

**Ledescat** · 30/03/2008, 19h48

Je suis d'accord avec ton résultat (à condition que Is soit nul).

Pour moi, il est indispensable d'avoir le schéma à l'appui...

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**rafikzeg** · 30/03/2008, 20h04

c'est un filtre dysidrateur

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**fusionfroide** · 30/03/2008, 21h31

justement pour établir le diagramme de Bode moi j'ai utilisé directement l'expression de H(jw) :

$4$Gd_b = 20log (\frac{1}{sqrt{1+(\frac{w}{Qw_ 0})^2+(\frac{w^2}{w^2_0})^2}})$ D'où : $4$Gd_b = -10log (1+(\frac{w}{Qw_0})^2+(\frac{w ^2}{w^2_0})^2)$

Puis, pour calculer les asymptotes on se met en basses fréquence où w tend vers l'infini et en hautes fréquences où w tend vers $0^+$

Le problème, c'est que quand w tend vers l'infini en basse fréquences, l'expression de Gdb reste la même, il y a rien qui se simplifié. Comment trouver l'équation de l'asymptote dans ce cas là avec $4$Gd_b = -10log (1+(\frac{w}{Qw_0})^2+(\frac{w ^2}{w^2_0})^2)$ ?

**HULK28** · 30/03/2008, 21h40

Salut,

fusionfroide tu as bien démarré ton calcul.
Reprenons lorsque tu as trouvé:

$H(jw)=\frac{1}{1+jRCw-LCw^2}$

A ce stade nous avons un système du second ordre fondamental puisque il n'y a pas de dérivée du signal d'entrée.
Ce système se traduit de l'écriture différentielle en écriture complexe par:

$a_2 \frac{d^2s}{dt^2}+a_1\frac{ds} {dt}+a_0 s=b_0 e$ => $H(jw)=\frac{b_0}{a_0+ja_1 w-a_2 w^2}$

La fonction de transfert harmonique s'écrit sous la forme générale:

$H(jw)=\frac{A}{1+2j\alpha\frac {w}{w_0}-\frac{w^2}{w_0^2}$

Avec $A=\frac{b0}{a0}$ ; $w0^2=\frac{a0}{a2}$ ; $\frac{2\alpha}{w_0}=\frac{a1}{ a_0}$

Par identifications avec l'équation que nous avons retenue en haut tu dois trouver la fonction de transfert correspondante.

**HULK28** · 30/03/2008, 21h50

En identifiant on voit que:

$\alpha=\frac{R}{2}\cdot \sqr{\frac{C}{L}$

et $w_0=\frac{1}{\sqr{L\cdot C}$

**HULK28** · 30/03/2008, 21h51

Envoyé par rafikzeg

c'est un filtre dysidrateur

Ah bon, tu sors ça d'où?

**Duke Alchemist** · 30/03/2008, 21h52

Bonsoir.

Envoyé par fusionfroide

justement pour établir le diagramme de Bode moi j'ai utilisé directement l'expression de H(jw) :

$4$Gd_b = 20log (\frac{1}{sqrt{1+(\frac{w}{Qw_ 0})^2+(\frac{w^2}{w^2_0})^2}})$ D'où : $4$Gd_b = -10log (1+(\frac{w}{Qw_0})^2+(\frac{w ^2}{w^2_0})^2)$

Puis, pour calculer les asymptotes on se met en basses fréquence où w tend vers l'infini et en hautes fréquences où w tend vers $0^+$

Le problème, c'est que quand w tend vers l'infini en basse fréquences, l'expression de Gdb reste la même, il y a rien qui se simplifié. Comment trouver l'équation de l'asymptote dans ce cas là avec $4$Gd_b = -10log (1+(\frac{w}{Qw_0})^2+(\frac{w ^2}{w^2_0})^2)$ ?

Quand w -> infini, le terme prépondérant est (w²/w₀²)² et le reste devient négligeable ainsi G_dB=-10log(w²/w₀²)² soit G_dB=-40log(w/w₀) (pente à à -40dB/div en haute fréquence pour l'asymptote)

De même, quand w -> 0, 1 devient prépondérant et G_dB -> 0

Qu'en penses-tu ?

Duke.

**fusionfroide** · 30/03/2008, 22h05

HULK, oui j'aurais pu faire ça, mais j'ai vraiment pas envie de reprendre tout les calcul si l'expression que j'ai obtenu me permit de calculer Gdb

Huke, oui je pense que tu as raison. (mais pourquoi j'ai pas pensé à ça

)

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**HULK28** · 30/03/2008, 22h11

Je n'avais pas lu ton post avec l'expression du gain, la méthode de Duke est la bonne à ce stade.

**fusionfroide** · 30/03/2008, 22h19

c'est normale qu'on trouve -40 log ?

Normalement ce filtre c'est un passe bas. avec une asymptote de -40log quand on trace la courbe, en - infini la courbe tend vers 0. normalement ça ne devrait pas être le cas puisque c'est passa bas non ?

**fusionfroide** · 30/03/2008, 22h44

ah non, j'ai fais une fausse interprétation de la courbe. Le résultat est bon.

Je doit calculer la valeur de w pour laquelle Gdb est maximum. On pourra dériver l'expression de Gdb mais combien vaut la dérivée de log ? je ne pense pas que c'est comme ln(x) en tout cas.

y a il une autre méthode pour trouver le maximum de gdb ?

**Ledescat** · 30/03/2008, 23h10

Envoyé par fusionfroide

Je doit calculer la valeur de w pour laquelle Gdb est maximum. On pourra dériver l'expression de Gdb mais combien vaut la dérivée de log ?

Oh quand même ! log(x)=ln(x)/(ln10)

Sinon, je te conseille de la jouer un peu fine...

Tu as:

$4$Gd_b = 20log (\frac{1}{sqrt{1+(\frac{w}{Qw_ 0})^2+(\frac{w^2}{w^2_0})^2}})$

Maximum si:

$\frac{1}{sqrt{1+(\frac{w}{Qw_0 })^2+(\frac{w^2}{w^2_0})^2}}$ est maximum (log croissant).

Maximum si:

$sqrt{1+(\frac{w}{Qw_0})^2+( \fr{w^2}{w^2_0})^2 }$ est minimum.

Et enfin, cette dernière expression est minimum si l'expression sans racine est minimum (la racine est croissante).

Tu as donc juste à chercher où est le minimum de:

$1+(\frac{w}{Qw_0})^2+( \fr{w^2}{w^2_0})^2$

(là tu peux dériver,tout ça..)

**Algaiir** · 31/03/2008, 00h04

Pour tracer la fonction de transfert d'un filtre simplement sur un diagramme de bode (c-à-d uniquement avec des droites), tu dois exprimer ta fonction de transfert sous la forme:
$H(j \omega ) = \frac{1}{j \frac{\omega}{\omega _0} \cdot (1+j \frac{\omega}{\omega _1}) \cdot (1+j \frac{\omega}{\omega _2})...}$
Dans ton cas, tu as un deuxième ordre:
$H(j \omega ) = \frac{1}{(1+j \frac{\omega}{\omega _1}) \cdot (1+j \frac{\omega}{\omega _2})} = \frac{1}{1+j \omega C \cdot (R+j \omega L)}$
Donc:
$\frac{1}{\omega _1} + \frac{1}{\omega _2} = RC$
$\frac{1}{\omega _1} \cdot \frac{1}{\omega _2} = LC$
Après résolution, tu obtiens explicitement les deux poles:
$\omega _{1,2} = \frac{RC \pm \sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC}$
Dont le diagramme de bode se trace comme suit:

L'axe x est l'axe des $\omega$ à l'échelle logarithmique. Tu pourras constaté que ton maximum se trouve aux basses fréquences sans avoir besoin de faire un quelconque autre calcul.

Meilleures salutations.

**fusionfroide** · 31/03/2008, 00h18

oui c'est ce que j'ai fais merci.

Note : en fait me suis trompé en écrivant le module de H(jw), ce que j'ai corrigé sur ma feuille.

Merci pour l'aide.

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**fusionfroide** · 31/03/2008, 18h57

Je me demande comment elle est la courbe de Gdb pour les valeurs de :

$4$Q$ < $4$(\frac{1}{\sqrt{2}})$

$4$Q$ = $4$(\frac{1}{\sqrt{2}})$

$4$Q$ > $4$(\frac{1}{\sqrt{2}})$

A moins que l'allure de la courbe ne dépend pas du facteur de qualité (ce qui m'étonnerais).

**Ledescat** · 31/03/2008, 19h23

Tu as fait ce que je t'ai dit là : ?

Envoyé par Ledescat

Oh quand même ! log(x)=ln(x)/(ln10)

Sinon, je te conseille de la jouer un peu fine...

Tu as:

$4$Gd_b = 20log (\frac{1}{sqrt{1+(\frac{w}{Qw_ 0})^2+(\frac{w^2}{w^2_0})^2}})$

Maximum si:

$\frac{1}{sqrt{1+(\frac{w}{Qw_0 })^2+(\frac{w^2}{w^2_0})^2}}$ est maximum (log croissant).

Maximum si:

$sqrt{1+(\frac{w}{Qw_0})^2+( \fr{w^2}{w^2_0})^2 }$ est minimum.

Et enfin, cette dernière expression est minimum si l'expression sans racine est minimum (la racine est croissante).

Tu as donc juste à chercher où est le minimum de:

$1+(\frac{w}{Qw_0})^2+( \fr{w^2}{w^2_0})^2$

(là tu peux dériver,tout ça..)

Je n'en ai pas l'impression.. Car ça te permet de comprendre d'où sort ce racine(2), et de trouver la pulsation du maximum (s'il y en a..).

**fusionfroide** · 31/03/2008, 19h40

J'ai écris précidamment que $4$Gd_b = -10log (1+(\frac{w}{Qw_0})^2+(\frac{w ^2}{w^2_0})^2)$ or c'est faux !

En fait $4$Gd_b = -10log ((1-(\frac{w^2}{w^2_0}))^2+(\frac{ w}{Qw_0})^2)$

et j'ai fait tout ce qu'il fallait pour le calcul du max

**fusionfroide** · 31/03/2008, 19h45

Le maximum je le trouve pour $w^2 = \frac{w^2_0(2Q^2-1)}{2Q^2}$

Donc ce maximum existe pour Q = 1/racine(2)

**fusionfroide** · 31/03/2008, 19h54

pardon, je voulais dire Donc ce n'existe pas maximum pour Q = 1/racine(2)

**Mrick76** · 04/11/2008, 03h38

Bonsoir je me permet de remonter le sujet car j'ai le même exercice avec une résistance en parallèle du condensateur.
Cela change t'il quelque chose lors de l'établissement de la fonction de transfert ?

car Vs est au borne du condensateur et au borne de la résistance! donc je peux très bien appliqué le diviseur de tension en ignorant la résistance mais je ne suis pas sur que ce soit possible! Pourriez vous m'éclairer sur ce sujet svp ?

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**Mrick76** · 04/11/2008, 17h54

Bon bein, j'ai négligé l'effet de la résistance !

car c'est un filtre passe bas et lorsqu'on veut obtenir l'impédance équivalente a un résistance et un condo en parallèle cela donne
Zeq= 1/r + 1/jwc

filtre passe bas donc w reste petit r=1k ohm et c = 1nF

on remarque bien que 1/r est tres petit devant 1/jcw donc je l'ai négligé..

j'ai bien fait ?

**HULK28** · 05/11/2008, 08h48

De toute manière R aura une influence sur la fonction de transfert selon le comportement des autres impédances selon w.

Et puis Zeq= 1/r + 1/jwc surement pas!

C'est soit tu écris Zeq=R/(1+jRCw)

Soit Yeq=1/R+jCw mais pas les 2 en même temps.

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