Cône de lumière et coordonnées hybrides

[invitef92fe4fd]

Salut à tous !

Je m'intéresse "en amateur" aux théories de la relativité grâce à une série télé depuis peu, et mal grès de nombreuses recherches sur le sujet, certains points restent un peu flous.

Je serai ravi d'avoir 2-3 petits éclaircissements...(ou quel'on me corrige si je dis des âneries)

Premier point : les coordonnées d'Eddington-Finkelstein

J'ai compris qu'elles étaient utilisées notamment pour définir les évènements au franchissement de l'horizon des évènements d'un trou noir, et qu'elles se notaient (V,R). Je n'ai malheureusement pas réussi à trouver à quoi V et R correspondent, ni par quel moyen transformer ces coordonnées en coordonnées spaciales et temporelles classiques, donc je serai ravi si quelqu'un pouvait m'éclairer

Second point : les cônes de lumière.

Je n'ai trouvé de représentation de ces cônes que dans un repère classique.
Si on voulait représenter ce cône dans un système de coordonnées d'Eddington-Finkelstein, obtiendrait on également la représentation graphique d'un cône ?

Est il correct ou non de dire que la distance spacio-temporelle de Minkowski est une invariance de Lorentz ?

Enfin, question qui va peut être vous sembler obscure ou drôle :

"R = 2m", en rapport avec cette représentation graphique d'un cône dans un repère d'axe V et R, ça vous inspire quoi ?

Merci beaucoup d'avance à ceux qui prendront 5 minutes pour me répondre !
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[Rincevent]

salut,

Premier point : les coordonnées d'Eddington-Finkelstein

tu as tous les détails ici (en anglais, mais les équations se comprennent ):

wiki anglophone

Second point : les cônes de lumière.

Je n'ai trouvé de représentation de ces cônes que dans un repère classique.
Si on voulait représenter ce cône dans un système de coordonnées d'Eddington-Finkelstein, obtiendrait on également la représentation graphique d'un cône ?

regarde ici (et autour) pour des dessins...

Est il correct ou non de dire que la distance spacio-temporelle de Minkowski est une invariance de Lorentz ?

on dit plutôt "un invariant de Lorentz" (ou encore "un scalaire pour le groupe de Lorentz")

Enfin, question qui va peut être vous sembler obscure ou drôle :

"R = 2m", en rapport avec cette représentation graphique d'un cône dans un repère d'axe V et R, ça vous inspire quoi ?

tu as raison, c'est obscure

[invitef92fe4fd]

Merci, j'y vois déjà un tout petit peu plus clair, mais j'ai peur qu'il me manque trop de bases, et d'être totalement à côté de la plaque...

Bref :

(V,R) représentent les coordonnées d'E-F entrantes, et (U,R) sortantes ?

V = t + r*, ce qui en passant par l'expression de la métrique de Schwartzschild, nous donne :

ds^2 = - (1- 2Gm/r)dv^2 +2dvdr + r^2*dΩ^2

de laquelle on déduit donc V...j'ai bon ?

Attention florilège de questions potentiellement très idiotes :

R ou r est bien le rayon de l'objet étudié ?
Quelle appellation a V ? quelle est son unité ?
ds^2 est elle la distance spacio-temporelle de Minkowski ?


Pour ce qui concerne la représentation graphique du cône de lumière selon les coordonnées d'E-F, désolé, je n'ai pas vraiment compris et je ne sais pas si j'ai étais très clair dans ma question que je vais donc reformuler :

J'ai vu des représentations de ces cônes de lumière dans des repères avec le temps en ordonnées et l'espace en abscisse.

Dans un repère avec V en ordonnée et R en abscisse (vu dans la fameuse série télé ^^), la représentation graphique représente aussi un double cône de lumière...

Je voudrais d'abord savoir si cette représentation est "cohérente" ou si il peut s'agir d'une erreur...

L'impression que j'ai à ma tentative de décryptage des liens donnés est que les deux cônes seraient encore représentés mais légèrement déformés, "courbés" dans ce repère, V étant fonction de t et R représentant une distance...c'est bien ça ? ^^


Elle concerne ceci :

D'une part le schéma de ce cône de lumière dans un repère R,V, avec l'inscription R = 2m ou R = Zm inscrite sous le cône.

L'inscription : "utiliser les coordonnées d'eddington finkelstein enlève la singularité à R = 2m (ou Zm). Lorsque R décroît, les cônes de lumière s'inversent"

et enfin le schéma suivant :

un repère classique (x,y) avec 1 en valeur max en abscisse et en ordonnées
une droite (L) partant de l'origine, et une droite (c) partant de l'origine avec une pente inférieure à (L)

une droite (I) de pente infinie à X=0.6 environ, annotée de deux flèches semblant signifier qu'elle se déplace vers l'origine.


En gros, j'essaie de connaitre les implications physiques de ces inscriptions, et surtout de démêler la part des erreurs, de la SF éventuelle...

Alors, please je deviens fou là ^^

[Rincevent]

(V,R) représentent les coordonnées d'E-F entrantes, et (U,R) sortantes ?

euh, oui, tout dépend des notations

V = t + r*, ce qui en passant par l'expression de la métrique de Schwartzschild, nous donne :

ds^2 = - (1- 2Gm/r)dv^2 +2dvdr + r^2*dΩ^2

de laquelle on déduit donc V...j'ai bon ?

ça veut dire quoi "on déduit V" ? V est défini par V=t+r* où r* a été défini plus tôt ("coordonnée de la tortue"). Donc pas besoin de passer par la métrique pour le connaître.

Attention florilège de questions potentiellement très idiotes :

je m'accroche à mon siège

R ou r est bien le rayon de l'objet étudié ?

euh, c'est quoi R et r ? moi, je vois le même r dans la métrique de S et dans celle que tu cites juste au-dessus dans ce message auquel je réponds... le rayon de l'objet source du champ n'apparaît pas dans la métrique. Le seul truc qui compte, c'est sa masse M. Simplement, si (en unités où G=c=1), alors l'objet est un trou noir et R=2M définit la surface où se trouve l'horizon des évènements

Quelle appellation a V ?

ils te le disent dans le wiki : ingoing null coordinate (coordonnée nulle entrante) [quel est ton obstacle principal : les maths ou l'anglais ?]

quelle est son unité ?

au choix, soit une longueur, soit un temps (c est prise égale à 1 dans le wiki et dans l'écriture que tu donnes de la métrique d'EF). C'est un peu comme les temps "retardé" et "avancé" qu'on introduit parfois en électromagnétisme : . A part que pour définir U et V, comme on a c=1, on peut très bien se dire qu'on a en fait , ce qui est équivalent.

concrètement, V est d'une certaine façon le "temps le long de la trajectoire radiale suivie par une particule qui tombe vers le centre à la vitesse de la lumière" [il faut absolument des guillemets autour de tout ça car nul observateur ne peut avoir un tel mouvement et du coup la notion de "temps" le long d'une telle trajectoire n'a pas de sens]. Pour mieux voir ce que ça donne, essaie de réécrire la métrique de Minkowski en introduisant une coordonnée V=t-r et regarde comment elle varie le long d'un cône de lumière de l'espace-temps plat (même jeu ensuite avec U).

ds^2 est elle la distance spacio-temporelle de Minkowski ?

c'est bien une distance spacio-temporelle, mais pas celle de Minkowski : c'est celle qui lui est équivalente dans un espace-temps courbe.

regarde le début de ce dossier si tu veux des détails...

ou bien essaie d'écrire l'élément de longueur infinitésimale pour un déplacement à la surface d'une sphère (en coordonnées sphériques) et compare-le avec celui associé aux coordonnées polaires du plan. La différence entre la métrique de Minkowski et celle de Schwarzschild est grossièrement du même ordre [l'un est un déplacement le long d'un espace plat, l'autre le long d'un espace courbe].

L'impression que j'ai à ma tentative de décryptage des liens donnés est que les deux cônes seraient encore représentés mais légèrement déformés, "courbés" dans ce repère, V étant fonction de t et R représentant une distance...c'est bien ça ? ^^

pour ce qui est du fait que les cônes sont "courbés", c'est bien ça : tu peux voir leur allure en regardant par exemple la figure suivante :


on y voit qu'une fois passé l'horizon, impossible de s'en éloigner

D'une part le schéma de ce cône de lumière dans un repère R,V, avec l'inscription R = 2m ou R = Zm inscrite sous le cône.

L'inscription : "utiliser les coordonnées d'eddington finkelstein enlève la singularité à R = 2m (ou Zm).

jusqu'ici, tout va bien

Lorsque R décroît, les cônes de lumière s'inversent"

"s'inversent" peut vouloir dire tout et n'importe quoi

ce à quoi cela me fait penser : si tu regardes la métrique de S en coordonnées usuelles, tu vois que lorsque r<2M [à l'intérieur de l'horizon donc], les signes devant les facteurs dr^2 et dt^2 s'inversent [celui qui était positif devient négatif]. Graphiquement, on a donc des cônes qui se penchent très beaucoup jusqu'à s'inverser... ce que cela signifie physiquement, c'est juste que ces coordonnées ne peut pas être utiliser pour décrire tout l'espace-temps (extérieur de l'horizon et intérieur).

et enfin le schéma suivant :

un repère classique (x,y) avec 1 en valeur max en abscisse et en ordonnées
une droite (L) partant de l'origine, et une droite (c) partant de l'origine avec une pente inférieure à (L)

une droite (I) de pente infinie à X=0.6 environ, annotée de deux flèches semblant signifier qu'elle se déplace vers l'origine.

euh, là je vois pas trop.... tu as du texte autour ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef92fe4fd]

Yep ! Alors pour commencer, 2 choses :

- Merci d'avoir pris le temps de faire une réponse encore aussi longue et exhaustive.

- Ensuite, désolé, de ne pas tout saisir, car je n'ai qu'un médiocre niveau de DEUG MIAS, embrûmé dans mon cerveau depuis 10 ans, et que je n'avais jamais touché à la relativité avant quelques semaines. doc merci encore de prendre la pein de m'expliquer.


Pour le reste :

euh, c'est quoi R et r ? moi, je vois le même r dans la métrique de S et dans celle que tu cites juste au-dessus dans ce message auquel je réponds... le rayon de l'objet source du champ n'apparaît pas dans la métrique. Le seul truc qui compte, c'est sa masse M. Simplement, si R =<2M (en unités où G=c=1), alors l'objet est un trou noir et R=2M définit la surface où se trouve l'horizon des évènements

Ca risque d'être beaucoup plus con qu'avant désolé...

c'est quoi R et r ? justement je me demande ^^ je pensai au rayon de l'objet, mais ta phrase disant qu'il n'apparait pas dans la métrique me laisse songeur...d'un autre côté R=<2M dans des unités où G=c=1 ça me fait penser à l'expression du rayon de Schwartschild, donc R serait bien le rayon...bref encore une fois je suis largué.

Pour les unités où G=c=1 aurais tu un exemple stp ?

Enfin, je crois avoir vaguement pigé pour la représentation du cône et son "inversion" graphique lorsque r<2m

Pour le schéma ont je parlai je peus pas faire mieux qu'une capture d'écran :



Je me demande quel est le lien de ce graphique avec le reste de la page.

Encore une fois merci d'avance !

[Rincevent]

salut,

- Ensuite, désolé, de ne pas tout saisir, car je n'ai qu'un médiocre niveau de DEUG MIAS, embrûmé dans mon cerveau depuis 10 ans, et que je n'avais jamais touché à la relativité avant quelques semaines.

ok, je vois mieux ton niveau, ça aide

c'est quoi R et r ? justement je me demande ^^ je pensai au rayon de l'objet, mais ta phrase disant qu'il n'apparait pas dans la métrique me laisse songeur...d'un autre côté R=<2M dans des unités où G=c=1 ça me fait penser à l'expression du rayon de Schwartschild, donc R serait bien le rayon...bref encore une fois je suis largué.

pour ça, ça marche comme pour la physique newtonienne. Si tu cherches le champ gravitationnel créé par un objet sphérique de masse M à une distance r de son centre, la valeur du champ ne dépend absolument pas du rayon de l'objet (nommé R) tant que tu restes à l'extérieur de celui-ci (c'est-à-dire tant que r>R). En RG, tu as exactement le même résultat, et c'est pour ça que la métrique de Schwarzschild te donne le champ gravitationnel à l'extérieur de tout objet sphérique de masse M (le R n'y apparaît pas plus que dans le potentiel newtonien).

en revanche, ce qui se passe avec la métrique de S, c'est que tu vois que la métrique fait intervenir une distance caractéristique nommé "rayon de Schwarzschild" et définie par , telle que si r<R_s alors le terme devant le dt^2 et celui devant le dr^2 changent de signe. Concrètement, ça signifie que si simultanément tu peux être :

- à l'extérieur d'une "masse sphérique" de masse M et de rayon R (extérieur implique r>R)
- à une "distance" de son centre inférieure à la distance caractéristique R_s

alors, y'a des trucs bizarres et tu ne peux pas prendre la métrique de Schwarzschild directement comme tu la vois (à cause du changement de signe qui est "équivalent" à dire que le temps et la coordonnée radiale ne sont inversés].

en pratique, cela implique donc que l'objet ait un rayon R inférieur à R_s [laquelle distance n'est définie que par sa masse], or, on montre que dans ce cas ce que cela signifie c'est que l'objet s'effondre en trou noir. Ce dernier est défini par l'existence d'une surface sphérique de rayon R_s (donc caractérisée par l'équation r=R_s) que l'on nomme "horizon des évènements" et dont on prouve qu'elle ne peut être franchie que dans un seul sens. Le fait que les signes changent dans la métrique de S lorsque r<R_s est relié à cet effondrement en trou noir et illustre surtout le fait que cette métrique n'est pas adaptée pour décrire l'intérieur de l'horizon d'un trou noir.

Pour les unités où G=c=1 aurais tu un exemple stp ?

quand on dit que le rayon de Schwarzschild est défini par R=2M, on reprend le truc que je mentionnais plus tôt en remplaçant c et G par 1. Concrètement, cela revient à mesurer les distances en "temps-lumière" [une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en 1 an et dans ces unités on a d=t] et les masses dans la même unités [ça, ça parle moins au début ]

Je me demande quel est le lien de ce graphique avec le reste de la page.

franchement aucune idée je suis pas certain que ça ait un sens réel...