Invariance galileene de la loi de Newton

[invitedbd9bdc3]

Bonjour,

je voudrais relancer une discution commencee avec Deedee et Gwyddon au sujet de l'invariance par transformation de Galilee de la loi de gravitation de Newton, qui est helas en train de sombrer dans les trefonds du forum.

Voila le soucis :
il est claire que l'acceleration est inchangee par transformation de Galilee et de meme pour la loi de Newton (je me cite :

La force de gravitation est toujours entre deux objets, elle depend donc de la distance entre les deux objets qui doit s'ecrire comme la différence entre deux vecteurs (leurs positions étant définit par rapport à l'origine) avec la position de l'objet i. Quand tu fais une TG tu déplaces tous les objets en même temps (dans le cas actif) et donc leurs distances ne changent pas, la force reste donc la même! ( et donc )

), meme si Gwyddon n'a pas encore repondu a ca.

Par contre, le vrai probleme entre nous se situe au niveau de l'equation de poisson (la version locale donc) : .
Apres une transformation x' = x -Vt, t'=t, et pour moi et de meme pour , ce qui donne donc que l'equation est invariante par TG, ce que conteste Gwyddon, dont un des arguments est qu'il faudrait justifier la "transformation" du potentiel.

Quelqu'un aurait une idee pour resoudre le probleme?

Merci,
-----

[invite9c9b9968]

Hello Thwarn,

Je n'ai pas encore répondu à ton argument, mais note bien que dans la discussion je l'avais moi-même soulevé

Mon problème venait de la constatation suivante : écrite comme



elle n'est pas invariante.

Mais ceci n'a en fait sans doute guère de sens, car elle suppose implicitement une référence à une masse fixe en O origine du repère.

Donc en fait comme mon argument pour l'équation de Poisson repose sur la même dialectique, l'argument tombe sans doute aussi pour l'équation de Poisson (par contre l'équation telle que tu l'as écrite n'est PAS invariante de Galilée, car tu fais une référence implicite à une origine fixe en O, que tu dois transformer aussi en changeant de référentiel)

Donc au final, il est probable que l'équation de Poisson soit aussi invariante de Galilée et je reconnais m'être trompé

Par contre, on est tous d'accord que ces équations ne sont pas Lorentz-invariantes.

[invitedbd9bdc3]

Par contre, on est tous d'accord que ces équations ne sont pas Lorentz-invariantes.

A ce niveau la, aucun probleme

Et tu as sans doutes raison pour mon equation de Poisson. Par contre, quel est donc l'argument pour dire que le potentiel est inchange (ce qui revient a dire que c'est un scalaire sous une TG, non?). Pour ca parait evident, mais quel est dans ce cas aussi la justification "propre"?

[invite9c9b9968]

J'en reviendrais au fait qu'étant un potentiel, et du fait que la masse est un scalaire de Galilée, on passe par le gradient pour relier ça à la force et donc à son invariance. Mais je me demande s'il n'y a pas plus rapide..


Des question à la con de ce type, on s'en pose tout le temps, même en M2 de physique

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd9bdc3]

J'en reviendrais au fait qu'étant un potentiel, et du fait que la masse est un scalaire de Galilée, on passe par le gradient pour relier ça à la force et donc à son invariance. Mais je me demande s'il n'y a pas plus rapide..

Pour transcrire ta phrase, tu veux dire que puisque F'=F, m'=m et d/dx'=d/dx, forcement le potentiel est le meme? (je trouvais ta phrase pas tres claire, je veux juste confimer ce que j'ai compris )
J'aurais prefere trouver un raisonement inverse (meme si on peut le montrer independement pour la force), le potentiel me paraissant plus "fondemental" (relie a l'energie tout ca)...

C'est toujours bon de retourner a la base, sa nous permet de voir si on a bien compris, ce qui est pas toujours le cas helas

[invitedbd9bdc3]

Je fais un petit up.

Per sonne n'a une idee pour justifier que le potentiel newtonien est invariant sous une transfo de galilee (en mecanique classique bien sur)?

[invitea29d1598]

Bonjour,

J'aurais prefere trouver un raisonement inverse (meme si on peut le montrer independement pour la force), le potentiel me paraissant plus "fondemental" (relie a l'energie tout ca)...

je ne vois pas trop ce que tu souhaites... le fait que le potentiel est un invariant (scalaire) est un postulat, ça ne se démontre pas. À la rigueur, si ça te fait plaisir, tu peux dire qu'il intervient directement dans le lagrangien, lequel est un scalaire donc c'en est un aussi.... mais ça démontre rien...

[invitedbd9bdc3]

le fait que le potentiel est un invariant (scalaire) est un postulat, ça ne se démontre pas. À la rigueur, si ça te fait plaisir, tu peux dire qu'il intervient directement dans le lagrangien, lequel est un scalaire donc c'en est un aussi.... mais ça démontre rien...

Après transformation de Galilée (x'=x-ut), devient . Comme on veut que le lagrangien soit invariant par rapport à une TG (principe de relativité), L=L'. On peut se débarrasser des deux derniers termes de L' en disant que et que si deux lagrangiens ne change que d'une derivé totale par rapport au temps d'une fonction f(x,t) alors ils sont équivalents.
Il reste alors à dire que et donc est invariant par TG.
Ça vous parait correcte comme justification?

mais ça démontre rien...

Mais si c'est bon, ça me va

[invite9c9b9968]

Hello Thwarn,

Ce que dit Rincevent est une formulation équivalente à ce que je disais sur l'invariance des forces (ou plus précisément l'invariance de 2nde la loi de Newton, cette invariance étant postulée par définition même)

Bon bref tout va bien, je crois maintenant

[invitedbd9bdc3]

ou plus précisément l'invariance de 2nde la loi de Newton, cette invariance étant postulée par définition même

La, je suis pas d'accord, on peut le montrer cette invariance,ce qui est postulé, c'est la forme de la force et celle de la loi, ce qui est différent! C'est pour ça que je préfère l'approche lagrangienne, on lui demande d'être invariant à lui tout seul, ce qui implique l'invariance du potentiel. (c'est du pinaillage, mais j'en suis à une telle remise en cause de ma comprehension que ça me parait necessaire )

[invite9c9b9968]

La, je suis pas d'accord, on peut le montrer cette invariance,ce qui est postulé, c'est la forme de la force et celle de la loi

Un rappel de la 2nde loi de Newton s'avère donc nécessaire

"Dans tout référentiel galiléen, la force exercée sur un corps et l'accélération qu'il possède sont reliées entre elles par la relation de proportionnalité suivante :

"


Donc dans la seconde loi de Newton, on postule bien que cette forme de la loi est la même dans TOUT référentiel galiléen. Si ça ce n'est pas un postulat d'invariance, je ne sais pas ce qu'il te faut

[invitedbd9bdc3]

Un rappel de la 2nde loi de Newton s'avère donc nécessaire

"Dans tout référentiel galiléen, la force exercée sur un corps et l'accélération qu'il possède sont reliées entre elles par la relation de proportionnalité suivante :

"


Donc dans la seconde loi de Newton, on postule bien que cette forme de la loi est la même dans TOUT référentiel galiléen. Si ça ce n'est pas un postulat d'invariance, je ne sais pas ce qu'il te faut

Difficile de nier que me suis tromper (hum...).
Pour me rattraper : je suis a la recherche ce qui est le plus fondemental (une sorte de fondement de la physique classique, l'enigme de la poule et de l'oeuf mais version Galilée ).
On s'est amusé à montrer que la force de gravitation est invariante sous une TG, avec force de calcul. On aurait mieux fait de se reporter à la 2eme loi de N, sans rien calculer? Pourtant c'est faisable...

Ce que je cherche pour resumer : une espece d'axiomatisation minimum de la physique classique.
Postule-t-on la deuxieme loi de N, puis "invente"-t-on seulement les forces qui la respecte? Vu la tournure que prend la discussion j'ai l'impression que c'est effectivement le cas.

[Deedee81]

Salut,

"

Donc dans la seconde loi de Newton, on postule bien que cette forme de la loi est la même dans TOUT référentiel galiléen. Si ça ce n'est pas un postulat d'invariance, je ne sais pas ce qu'il te faut

Ce qui est amusant c'est que si tu considères un corps seul, ce n'est pas un postulat mais une définition (des référentiels galiléens, ou tu les définis cinématiquement et la loi de Newton définit la "classe") mais dès que tu en mets deux ça devient un postulat (puisque pour le deuxième corps, les référentiels sont alors déjà définis). Il y a d'autres subtilités avec Newton, comme avec le troisième postulat.

Mais si tu travailles localement. Alors ce n'est plus un postulat non plus (pour la même raison que celle du "corps unique"). Mais la localité n'est pas capitale en physique newtonienne. Par contre elle l'est en RG. C'est pourquoi quand je présente les fondements de la RG, je dévie de l'approche historique/orthodoxe et j'essaie d'éviter les postulats newtonien en me branchant directement sur la localité. Bon, je sais, je suis parfois tordu dans mes conceptions (ça m'oblige à de sacré ronds de jambe puisque je suis obligé de le faire au niveau RR en justifiant ensuite certains postulats... par la RG, pour éviter les raisonnements circulaires, j'te dis pas). J'admet que ce n'est pas nécessairement le plus pédagogique mais ce n'est pas grave, je ne suis pas prof .

Hum.... J'ai un peu dévié cette discussion (je suis d'accord avec tes dernières remarques), mais je trouve toujours ces histoires de postulats assez sympa. J'aime bien jouer avec ça

[invite9c9b9968]

Hello Deedee,

Ta remarque est intéressante ceci dit puisque elle permet d'introduire la localité (de façon assez subtile, certes )

Pour Thwarn : une axiomatisation minimale de la mécanique classique serait je pense de passer à la formulation lagrangienne immédiatement : le seul postulat est alors de dire que la nature suit le principe de moindre action (donc plus précisément on postule le fait que l'on peut créer pour tout système et quelle que soit son interaction une quantité appelée action, invariante par changement de référentiel dit galiléen, et dont on extrait les équations du mouvement en minimisant cette action par rapport à une variation des quantités dynamiques)

[invitedbd9bdc3]

une axiomatisation minimale de la mécanique classique serait je pense de passer à la formulation lagrangienne immédiatement : le seul postulat est alors de dire que la nature suit le principe de moindre action (donc plus précisément on postule le fait que l'on peut créer pour tout système et quelle que soit son interaction une quantité appelée action, invariante par changement de référentiel dit galiléen, et dont on extrait les équations du mouvement en minimisant cette action par rapport à une variation des quantités dynamiques)

Je suis d'accord, le plus simple reste la lagrangisation ( ) de la mecanique classique. Mais par contre, je ne suis pas sur qu'il n'y ait qu'un seul postulat... Le fait de garder le lagrangien invariant par TG, c'est pas un postulat suplementaire??

[Deedee81]

(re)Salut,

le seul postulat est alors de dire que la nature suit le principe de moindre action (donc plus précisément on postule le fait que l'on peut créer pour tout système et quelle que soit son interaction une quantité appelée action, invariante par changement de référentiel dit galiléen, et dont on extrait les équations du mouvement en minimisant cette action par rapport à une variation des quantités dynamiques)

Tiens, je n'attaque jamais les choses comme ça (j'ai tendance à utiliser la formulation lagrangienne comme un simple outil, bien que puissant et révélant parfois bien des choses très profondes).

Ca me fait penser à un truc.

J'ai déjà vu un exemple simple (si je me souviens bien, avec une simple multiplication des variables) où le lagrangien n'était pas la différence de l'énergie cinétique et potentielle.

Mais je me demandais : aurais-tu un exemple "simple" de système physique (ou plutôt d'équation du mouvement) qui n'admet pas de formulation lagrangienne (en restant dans le continu et même en admettant un lagrangien ou une densité de lagrangien qui dépendrait éventuellement des dérivées supérieures) ?

C'est peut-être idiot mais dans tous les articles que j'ai lu on dit "supposons qu'il existe..." ou "démonstration dans le cas d'une formulation lagrangienne..." etc... Mais jamais de contre-exemple. Je parie que c'est tout bête et j'aimerais boucher un trou de mon gruyère physique

[BioBen]

En passant :
http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_relativity

[invitea29d1598]

Le fait de garder le lagrangien invariant par TG, c'est pas un postulat suplementaire??

si, absolument : le lagrangien doit être un scalaire pour le groupe de symétrie souhaité. C'est pour cela qu'un lagrangien newtonien doit être modifié pour être adapté à la relativité, etc...

Mais je me demandais : aurais-tu un exemple "simple" de système physique (ou plutôt d'équation du mouvement) qui n'admet pas de formulation lagrangienne (en restant dans le continu et même en admettant un lagrangien ou une densité de lagrangien qui dépendrait éventuellement des dérivées supérieures) ?

dès que tu as un système non-conservatif le formalisme lagrangien lutte un peu [et ne marche que dans des cas bien précis]... mais quand tu as un système fondamental, la conservation de l'énergie est un postulat de base, donc tu évites ce problème...

[invite9c9b9968]

Hello,

si, absolument : le lagrangien doit être un scalaire pour le groupe de symétrie souhaité. C'est pour cela qu'un lagrangien newtonien doit être modifié pour être adapté à la relativité, etc...

En fait j'aurais tendance à ne pas être tout à fait d'accord. Le postulat central (dans la formulation que j'ai donnée plus haut et dans laquelle se posait la question de Thwarn), c'est le fait que l'action est un scalaire, c'est de là que découle, pour moi, l'invariance du lagrangien, car la mesure d'intégration est aussi un scalaire ("accidentellement" presque on va dire )

Donc par exemple quand tu parles de modifier le lagrangien pour être adapté à la relativité, c'est une conséquence du fait que l'on doit modifier l'action pour être adapté à la relativité.

Qu'en penses-tu ?

[Deedee81]

dès que tu as un système non-conservatif le formalisme lagrangien lutte un peu [et ne marche que dans des cas bien précis]... mais quand tu as un système fondamental, la conservation de l'énergie est un postulat de base, donc tu évites ce problème...

Je me doutais bien que c'était du coté non conservatif que ça pouvait être "possible" (je n'ai d'ailleurs pas osé dire "auriez vous l'exemple d'un système non dissipatif tel que..."). Ok, merci de l'info.

[invitea29d1598]

Qu'en penses-tu ?

que je devrais faire attention et ne pas employer le mot lagrangien pour parler de densité lagrangienne et qu'on est d'accord sur le fond

en clair, oui, tu as raison, quand on parle de systèmes ponctuels, le plus simple c'est de dire que ce qui compte c'est l'action, la densité lagrangienne étant un concept artificiel dans ce cas

[invite9c9b9968]

que je devrais faire attention et ne pas employer le mot lagrangien pour parler de densité lagrangienne et qu'on est d'accord sur le fond

En me relisant je viens de voir que j'ai fait exactement la même confusion entre lagrangien et densité lagrangienne

Donc correction

c'est le fait que l'action est un scalaire, c'est de là que découle, pour moi, l'invariance du lagrangien, car la mesure d'intégration est aussi un scalaire

Il fallait lire "invariance de la densité lagrangienne".

[invitedbd9bdc3]

En fait j'aurais tendance à ne pas être tout à fait d'accord. Le postulat central c'est le fait que l'action est un scalaire, c'est de là que découle, pour moi, l'invariance du lagrangien, car la mesure d'intégration est aussi un scalaire ("accidentellement" presque on va dire )

Dans ce cas, tu ne fais que repousser l'axiome : tu demandes a l'action d'etre un scalaire. Donc il faut au moins deux axiomes : le principe de moindre action et l'action est invariante sous des transformations "arbitraires". Ca te parait bon?

[invite9c9b9968]

Dans ce cas, tu ne fais que repousser l'axiome : tu demandes a l'action d'etre un scalaire. Donc il faut au moins deux axiomes : le principe de moindre action et l'action est invariante sous des transformations "arbitraires". Ca te parait bon?

C'est ce que j'avais dit dans l'énoncé de mon postulat

donc plus précisément on postule le fait que l'on peut créer pour tout système et quelle que soit son interaction une quantité appelée action, invariante par changement de référentiel dit galiléen, et dont on extrait les équations du mouvement en minimisant cette action par rapport à une variation des quantités dynamiques

Donc pour rester cohérent avec moi-même, ça me paraît bon

[invitedbd9bdc3]

C'est ce que j'avais dit dans l'énoncé de mon postulat
Donc pour rester cohérent avec moi-même, ça me paraît bon

C'est parce que tu triches :

le seul postulat est alors de dire que la nature suit le principe de moindre action : on postule le fait que l'on peut créer pour tout système et quelle que soit son interaction une quantité appelée action, invariante par changement de référentiel dit galiléen, et dont on extrait les équations du mouvement en minimisant cette action par rapport à une variation des quantités dynamiques

Tu mets toutes les conditions dqns un seul postulat... et c'est pas bien
on pourrait imaginer que le principe de moindre action tienne sans que l'invariance par rapport au TG ne soit postule (ce qu'on fait quand on passe en RR ou RG)

[invite9c9b9968]

Je ne triche pas, je n'ai pas spécifié la transformée de référentiel dans mon postulat j'ai juste dit que ça devait être invariant par changement de référentiel galiléen (si ça ne te plaît pas, change galiléen en inertiel, peut-être que tu verras mieux ce que je voulais dire ), je n'ai fait que définir l'action et sa propriété essentielle

[invitedbd9bdc3]

Je ne triche pas, je n'ai pas spécifié la transformée de référentiel dans mon postulat j'ai juste dit que ça devait être invariant par changement de référentiel galiléen (si ça ne te plaît pas, change galiléen en inertiel, peut-être que tu verras mieux ce que je voulais dire ), je n'ai fait que définir l'action et sa propriété essentielle

Ok, je vois ce que tu veux dire quand tu dis qu'elle est invariante par changement de referentiel galileen, ca contourne en effet de quel relqtivite on parle
Par contre, dans ce cas, quelle est la "bonne" definition de l'action? Parce que tu donne sa propriete essentielle, comme tu dis, mais pourquoi tu n'inclu pas l'invariance par translation ou par rotation par exemple? Cela serait des postulats en plus, mais pas l'invariance par changement de referentiel?

Edit : je viens de me dire que la translation et la rotation sont surement comprises dans le changement de ref galileen...

[invite9c9b9968]

Edit : je viens de me dire que la translation et la rotation sont surement comprises dans le changement de ref galileen...

Bien vu

[invitedbd9bdc3]

Derniere petite incertitude : le fait que l'action soit invariante par changement de ref, c'est une propriete dans quel sens? On la lui impose, non? Si c'est le cas, on la postule, oui?

[invite9c9b9968]

Derniere petite incertitude : le fait que l'action soit invariante par changement de ref, c'est une propriete dans quel sens? On la lui impose, non? Si c'est le cas, on la postule, oui?

Elle est imposée (c'est pourquoi Rincevent a raison quand il dit que l'on postule la "scalarité" de la densité lagrangienne, ceci est équivalent à la "scalarité" de l'action)