Principe de moindre action en mécanique quantique

[invitea46d7942]

Bonjour,
j'aurais voulu vérifier si j'ai bien compris quelques chose.
Dans le cadre de la mécanique quantique, les relations de de Broglie permettent d'identifier l'action à la phase quantique (divisé par la constante de Planck). On peut alors vérifier que le principe de moindre action ne fait en fait qu'exprimer une "concordence de phase" comme le dit de Broglie lui même dans sa thèse. Dit autrement, avec un point de vue un peu plus moderne développé par Feynman, si un objet materiel va d'un point A au temps t1 à un point B au temps t2, alors il prendra en general le chemin qui rendra son action extremal, et cela s'explique en mécanique quantique par le fait que tout les chemins qui ne rendent pas la phase quantique stationnaire interfereront entre eux en "se détruisant mutuellement", tandis que les chemins qui rendent la phase stationnaire se renforceront mutuellement.
Ma question porte sur le cas de la diffraction : lorsque l'on fait diffracter des électrons par une fente par exemple, une façon de voir les choses, c'est de dire que certains chemins qui ne rendent pas la phase quantique stationnaire ne sont pas éliminés car la fente étant étroite, ces différents chemins sont tellements voisins que leurs phases respectives, bien que non égales, ne sont pas assez différentes pour induire des interférences desctructrices (voir à ce sujet par exemple "lumière et matière, une étrange histoire" de Feynman). Il en résulte que les électrons peuvent "empruntés des chemins " qui ne rendent pas leur action stationnaire. Est il raisonnable de dire alors que le principe de moindre action n'est plus respecté dans ce cas précis ?
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,
j'aurais voulu vérifier si j'ai bien compris quelques chose.
Dans le cadre de la mécanique quantique, les relations de de Broglie permettent d'identifier l'action à la phase quantique (divisé par la constante de Planck). On peut alors vérifier que le principe de moindre action ne fait en fait qu'exprimer une "concordence de phase" comme le dit de Broglie lui même dans sa thèse. Dit autrement, avec un point de vue un peu plus moderne développé par Feynman, si un objet materiel va d'un point A au temps t1 à un point B au temps t2, alors il prendra en general le chemin qui rendra son action extremal, et cela s'explique en mécanique quantique par le fait que tout les chemins qui ne rendent pas la phase quantique stationnaire interfereront entre eux en "se détruisant mutuellement", tandis que les chemins qui rendent la phase stationnaire se renforceront mutuellement.
Ma question porte sur le cas de la diffraction : lorsque l'on fait diffracter des électrons par une fente par exemple, une façon de voir les choses, c'est de dire que certains chemins qui ne rendent pas la phase quantique stationnaire ne sont pas éliminés car la fente étant étroite, ces différents chemins sont tellements voisins que leurs phases respectives, bien que non égales, ne sont pas assez différentes pour induire des interférences desctructrices (voir à ce sujet par exemple "lumière et matière, une étrange histoire" de Feynman). Il en résulte que les électrons peuvent "empruntés des chemins " qui ne rendent pas leur action stationnaire. Est il raisonnable de dire alors que le principe de moindre action n'est plus respecté dans ce cas précis ?

Bonjour,

En version courte:
.
En mécanique classique un électron suit un chemin qui minimise l'action entre A et B.
.
En MQ l'amplitude de probabilité d'aller d'un point A (x,t) à un point B (x,t) est une superposition linéaire de chemin dont la phase dépend de l'action le long de ce chemin. Donc un électron "suit" une infinité de chemins à la fois. Ce n'est donc donc pas un principe de minimisation d'action mais d'intégration sur un ensemble infini de chemins.

[invitea46d7942]

Bonjour,

En version courte:
.
En mécanique classique un électron suit un chemin qui minimise l'action entre A et B.
.
En MQ l'amplitude de probabilité d'aller d'un point A (x,t) à un point B (x,t) est une superposition linéaire de chemin dont la phase dépend de l'action le long de ce chemin. Donc un électron "suit" une infinité de chemins à la fois. Ce n'est donc donc pas un principe de minimisation d'action mais d'intégration sur un ensemble infini de chemins.

Merci pour la réponse. Je suis tout à fait d'accord avec vous, et je m'étais mal exprimé.

Par

Il en résulte que les électrons peuvent "empruntés des chemins " qui ne rendent pas leur action stationnaire

j'entendais en toute rigueur (et c'est pour cela que j'avais mis des guillemets):

Il en résulte que les différents chemins qui contribueront effectivement (sans se détruire mutuellement) à l'amplitude finale ne sont pas forcément associés à une action stationnaire

Justement, je pense qu'en disant la phrase ci-dessous, vous répondez partiellement à la question que je me pose:

Ce n'est donc donc pas un principe de minimisation d'action mais d'intégration sur un ensemble infini de chemins

D'après ce que vous venez de dire, il est donc en toute rigueur faux de parler de principe de moindre action en mécanique quantique?

Seriez vous d'accord avec moi si je dis la phrase suivante :

" On peut parler de principe de moindre action à la limité "classique" de la mécanique quantique, exactement comme on peut parler de principe de Fermat de moindre temps à la limite géometrique de l'Optique ondulatoire. Au delà, ces deux principes n'ont plus de sens : le concept de rayon s'évanouit en Optique ondulatoire de la même façon que le concept de trajectoire s'évanouit en Mécanique Quantique"
?

[invite69d38f86]

il est donc en toute rigueur faux de parler de principe de moindre action en mécanique quantique?

Bonjour,

Il y a en MQ un principe de moindre action tout à fait rigoureux. Mais il ne parle pas des variations autour des trajectoires des particules (comme en Mécanique Classique).

En MQ on a un lagrangien dont les variables sont des fonctions d'onde.
Celles ci évoluent en fonction du temps en décrivant une courbe dans un certain espace. C'est par rapport à elle qu'il y a un principe de moindre action.
Avec les équations d'Euler appliquées au Lagrangien de QED on obtient par exemple les équations de Dirac et de Maxwell.

Les intervalles de chemin font intervenir l'action classique dans leur formulation, mais il ne faut pas confondre les deux choses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Bonjour

" On peut parler de principe de moindre action à la limité "classique" de la mécanique quantique, exactement comme on peut parler de principe de Fermat de moindre temps à la limite géometrique de l'Optique ondulatoire. Au delà, ces deux principes n'ont plus de sens : le concept de rayon s'évanouit en Optique ondulatoire de la même façon que le concept de trajectoire s'évanouit en Mécanique Quantique"
?

la premiere partie est clairement correcte. La derniere partie aussi. Dire que les principes n'ont plus de sens cependant semble un peu fort. Les principes existent evidemment et restent utiles, ils ont cependant une interpretation differente.

Le cours de Basdevant et Dalibard de l'X possede un passage sur Hamilton fort interessant, ou il est indique que des 1830 Hamilton propose que la mecanique de Newton soit une approximation d'une theorie plus fondamentale, au meme titre que l'optique geometrique est une approximation de l'optique ondulatoire. Cette proposition decoule des travaux d'Hamilton ou il a demontre cette approximation en optique, et lui est suggeree par l'analogie entre le principe de Fermat en optique et le principe de Maupertuis en mecanique. D'autres elements sont aussi discutes dans ce passage, comme le fait que l'on nomme matrice de Pauli les quaternions de Hamilton, ou comment Hamilton a decouvert l'algebre non-commutative sous la forme du calcul matriciel en meme temps que Cayley et Heavyside, afin de d'apprecier a sa juste valeur le travail de precurseur de Hamilton au sujet de la mecanique quantique. De Broglie y fait reference dans sa these.

[invitea46d7942]

Bonjour,

Il y a en MQ un principe de moindre action tout à fait rigoureux. Mais il ne parle pas des variations autour des trajectoires des particules (comme en Mécanique Classique).

En MQ on a un lagrangien dont les variables sont des fonctions d'onde.
Celles ci évoluent en fonction du temps en décrivant une courbe dans un certain espace. C'est par rapport à elle qu'il y a un principe de moindre action.
Avec les équations d'Euler appliquées au Lagrangien de QED on obtient par exemple les équations de Dirac et de Maxwell.

Mais oui! Que suis-je bête ! Le principe de moindre action s'applique aux champs (d'où "théorie quantique des champs")!!.

Les intervalles de chemin font intervenir l'action classique dans leur formulation, mais il ne faut pas confondre les deux choses.

Cela n'a l'air de rien, mais je crois qu'avec cette phrase, vous m'enlevez une grosse épine du pied ! Cela fait je ne sais combien de temps que je bloque sur les expressions des lagrangiens en TQC, car je confondais justement ces deux choses ! Si j'ai bien compris, l'action classique dS=L_classiquedt représente une phase quantique, mais ce n'est pas du tout le cas par exemple de l'action dS=L_QEDdt ??

Le cours de Basdevant et Dalibard de l'X possede un passage sur Hamilton fort interessant.

Est-ce qu'on peut trouver ces cours sur internet ??

De Broglie y fait reference dans sa these

Oui, exact! Et d'après certains de ces écrits ultérieurs, c'est en prennant connaissance de ce fait que de Broglie a eu très tôt l'intuition que le problème des quanta devait trouver une solution en fouillant du coté de cette analogie entre l' Optique et la Mécanique.

[invite69d38f86]

Bonjour au passage à Humanino,
que je lis également sur Physicsforums. (on y découvrira à l'occasion la photo de son chien) souvent à un niveau que je suis bien incapable de suvre.
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[invite8ef897e4]

Si j'ai bien compris, l'action classique dS=L_classiquedt représente une phase quantique, mais ce n'est pas du tout le cas par exemple de l'action dS=L_QEDdt ??

L'action de QED n'est rien d'autre que l'action classique de l'electromagnetisme. La formulation claire de ce lien classique-quantique,

est due Feynman (dans sa these). Si je me souviens bien, c'est Schwinger qui le premier a abouti a une formulation vraiment "utile" a partir de ce principe. Quoi qu'il en soit, ce lien clarifie grandement le passage classique-quantique, et simplifie bien des aspects de la quantification canonique, qui procede soit par analogie, soit par methodes pedestres que je qualifierais de "douloureuses", par opposition aux methodes symboliques de l'integrale de chemin.

Est-ce qu'on peut trouver ces cours sur internet ??

Pas que je sache.