Théorie des images en électromagnétisme

[franchouze]

Bonjour,

J'ai besoin d'utiliser la théorie des images en électromagnétisme qui permet de tenir compte des réflexions des ondes sur des interfaces (par exemple une onde qui se propage dans la mer et qui serait réfléchie par l'interface air / mer).

Cette réflexion se trouve alors modélisée par une image virtuelle de la source, dans mon cas un dipole électrique vertical, de l'autre coté de l'interface.

La localisation du dipôle virtuelle doit être calculée. Dans le cas statique (frequence du dipole=0Hz), les coordonnées des images sont réelles. En revanche, dans le cas non statique, le dipôle virtuel peut avoir des coordonnées complexes suivant z. Du coup avec des coordonnées complexes je ne sais plus comment calculer le rayonnement du dipôle (je n'utilise pas les intégrales de Sommerfeld mais les équations de rayonnement de dipoles).

Par exemple j'ai besoin de calculer les angles d'Euler entre mon dipôle et le point où le champ est calculé. Du coup les angles obtenus sont complexes et je ne sais pas si c'est légitime d'utiliser les équations de rayonnement habituelles avec des angles et distances complexes...

Merci pour vos suggestions

François
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne sais pas comment pouvez-vous obtenir des coordonnées complexes.
Que le rayonnement du dipôle soit "complexe" oui, cela correspond à un déphasage du aux pertes du diélectrique, mais les coordonnées, je ne vois pas.
Pouvez-vous nous dire comment obtenez-vous de coordonnées complexes?
Au revoir.

[franchouze]

Bonjour LPFR,

Ces coordonnées complexes proviennent d'approximations effectuées dans le calcul des images. Pour que ce soit plus clair je vais partir d'un exemple. Ce que je dis viens de l'article [1].

Je considère une interface à la hauteur z=0. Mon dipole électrique est horizontal (plan Oxy) dans l'air (z>0) et je veux calculer le champ en un point d'observation dans l'air.

Pour tenir compte des réflexions de l'onde sur l'interface on peut utiliser la méthode des images qui permet d'obtenir des dipôles virtuels (en z<0). La somme du champ rayonné par le dipôle (z>0) et les images (z<0) va permettre de calculer numériquement le champ au point de mesure de façon plus précise.

Il s'avère que l'image du dipôle par rapport à l'interface n'est pas un dipôle mais deux lignes de courant verticales semi infinies ainsi qu'une bande de courant également verticale et semi infinie.
La théorie des images complexes permet alors de remplace ces 3 éléments semi infinis par 3 dipôles. Les résultats des calculs montrent que la coordonnées en z de ces 3 dipôles sont complexes. Je pense qu'il s'agit d'un artifice mathématiques. Ces dipôles aux localisation complexes n'ont pas de significations physique mais permettent simplement de bien représenter la réalité.

Ma question étant la suivante. Dans les formules usuelles de rayonnement de dipôles, je ne sais pas si on a le droit d'utiliser des coordonnées complexes.

J'espère que j'ai répondu à ta question.

François

[1] Wait's complex image principle generalized to Arbitrary sources, Ismo V. Lindell, IEEE Trans on antennas and Propagation, vol 48, n°10

[invite3e5ede0a]

Bonjour,

Je pense que oui, les formules de rayonnement usuelles restent utilisables avec des sources complexes, à condition que ces sources soient intégrables : il faut donc faire attention au signe de la partie imaginaire des coordonnées complexes, qui peuvent selon la convention temporelle utilisée, faire converger ou diverger l'intégrale. Il y'a donc peut être quelques subtilités mathématiques qui peuvent être importantes.

Les sources ponctuelles dont les coordonnées spatiales sont complexes sont parfois utilisées dans certaines applications de calculs EM, comme par exemple le calcul de rayonnement d'une parabole. On remarque en effet qu'une source ponctuelle donc les coordonnées spatiales sont complexes correspond à un faisceau gaussien. [Cf les travaux (nombreux) de Felsen dans ce domaine...]

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[franchouze]

Merci Hash

J'ai également contacté l'auteur de l'article qui m'a répondu qu'il valait mieux utiliser les coordonnées cartésiennes pour les expressions du champ que les coordonnées sphériques (il n'était pas certain de ce que cela pouvait donner d'utiliser les coordonnées sphérique étant donné que cela introduit des angles d'Euler complexes...).

Il me reste donc à trouver les équations des champs électriques et magnétiques d'un dipôle électrique horizontal en coordonnées cartésiennes. J'ai commencé à chercher mais si quelqu'un a un lien je suis preneur

[invite3e5ede0a]

Mais tu souhaites les expressions analytiques exactes (si elles existent!?), ou bien une expression asymptotique (valide pour une observation à quelques longueures d'ondes). Parce qu'asymptotiquement, cela doit pouvoir se faire (méthode du point col à partir des intégrales de rayonnement, ou bien calcul du spectre d'onde plane si c'est faisable puis application de la phase stationnaire).