Moment d'inertie

[invite0e188b54]

Bonjour à tous et à toutes!!

Il se trouve que j'ai un exercice en mécanique où je n'arrive pas à avancer. C'est pourquoi n'importe quelle information me serait très utile de votre part...

L'énoncé est simple, il faut caculer le moment d'inertie d'une sphère homogène de rayon R de masse volumique rho par rapports à l'un de ses diamètre. Le résultat doit être donner en fonction de la masse M de la sphère.

Je bloque dès le début de l'exercice sur la formule du moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe (ici son diamètre) à savoir : intégrale(r²dM)

Merci d'avance...
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour pouvoir faire le calcul, on exprime en général l'élément de masse en fonction de la masse volumique du solide et et de l'élément de volume , sachant que . (c'est la définition de la masse volumique : le rapport de la masse d'un morceau de matière et de son volume) Dans le cas général, le solide n'est pas homogène et dépend du point considéré. Ici ça n'est pas le cas, l'intégrale se ramène à où est indépendant des variables d'intégration. Il ne reste plus qu'à choisir un système de coordonnées, à fixer les bornes des intégrales, à exprimer et... à calculer.

[invitec053041c]

Salut.

Tu utilises les coordonnées sphériques. Tu exprimes r (distance d'un point de la sphère à l'axe) en fonction de R,theta,phi. Tu sais que dm=rho dV (avec le dV des sphériques=rho².sin(theta).d(t heta).d(phi).dr
Et tu calcules..

[calculair]

Tu peux regler ce problème en 1 coup avec une double integration ou en 2 fois.

Je pense que c'est plus simple de fractionner le problème en 2

1° il faut calculer le moment d'inertie d'un disque plein

Tu le considères comme un empilement d'anneau circulaire d'epaisseur dR
chaque anneau à un moment d'inertie dI = R² dm avec dm = 2 pi R g dr
" g etant la masse volumique du corps "

tu auras I = 1/2 mR²


Ensuite tu traites la sphère comme un empilement de disque d'epaisseur dD ou D est le diametre de ta sphére.

Je n'ai pas fait le calcul mais cela ne me parait pas compliqué

J'espère que ça va aller

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On peut employer une ruse qui réduit bien les calculs.
Ce que tu cherches c'est l'intégrale de (x²+y²) dm où dm est un élément de masse autour du point de coordonnées (x;y;z).
On voit bien qu'il est malin de calculer plutôt l'intégrale de (x²+y²+z²)dm qui se calcule bien en prenant pour dm une couche sphérique entre r et r+dr, soit 4 pi r².r² dr
Ce que tu cherches c'est les 2/3 de cette intégrale. Ca se fait presque de tête.

[invite6f25a1fe]

Oui c'est ca, c'est un cas particulier où il est utile de remarquer par symétrie que la matrice d'inertie I est diagonale et dont les trois termes sont égaux au terme que tu cherches A. Comme dit plus haut, on a bien .
Il faudra juste penser à la fin à ramener l'expression en fonction de M (facile puisque le volume d'une sphere est connu)

[invite0e188b54]

Merci à tous pour ces réponses rapides!!

La réponse de calculair correspond le plus à mon cours de mécanique c'est pourquoi c'est cette méthode que je vais privilègier...

Je suis effectivement arrivé à trouver I=1/2 mR², néanmois après je ne vois pas comment procéder...


JeanPaul ta ruse parrait très interessante, cependant je ne comprend absolument pas comment tu parvient à trouver 4.pi.r².r².dr...

[calculair]

Merci à tous pour ces réponses rapides!!

La réponse de calculair correspond le plus à mon cours de mécanique c'est pourquoi c'est cette méthode que je vais privilègier...

Je suis effectivement arrivé à trouver I=1/2 mR², néanmois après je ne vois pas comment procéder...


JeanPaul ta ruse parrait très interessante, cependant je ne comprend absolument pas comment tu parvient à trouver 4.pi.r².r².dr...

felicitation pour la suite , tu fais une coupe de ta sphère de diametre AB = D
Tu considères un disque perpendiculaire au plan de coupe situé entre Aet B. La trace de cette coupe, coupe le diamètre AB en H et la trace dela sphère en C

L'angle ACB est droit
La hauteur CH est moyenne proportionnelle des segments decoupés sur l'hypoteneuse

AH x HB = HC²

AH = X
HB = D - X
HC = (X ( D-X))^1/2

Il faut faire comme pour le disque

dI = 1/2 HC² dm avec dm = pi HC²dX

Voila le problème est presque fini, il ne reste pratiquement que l'integration

[inviteaa85155c]

Tu peux aussi considérer des couches cylindriques concentriques (la hauteur de ces couches croit en allant de l'extérieur vers l'axe de la sphère)

[invite0e188b54]

Merci pour ton aide!

voila j'ai refais ce que tu as dit Calculair, je trouve exactement pareil que toi...

cependant je n'ai pas continuer, car je me demande à quoi cela pourra nous servir par la suite (je ne dois pas tout saisir dans la 2eme partie de ta démarche)!!

[calculair]

felicitation pour la suite , tu fais une coupe de ta sphère de diametre AB = D
Tu considères un disque perpendiculaire au plan de coupe situé entre Aet B. La trace de cette coupe, coupe le diamètre AB en H et la trace dela sphère en C

L'angle ACB est droit
La hauteur CH est moyenne proportionnelle des segments decoupés sur l'hypoteneuse

AH x HB = HC²

AH = X
HB = D - X
HC = (X ( D-X))^1/2

Il faut faire comme pour le disque

dI = 1/2 HC² dm avec dm = pi HC²dX

Voila le problème est presque fini, il ne reste pratiquement que l'integration

Relisant je me suis apperçu qu'il fallait preciser que la coupe doit être ausi perpendiculaire à l'axe AB

[calculair]

tu as dm = pi HC² dX = pi ( DX - X² ) dX

m = pi (DX²/2 - X³/3) à prendre entre D et 0

m = pi (D³/2 - D³/3)

m = pi D³/6


par ailleurs

dI = 1/2 pi ( X²(D-X)² ) dX

dI = 1/2 pi ( D²X² - 2DX³ + X⁴) dX

I = 1/2 pi ( D²X³/3 - 2D X⁴/4 + X⁵/5)

à prendre entre D et 0


I = 1/2 pi ( D⁵/3 - 2D⁵/4 + D⁵/5)

I = 1/2 pi ( D⁵/30 )

I = 1/2 pi D³/6 * D²/5 = m D²/ 10

Sauf erreur de ma part

[calculair]

tu as dm = pi HC² dX = pi ( DX - X² ) dX

m = pi (DX²/2 - X³/3) à prendre entre D et 0

m = pi (D³/2 - D³/3)

m = pi D³/6


par ailleurs

dI = 1/2 pi ( X²(D-X)² ) dX

dI = 1/2 pi ( D²X² - 2DX³ + X⁴) dX

I = 1/2 pi ( D²X³/3 - 2D X⁴/4 + X⁵/5)

à prendre entre D et 0


I = 1/2 pi ( D⁵/3 - 2D⁵/4 + D⁵/5)

I = 1/2 pi ( D⁵/30 )

I = 1/2 pi D³/6 * D²/5 = m D²/ 10

Sauf erreur de ma part

Attention je pense qu'il y a une erreur .............?

[calculair]

J'ai repris le calcul , je confirme le resultat

I = m D² /10 avec D diametre de la sphère pleine de masse m

[invitea3eb043e]

JeanPaul ta ruse parrait très interessante, cependant je ne comprend absolument pas comment tu parvient à trouver 4.pi.r².r².dr...

Simple : une sphère a pour surface 4 pi r² donc une couche d'épaisseur dr a pour volume 4 pi r² dr = dv et ensuite on calcule r² dv

[inviteaa85155c]

Simple : une sphère a pour surface 4 pi r² donc une couche d'épaisseur dr a pour volume 4 pi r² dr = dv et ensuite on calcule r² dv

C'est difficile de déterminer le moment d'inertie du volume dv que tu décris.
Le calcul est pour l'inertie autour d'un axe de la sphère, donc le plus judicieux est de découper en des sections parallèles à l'axe.
Ou alors découpage en rondelles comme l'a fait Calculair ca marche aussi bien (mais nécessite de connaitre le moment pour une rondelle)

[invite0e188b54]

Aaaah c'est bon je suis enfin parvenu à comprendre la démarche à suivre et à retrouver le bon résultat!!

Néanmoins je ne saisis pas une chose... pourquoi le rho disparait lorsque tu définit dm=pi HC² dX ?

Merci JeanPaul je vais maintenant essayer avec ta méthode...

[calculair]

Aaaah c'est bon je suis enfin parvenu à comprendre la démarche à suivre et à retrouver le bon résultat!!

Néanmoins je ne saisis pas une chose... pourquoi le rho disparait lorsque tu définit dm=pi HC² dX ?

Merci JeanPaul je vais maintenant essayer avec ta méthode...

J'aurais du le faire apparaitre rho en toute rigueur....

J'espere que tu as bien compris que j'ai decoupé la sphere en disque plein d'epaisseur dX de moment d'inertie dI = 1/2 R² dm. avec R = HC

[invite0e188b54]

Oui tout a fait, c'est bien cela que j'ai compris !!

Ca a mis un peu de temps mais je suis enfin parvenu à quelque chose de clair, merci à toi

[inviteaa85155c]

Merci JeanPaul je vais maintenant essayer avec ta méthode...

A priori ca marche pas : le moment d'inertie d'une bulle d'épaisseur dr n'est pas 4pi r².r² dr !

Sinon j'ai essayé par ma méthode, je confirme le résultat !

[invite0e188b54]

ok alors je m'abstiendrai de l'utiliser^^

[invitea3eb043e]

A priori ca marche pas : le moment d'inertie d'une bulle d'épaisseur dr n'est pas 4pi r².r² dr !

Sinon j'ai essayé par ma méthode, je confirme le résultat !

Il s'agit du moment d'inertie par rapport au centre (il faut multiplier par la masse volumique évidemment !) et ensuite prendre les 2/3 pour avoir le moment d'inertie par rapport à un diamètre et ça marche très bien sans avoir à se taper la trigo.

[inviteaa85155c]

Il s'agit du moment d'inertie par rapport au centre (il faut multiplier par la masse volumique évidemment !) et ensuite prendre les 2/3 pour avoir le moment d'inertie par rapport à un diamètre et ça marche très bien sans avoir à se taper la trigo.

Excellent, je ne connaissais pas ce truc !
Mais ça marche que pour les sphères le coup des 2/3 ? Tu sais le montrer ?

Sinon en intégrant sur des cylindres concentriques, il n'y a pas de trigo (mais un petit changement de variable dans l'intégrale à la place...)

[invitea3eb043e]

Oui, ça ne vaut que pour les sphères précisément parce que ça exploite la symétrie sphérique. La démonstration est élémentaire : on calcule l'intégrale de (x² + y² + z²) dm et comme c'est sphérique, l'intégrale de (x² + y²) dm vaut les 2/3 de ça parce que les intégrales de x², y² et z² sont les mêmes (because symétrie sphérique justement).