Longueur d'une corde

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Encore un problème de RR :

"Une corde de longueur propre est au repos dans un référentiel R'. La corde est dans le plan (x',y') et fait un angle arcsin(3/5) avec l'axe Ox'. Le référentiel R' est animé d'un mouvement rectiligne uniforme suivant Ox (référentiel du labo R) à la vitesse v).

1) Quelle doit être la valeur de v pour que la corde soit inclinée de 45° par rapport à l'axe Ox dans le référentiel R ?

2) Quelle est la longueur de la corde mesurée dans R ?"

Pour la 1), je dis qu'on a la corde dont une extrémité est O' et l'autre A. Donc O'A =
Vu qu'elle est est au repos, on a pour tout t' les coordonnées de A dans R'


avec

Si l'angle dans R vaut 45°, ça veut dire que
Avec les TL on a



Par contre pour j'ai un problème.
Au début j'avais fait

en prenant vu que je considère les 2 référentiels confondus à t = t' = 0.

Et donc, en écrivant , ça me donne au final

, d'où un problème dans la racine...

Par contre, en partant de

en prenant cette fois .

Et là ça donne au final



ce qui semble plus juste, surtout qu'on voit qu'il y a une contraction de la longueur suivant l'axe Ox et non une dilatation comme dans le premier résultat.
Par contre, je ne vois pas pourquoi le premier calcul est faux, notamment pourquoi je ne peux pas prendre (je suppose que l'erreur vient de là...).

Merci de votre aide.
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