L'énergie et l'impulsion en mécanique quantique

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai récemment lu dans un ouvrage de mécanique quantique, que l'hamiltonien, c'est-à-dire l'énergie, était le générateur infinitésimal des translations dans le temps, tandis que l'impulsion était le générateur infinitésimal des translations dans l'espace.

Je vois approximativement ce que cela signifie mathématiquement, l'hamiltonien faisant intervenir une dérivée par rapport au temps, et l'impulsion des dérivées partielles par rapport aux trois coordonnées spatiales, mais y a-t-il une interprétation physique sous ces équations ?

Y a-t-il réellement des "générateurs infinitésimaux des translations dans l'espace-temps" ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[invite93279690]

Y a-t-il réellement des "générateurs infinitésimaux des translations dans l'espace-temps" ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

Est ce que tu sais déjà ce que sont des générateurs infinitésimaux d'une transformation ?

[Seirios]

Est ce que tu sais déjà ce que sont des générateurs infinitésimaux d'une transformation ?

A vrai dire je mettais sous ses mots leur simple signification en tant que mots, sans me douter qu'il s'agissait de quelque chose de technique, et de surcroît quelque chose que je ne connais absolument pas, d'après ce que j'ai pu voir sur l'article de wikipédia.

Que veut donc dire cette phrase, simplement ?

[invite69d38f86]

Bonjour,

Pour prendre un exemple simple de translation dans l'espace,
on a f(a) = f(0) + af'(0) + a^2f''(0)/2! + etc
= en 0
on génère la translation de 0 en a par le biais de l'exponentielle.
Il en est de même pour tous les autres générateurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c514936]

Pour répondre de manière plus détaillée, imagine que tu aies un système dans un état .

Si tu fais subir une translation infinitésimale au système , l'état va se transformer en un autre état , relié au premier par

que l'on peut écrire sous la forme

C'est ce qu'on appelle générateur des translations. Il se trouve que c'est l'opérateur quantité de mouvement !

[invite69d38f86]

J'ai volontairement mis l'accent sur le fait que dans les groupes de Lie on accède au choses non infinitésimales par l'exponentielle.
Si non on se demande d'ou vient l'expression générateur de translation (un translation habituelle n'est pas infinitésimale)

[invite93279690]

J'ai volontairement mis l'accent sur le fait que dans les groupes de Lie on accède au choses non infinitésimales par l'exponentielle.
Si non on se demande d'ou vient l'expression générateur de translation (un translation habituelle n'est pas infinitésimale)

Mais c'est tout à ton honneur . Sinon j'avais jamais fait gaffe mais les coefficients de structures associés à l'algèbre de Lie des translations dans l'espace sont tous nuls où y a un truc qui m'a échappé ?

[invite69d38f86]

Mais c'est tout à ton honneur . Sinon j'avais jamais fait gaffe mais les coefficients de structures associés à l'algèbre de Lie des translations dans l'espace sont tous nuls où y a un truc qui m'a échappé ?

parce que les translations commutent?

[invite93279690]

parce que les translations commutent?

Non les impulsions

[invite8c514936]

Heu... J'ai l'impression que c'est pareil, si les générateurs (impulsions) commutent, alors les transformations finies (translation) aussi, non ?

[invite9c9b9968]

Heu... J'ai l'impression que c'est pareil, si les générateurs (impulsions) commutent, alors les transformations finies (translation) aussi, non ?

Hello,

Une piécette sur ça, je suis d'accord

[Seirios]

Merci beaucoup deep_turtle pour ton explication

Par contre alovesupreme, je n'ai pas vraiment saisi ton exemple...Serait-il possible de détailler davantage ?

[invite93279690]

Heu... J'ai l'impression que c'est pareil, si les générateurs (impulsions) commutent, alors les transformations finies (translation) aussi, non ?

oui effectivement c'est pareil, je me suis mal exprimé, ce que je voulais dire c'est que les facteurs de structure (ce dont je parlais) s'obtiennent a piori à partir des impulsions et pas à partir des translations.

Du coup

parce que les translations commutent?

dans ce cas oui...

[invite69d38f86]

Si on prend une fonction d'onde f, on peut translater cette fonction d'onde en prenant pour tout x sa valeur en x+a (ou - a selon la translation voulue).
on a avec la formule de Taylorf(x+a) = f(x) + a f'(x) + a^2/2! f''(x) + a^3/3! f'''(x) + ...
pour un opérateur O on peut écrire si ça a un sens exp (O) = id + + O^2/2! + O^3/3! + ...
ici
on fait agir exp(O) sur la fonction f en x et on obtient f(x+a)
On prend alors la fonction g(x) = f(x+a)
Elle est translatée dans le sens opposé car on a une transformation "passive".
La transformation "active" est celle dans le bon sens.

[invite93279690]

Merci beaucoup deep_turtle pour ton explication

Par contre alovesupreme, je n'ai pas vraiment saisi ton exemple...Serait-il possible de détailler davantage ?

Comme l'a dit alovesupreme son exemple permet de faire le lien entre l'exemple de deep et tout opération de translation finie.
Par exemple deep t'as écrit que pour une transformation infinitésimale on a :

maintenant comment pourrait on exprimer un opérateur de translation d'une distance finie noté ?
La réponse consiste a dire que

où ne précise pas trop ce qu'est N pour l'instant mais on imagine facielment qu'il est très grand puisque est infinitésimal.
on a donc :

On a plus, parce que les opérateurs de translations ont une structure de groupe, que :

on obtient au final :
comme je l'ai souligné doit être grand et même infini pour que soit fini, on a donc en réalité :

On peut montrer que cette expression est égale à une fonction d'opérateur usuelle appelée l'exponentielle d'opérateur et on écrit donc :


C'est assez formel et je ne pense pas que tu puisses forcément tout apprehender d'un seul coup mais c'est ce qui se cache derriere le message d'alovesupreme.

EDIT : grillé par alovesupreme

[Seirios]

C'est assez formel et je ne pense pas que tu puisses forcément tout apprehender d'un seul coup

Non, mais je pense avoir compris l'essentiel.

Merci