Spin 1/2 sous rotation

[Thwarn]

Bonjour,

dans ma bataille pour comprendre le comportement d'un spin, je voudrais juste que quelqu'un me confirme un truc :
Je prends une fonction d'onde d'un electron dans deux espaces : spatial et spin. Je peux donc l'ecrire avec la composante spin up et spin down. Jusque la, tout est bon?
Sous une rotation R d'angle selon un axe ( on notera ), mon nouvel etat s'ecrit :

car est un scalaire, non?
Si cela est bon, je vais pouvoir essayer de m'attaquer au cas ou phi est pas un scalaire...

Merci,
-----

[Deedee81]

Bonjour,

Ta représentation est correcte mais pas générale (tu pourrais avoir variation des composantes de spin avec la position). Mais je suppose que tu le sais ?

car est un scalaire, non?

en attendant une confirmation de quelqu'un plus calé, oui. Au moins pour les spineurs écris sous cette forme.

[Thwarn]

Ta représentation est correcte mais pas générale (tu pourrais avoir variation des composantes de spin avec la position). Mais je suppose que tu le sais ?

tu veux dire de la forme ?
Qui a priori se transformerait comme : . J'ai toujours bon?

[Deedee81]

Dans ce cas plus générale le phi devient inutile.

J'ai toujours bon?

Oui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

Dans ce cas plus générale le phi devient inutile.

Pas faux

Merci!

[mariposa]

Bonjour,

dans ma bataille pour comprendre le comportement d'un spin, je voudrais juste que quelqu'un me confirme un truc :
Je prends une fonction d'onde d'un electron dans deux espaces : spatial et spin. Je peux donc l'ecrire avec la composante spin up et spin down. Jusque la, tout est bon?
Sous une rotation R d'angle selon un axe ( on notera ), mon nouvel etat s'ecrit :

.
Bonjour,

OK, ici.

car est un scalaire, non?

.
Ton expression est juste mais n'implique en aucune façon que Fi soit un scalaire de O(3). c'est à toi de préciser comment se transforme Fi dans une rotation. C'est seulement un scalaire si Fi(r) = Fi(r').
.
En toute généralité ton expression de Fi peut se décomposer sur les composantes des representations irréductibles du groupe O(3) de la même façon qu'une fonction peut se décomposer en composantes de Fourier ce qui en termes de groupes signifie une décomposition sur les representations irréductibles du groupe de translation T(3).

[Deedee81]

Ton expression est juste mais n'implique en aucune façon que Fi soit un scalaire de O(3).

Ah ! Je crois alors que j'ai compris ce que thwarn voulait dire par "autre chose qu'un scalaire". J'ai failli poser la question

Merci de ton coup de pouce,

[Thwarn]

.
Ton expression est juste mais n'implique en aucune façon que Fi soit un scalaire de O(3). c'est à toi de préciser comment se transforme Fi dans une rotation. C'est seulement un scalaire si Fi(r) = Fi(r').

Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire... j'essaie de reformuler et tu me dis si j'ai compris : en posant je n'ai en fait pas utiliser le fait que soit un scalaire, j'ai juste donne la facon generale de se transformer. Ca aurait ete le cas si j'avais ecrit .

.
En toute généralité ton expression de Fi peut se décomposer sur les composantes des representations irréductibles du groupe O(3) de la même façon qu'une fonction peut se décomposer en composantes de Fourier ce qui en termes de groupes signifie une décomposition sur les representations irréductibles du groupe de translation T(3).

Et si j'avais ecrit et
dans ce cas est un vecteur.

[Deedee81]

Non, non, faut bien le R^-1 !
(je n'avais pas vu mais Fi(r)=Fi(r') est évidemment abusif, faut le R^-1)

dans ce cas est un vecteur.

En fait, mariposa ne disait pas autre chose (en ajoutant le R^-1 quand même). Le fait que phi lui-même se transforme ou pas avec R implique qu'il est scalaire ou vectoriel, c'est tout (et le fait que l'on utilise un vecteur ou un scalaire doit forcément venir du contexte, ce n'est pas en regardant l'expression de départ qu'on peut deviner )

Tu peux même laisser le R pour un scalaire, il est invariant sous R

[Thwarn]

Tu peux même laisser le R pour un scalaire, il est invariant sous R

Ne faudrait-il pas plutot dire que dans le cas ou Phi est scalaire, la representation de R D(R) vaut 1 et que dans le cas ou phi est un vecteur D(R)=R?
Je sais que je pinaille, mais comme je suis en plein travail de comprehension de ce genre de truc (cf le topic sur Weinberg), je prefere etre precis pour voir si je pige tous les details.

[Deedee81]

Salut,

Ne faudrait-il pas plutot dire que dans le cas ou Phi est scalaire, la representation de R D(R) vaut 1 et que dans le cas ou phi est un vecteur D(R)=R?
Je sais que je pinaille,

Ce n'est pas du pinaillage Tu as raison, c'est plus précis.

mais comme je suis en plein travail de comprehension de ce genre de truc (cf le topic sur Weinberg), je prefere etre precis pour voir si je pige tous les details.

Je m'en doute. Quand j'ai abordé la problématique des champs en interaction, je suis resté coincé sur quelques pages pendant plusieurs jours car je n'arrivais pas à mettre ensemble (dans ma tête) toutes les notations que je venais d'avaler. Donc, tes précautions sont de bon aloi

[gatsu]

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Ton expression est juste mais n'implique en aucune façon que Fi soit un scalaire de O(3). c'est à toi de préciser comment se transforme Fi dans une rotation. C'est seulement un scalaire si Fi(r) = Fi(r').
.
En toute généralité ton expression de Fi peut se décomposer sur les composantes des representations irréductibles du groupe O(3) de la même façon qu'une fonction peut se décomposer en composantes de Fourier ce qui en termes de groupes signifie une décomposition sur les representations irréductibles du groupe de translation T(3).

En parlant de scalaire, on avait déjà eu une petite discussion avec Karibou-Blanc sur un sujet similaire ici.
Comme ce fil n'a plus été touché depuis quelques temps je suis resté sur ma fin sur la question de la "bonne" terminologie à adopter .

[mariposa]

Ne faudrait-il pas plutot dire que dans le cas ou Phi est scalaire, la representation de R D(R) vaut 1

.
Bonjour,
.
Oui.

et que dans le cas ou phi est un vecteur D(R)=R?

.
Quand tu écris D(R) = R le vecteur en question est aussi bien un vecteur de R3 de composantes (x,y,z) qu'une classe de vecteurs de l'espace de Hilbert (dans le contexte de la MQ) qui engendre la matrice D(R) de dimension 3. Pour la bonne compréhension comme il s'agit de la representation irréductible L=1 de O(3) il serait bon de noter cette matrice:

D1(R) = R

En effet comme tu le sais il existe des representations de dimensions supérieures L= 0, 1, 2, 3,...
;
tu remarqueras que D0(R) = 1

Je sais que je pinaille, mais comme je suis en plein travail de comprehension de ce genre de truc (cf le topic sur Weinberg), je prefere etre precis pour voir si je pige tous les details.

;
.
Tu as raison, le "pinaillage" est fortement recommandé pour comprendre la théorie des groupes.

[Thwarn]

.
Quand tu écris D(R) = R le vecteur en question est aussi bien un vecteur de R3 de composantes (x,y,z) qu'une classe de vecteurs de l'espace de Hilbert (dans le contexte de la MQ) qui engendre la matrice D(R) de dimension 3. Pour la bonne compréhension comme il s'agit de la representation irréductible L=1 de O(3) il serait bon de noter cette matrice:

D1(R) = R

En effet comme tu le sais il existe des représentations de dimensions supérieures L= 0, 1, 2, 3,...

Ma compréhension des groupe de Lie s'arrete pour l'instant par là... car d'apres ce que j'ai pigé, avec J les générateur des rotations .
Et , L étant les matrices moment cinétique pour un spin 1. Qui ne sont pas les même que les matrice J, et c'est ici que la connections ne se fait pas encore.

[Karibou Blanc]

il faut que tu comprennes d'abord ce qu'est une représentation. La définition usuelle est qu'une représentation est une réalisation sur un espace vectoriel de l'action du groupe. En d'autres termes c'est une application (le terme anglais de mapping est plus parlant) du groupe sur un espace vectoriel. Les générateurs du groupe sont alors représentés (dans une représentation donnée) par un ensemble de matrices dont les produits matriciels (qui représentent les produits des éléments du groupe) respectent la structure du groupe. Comme il est possible de "mapper" l'action du groupe sur différents espace-vectoriels (de dimensions différentes notamment), il existe plusieurs représentations différentes du meme groupe. Pour chaque représentation, les générateurs auront des représentants (des matrices) différentes !

[Thwarn]

il faut que tu comprennes d'abord ce qu'est une représentation. La définition usuelle est qu'une représentation est une réalisation sur un espace vectoriel de l'action du groupe. En d'autres termes c'est une application (le terme anglais de mapping est plus parlant) du groupe sur un espace vectoriel. Les générateurs du groupe sont alors représentés (dans une représentation donnée) par un ensemble de matrices dont les produits matriciels (qui représentent les produits des éléments du groupe) respectent la structure du groupe. Comme il est possible de "mapper" l'action du groupe sur différents espace-vectoriels (de dimensions différentes notamment), il existe plusieurs représentations différentes du meme groupe. Pour chaque représentation, les générateurs auront des représentants (des matrices) différentes !

Oui oui, ca j'ai pige l'idee.
Ce qui me pose probleme, c'est par exemple le truc dont je parle : on dit D1(R) = R, mais on a clairement pas les generateurs R egaux a ceux de D1(R)...

[mariposa]

Ma compréhension des groupe de Lie s'arrete pour l'instant par là... car d'apres ce que j'ai pigé, avec J les générateur des rotations .
Et , L étant les matrices moment cinétique pour un spin 1. Qui ne sont pas les même que les matrice J, et c'est ici que la connections ne se fait pas encore.

.
Que ce soit noté L, S, J du point de vue théorie des groupes c'est la même chose ce sont trois mêmes notations pour les générateurs du groupe SO(3) ou mieux de SU(2).
;
Du point de vue "physique' on utilise L pour le moment cinétique, S pour le spin et J pour le moment total (spin + orbite).
.
Quand on ne fait référence à aucune physique on utilise plutôt la notation J.

[Thwarn]

.
Que ce soit noté L, S, J du point de vue théorie des groupes c'est la même chose ce sont trois mêmes notations pour les générateurs du groupe SO(3) ou mieux de SU(2).
;
Du point de vue "physique' on utilise L pour le moment cinétique, S pour le spin et J pour le moment total (spin + orbite).
.
Quand on ne fait référence à aucune physique on utilise plutôt la notation J.

Mon probleme n'est pas une histoire de notation
Quand j'ecrit , les J sont les générateur des rotations .
Quand j'ecrit , les L (que je peux ecrire J, mais ca ne changera rien...) sont les matrices moment cinetique pour un spin 1 (par exemple, ) qui ne sont clairement pas egale aux J, pourtant on a bien ecrit D1(R)=R...

[Karibou Blanc]

D1(R)=R...

je ne comprends pas bien ce que tu entends par cette égalité, en écrivant le meme R. Le R dans D1(R) est un élément du groupe des rotations, D1(R) est un représentant de cet élément dans la représentation D1, D1(R) est donc une matrice associée à un espace vectoriel ! C'est totalement différent !

Quant tu écris qu'un élément du groupe s'écrit en terme de générateur comme : les J n'ont pas d'expression matricielle propre, ce sont simplement des générateurs satisfaisant . Ils sont représentés par une matrice dans une réprésentation donnée. Les matrices que tu donnes pour les générateurs en écrivant : correspondent à une représentation précise (qu'on appelle l'adjointe) et qui n'a rien à voir avec la représentation D1, donc c'est normal de ne pas trouver les matrices pour les générateurs, puisque ce sont deux représentations différentes.

[gatsu]

Mon probleme n'est pas une histoire de notation
Quand j'ecrit , les J sont les générateur des rotations .

Ben oui mais ça c'est faux non ? Si j'ai bien compris le truc des groupes de Lie (et rien n'est moins sûr) l'idée est que tant qu'on n'a pas spécifié la représentation (linéaire) du groupe (i.e. l'espace d'application plus l'ensemble des éléments du groupe ou un truc comme ça) on ne peut pas expliciter ses générateurs. Par contre ces générateurs appartiennent toujours à la même classe d'Algèbres de Lie i.e. celles qui ont les mêmes coefficients de structure pour une opération "crochet" donnée (souvent le commutateur des matrices en représentation linéaire).

[mariposa]

Mon probleme n'est pas une histoire de notation

.
OK

Quand j'ecrit , les J sont les générateur des rotations .
Quand j'ecrit , les L (que je peux ecrire J, mais ca ne changera rien...) sont les matrices moment cinetique pour un spin 1 (par exemple, ) qui ne sont clairement pas egale aux J, pourtant on a bien ecrit D1(R)=R...

Ta forme de Lz n'est pas correcte. Il est évident que si tu fait une rotation autour de l'axe z la composante du vecteur selon l'axe z reste invariante donc tu dois avoir un 1 sur la diagonale en position 3. par contre tu dois avoir des élements de matrices non diagonaux dans le sous bloc de dimension 2 corrspondant à l'espace (x,y).
.
J'ai l'impression que tu confonds l'expression de la representation du générateur Lz dans la base (x,y,z) et les valeurs propres de Lz dans la base de ses vecteurs propres pour J=1.

[Thwarn]

.
Ta forme de Lz n'est pas correcte. Il est évident que si tu fait une rotation autour de l'axe z la composante du vecteur selon l'axe z reste invariante donc tu dois avoir un 1 sur la diagonale en position 3. par contre tu dois avoir des élements de matrices non diagonaux dans le sous bloc de dimension 2 corrspondant à l'espace (x,y).
.
J'ai l'impression que tu confonds l'expression de la representation du générateur Lz dans la base (x,y,z) et les valeurs propres de Lz dans la base de ses vecteurs propres pour J=1.

C'est fort probable (et meme sur )
C'est surement le fais que j'arrive pas a connecte le rapport entre spin1 et vecteur... Je pense deviner ce qu'est sense dire ta derniere phrase, mais j'avoue que c'est tres tres flou.

[mariposa]

C'est fort probable (et meme sur )
C'est surement le fais que j'arrive pas a connecte le rapport entre spin1 et vecteur... Je pense deviner ce qu'est sense dire ta derniere phrase, mais j'avoue que c'est tres tres flou.

.
Je résume la philosophie du problème.
.
Quand tu calcules dans une base cartésienne (x,y,z) l'effet d'une rotation selon les 3 axes du trouves 3 matrices 3.3 qui ne sont pas diagonales.
.
De là tu peux définir les 3 générateurs Jx,Jy,Jz qui sont a un facteur i près 3 matrices qui representent des variation infinitésimales angulaires au voisinage de la transformation identité (toujours dans la base (x,y,z). Pour les mêmes raisons que précedemment ces 3 genérateurs ne sont pas diagonaux et en plus ils ne commutent pas entre eux. les relations entre ces 3 générateurs définissent l'algébre de Lie du groupe. et joue le rôle de la table de multiplication des groupes discrets.
.
Maintenant il est possible de faire n'importe quel changement de base pour representer ces 3 générateurs: La base (x,y,z) devient (x',y',z').
.
Comme les générateurs ne commutent pas on peut en diagonaliser 1 seul à la fois, cad trouver le bon changement de base. L'usage est de diagonaliser Lz.
.
Si tu prends comme nouvelle base { a|x+i.y>, a|x-i.y>, |z> } (a vaut 1/racine de 2) tu pourras a partir de la representation de Lz dans la base (x,y,z) trouver la representation de Lz diagonale qui t'est familière. Je t'invites a faire ce petit calcul. Ceci devrait résoudre ton problème.

[Karibou Blanc]

Je t'invites a faire ce petit calcul. Ceci devrait résoudre ton problème.

Je pense sincèrement que son problème est lié à la compréhension de l'existence de différentes représentations (ie de différents espace vectoriels) et pas au fait qu'il existe plusieurs bases pour écrire les matrices d'une meme représentation.

[Thwarn]

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Je résume la philosophie du problème.
.
Quand tu calcules dans une base cartésienne (x,y,z) l'effet d'une rotation selon les 3 axes du trouves 3 matrices 3.3 qui ne sont pas diagonales.
.
De là tu peux définir les 3 générateurs Jx,Jy,Jz qui sont a un facteur i près 3 matrices qui representent des variation infinitésimales angulaires au voisinage de la transformation identité (toujours dans la base (x,y,z). Pour les mêmes raisons que précedemment ces 3 genérateurs ne sont pas diagonaux et en plus ils ne commutent pas entre eux. les relations entre ces 3 générateurs définissent l'algébre de Lie du groupe. et joue le rôle de la table de multiplication des groupes discrets.
.
Maintenant il est possible de faire n'importe quel changement de base pour representer ces 3 générateurs: La base (x,y,z) devient (x',y',z').
.
Comme les générateurs ne commutent pas on peut en diagonaliser 1 seul à la fois, cad trouver le bon changement de base. L'usage est de diagonaliser Lz.
.
Si tu prends comme nouvelle base { a|x+i.y>, a|x-i.y>, |z> } (a vaut 1/racine de 2) tu pourras a partir de la representation de Lz dans la base (x,y,z) trouver la representation de Lz diagonale qui t'est familière. Je t'invites a faire ce petit calcul. Ceci devrait résoudre ton problème.

haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa! !!!!!! Je commence a comprendre!!!!
Merci, c'était l'explication qu'il me fallait
Je vais enfin pouvoir dormir la nuit, ou du moins avoir des insomnies avec un autre problème

Je digére ça et je reviens

[mariposa]

haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa! !!!!!! Je commence a comprendre!!!!
Merci, c'était l'explication qu'il me fallait
Je vais enfin pouvoir dormir la nuit, ou du moins avoir des insomnies avec un autre problème

Je digére ça et je reviens

Au plaisir de te lire.

[Thwarn]

Voila, ca a tourne un peu pendant la nuit, donc je livre mes impressions

La nouvelle base (celle ou Jz est digonal) ressemble beaucoup beaucoup a celle d'une polarisation circulaire, et je crois savoir que ce n'est pas pour rien...
On peut donc reprensenter tout vecteur dans la base cartesienne (comme on en a l'habitude) ou dans la base ou Jz est diagonale. Et c'est pour ca qu'un champ vectoriel est un champ de spin 1!!!
Je pense que j'arrivais pas a faire la connection parcequ'il ne me venait pas a l'idee d'utiliser une base complexe pour representer des quantites habituellement reel (en tout cas quand on parle de vitesse ou d'impulsion).

Merci a tous!

[Thwarn]

Bon, maintenant viens le problème du rapport entre SU(2) et SO(3)

On commence par choisir un groupe, par exemple SU(2). Il est définit par son algèbre de Lie (et sa topologie).
On peut ensuite définir les représentations irréductibles (RI) qui permettront de construire les autres :
RI de dimension 1 (spin 0), tous les éléments du groupe sont représentés par 1
RI de dimension 2 (spin 1/2, spineur, représentation fondamentale de SU(2))
RI de dimension 3 (spin 1), etc...

Dans un des cours que je lis ils disent :

"seules les représentations de SU(2) de spin entier sont des représentations de SO(3). Par construction, les forment l’ensemble complet de toutes les représentations unitaires irréductibles inéquivalentes de dimension finie de SO(3)."

Est-ce que cela signifie qu'il n'y a pas de représentation en dimension 2 de SO(3)? ou seulement pas unitaire-et-irréductible?
Est-ce que l'on peut quand même garder l'interprétation (de SO(3)) pour la représentation j=1/2 de SU(2), à savoir "une représentation (pour des objets de dimension 2) des rotations dans un espace euclidien de dimension 3" ? Je dirais à priori oui (c'est ce qu'on dit pour l'électron, non?), mais je préfère être sûr...

Dans le cas où j=1, la représentation de SO(3) et celle de SU(2) sont identiques. L'interprétation pour SO(3) est qu'on modélise par ces matrices la rotation (dans l'espace euclidien de dimension 3) de vecteur (objet de dimension 3). Est-ce exactement la même interprétation pour SU(2)? Si ce n'est pas le cas, quelle est-elle?

Merci encore

[mariposa]

Bon, maintenant viens le problème du rapport entre SU(2) et SO(3)

On commence par choisir un groupe, par exemple SU(2). Il est définit par son algèbre de Lie (et sa topologie).
On peut ensuite définir les représentations irréductibles (RI) qui permettront de construire les autres :
RI de dimension 1 (spin 0), tous les éléments du groupe sont représentés par 1
RI de dimension 2 (spin 1/2, spineur, représentation fondamentale de SU(2))
RI de dimension 3 (spin 1), etc...

.
Bonjour,

OK

Dans un des cours que je lis ils disent :

Il faut préciser dans cette phrase qu'il n'y a pas de representations irréductibles de dimension 2 (paires en générales) de SO(3)

Est-ce que cela signifie qu'il n'y a pas de représentation en dimension 2 de SO(3)? ou seulement pas unitaire-et-irréductible?

.
SO(3) possèdent des representations de dimension 2 mais réductibles. exemple trivial: soit un jeu {D} de matrice unité de dimension 2. Cette representation se décompose en 2 representations irréductibles de dimension 1 càd:


D = L= 0 + L=0
.
Remarque: à partir de cette representions réductible 2*2 tu peux engendrer un jeu infini de representions équivalentes (par un changement de base quelconque).

Est-ce que l'on peut quand même garder l'interprétation (de SO(3)) pour la représentation j=1/2 de SU(2), à savoir "une représentation (pour des objets de dimension 2) des rotations dans un espace euclidien de dimension 3" ? Je dirais à priori oui (c'est ce qu'on dit pour l'électron, non?), mais je préfère être sûr...

;
Je ne suis pas sur de bien comprendre ta phrase. Voici que je tente:
.
En raison de l'homomorphisme de groupe le groupe SU(2) peut être représenté par le groupe SO(3) et pas le contraire.

Cela veut dire que le jeu de matrices J=3 de dimension 8 peut representer les groupes SO(3) aussi bien que SU(2).

Dans le cas où j=1, la représentation de SO(3) et celle de SU(2) sont identiques. L'interprétation pour SO(3) est qu'on modélise par ces matrices la rotation (dans l'espace euclidien de dimension 3) de vecteur (objet de dimension 3). Est-ce exactement la même interprétation pour SU(2)? Si ce n'est pas le cas, quelle est-elle?

Merci encore

Oui cela découle de la construction de la relation entre SO(3) et SU(2).
.
A une rotation de SO(3) representée par un vecteur de R3 (x,y,z) tu peux associer une matrice 2*2 de trace nulle dont les éléments de matrices sont:

1-1: z
2-2: -z
1-2: x-i.y
2-1: x+i.y

[Thwarn]

Je ne suis pas sur de bien comprendre ta phrase. Voici que je tente:
.
En raison de l'homomorphisme de groupe le groupe SU(2) peut être représenté par le groupe SO(3) et pas le contraire.

Pour preciser ce que je voulais dire : pour SO(3) les representation j=0 et j=1, correspondent a des objet de dimension respcetive 1 et 3 qui, sous l'effet des matrices dans ces representations, pour l'un ne se transforme pas (scalaire) pour l'autre se transforme comme un vecteur usuel.
On interprete SO(3) comme le groupe des rotations dans un espace euclidien a 3D.
Ma question est donc : est-ce que dans le cas j=1/2 de SU(2) on peut garder cette interpretation : "La representation irreductible j=1/2 de SU(2) est une representation dans un espace a 2D d'une rotation dans l'espace euclidien 3D"?

Cela veut dire que le jeu de matrices J=3 de dimension 8 peut representer les groupes SO(3) aussi bien que SU(2).

pour j=3, la dimension est 7, non?