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légitimité du principe de moindre action



  1. #1
    rommel
    Bonjour,
    La démonstration que je vais faire en relativité générale est trop simple pour ne pas être connue. En ce sens, le titre approprié de ce sujet serait ‘où est-ce que quoi cloche ? ’. Je vais probablement dire des bêtises dans ce qui suit et je serais alors (je l’espère) corrigé.

    Je dis ceci : ‘le principe de moindre action n’est pas un principe physique’ je veux dire que ce n’est pas une conjecture indémontrable (ou même juste) dans le cadre d’une théorie donnée.
    Une pause s’impose : Peut-être, si ce que je dis est vrai, le sait-on déjà ? si oui la suite sans intérêt (ou presque). Sinon ça fera certainement rire plus d’un. Ce principe fait partie des plus fondamentaux en physique moderne, rend de fières services et s’illustre facilement : je sais au moins ça. Peut-être avons appris à le concevoir facilement ?
    Qu’est ce principe pour moi ? c’est une conséquence mathématique immédiate de la théorie à laquelle on l’applique. On ne doit donc pas considérer que c’est une propriété dont l’univers a mystérieusement choisi de se doter (plutôt que d’une autre).

    La 'preuve' que je vais donner n’est pas radicale (je ne vais pas des éléments de l’analyse pour aboutir au résultat). Je vais dans le cas de la relativité générale (on pourra généraliser) montrer que c’est une conséquence des hypothèses de la théorie.
    Habituellement, on l’applique par exemple pour déterminer les équations des géodésiques en minimisant l’intervalle d’espace-temps entre deux évènements. Je pense qu’on peut procéder autrement (on n'obtient pas forcément les mêmes résultats mais le principe n'est plus considéré).
    En effet, soit donné le ‘ds²’ pour un certain observateur O1. C’est une fonction des coordonnées x(i), i = 1,4 (i variant de 1 à 4). Nous pouvons lier à un point matériel libre ‘P’ observable par O1 un référentiel (ou observateur – on suppose qu'il lui est associé un système de coordonnées) O2 par rapport auquel il est immobile. Dans O2, ‘P’ occupe des évènements de la sorte ( s, xo(1), xo(2), xo(3) ) où ‘xo(i)’, i = 1,3 sont des constantes et ‘s’ la variable temporelle (fois l’invariant c). Il est alors évident qu’entre deux événement a et b de la ligne d’univers de P, l’abscisse curviligne ‘s(b) – s(a)’ n’est pas fonction des variables
    xo(i), i = 1,3 or ‘s(b) – s(a)’ est l’intégrale de ‘a’ à ‘b’ de ‘ds’. On déduit que la dérivée partielle de cette intégrale par rapport à chacun des xo(i) est nulle. Sachant que x(i) est fonction des xo(j), j = 1,3 (par un changement de référentiel entre O1 et O2), on obtient les équations des géodésiques.
    Quand on parle de géodésique, on suppose (je pense) que les particules sont des point matériels et c’est précisément ce caractère qui nous permet de les déterminer (les géo.). De même, si on définit autrement les particules, on pourra toujours (des définitions) déterminer les ‘conséquences’ (pas forcément les mêmes) de l’application du principe variationnel à la théorie.
    J’ai fait allusion au changement de référentiel et il ne pose de problème (à la preuve) que si lui même est déterminé en utilisant même implicitement le principe en question (le doute c'est parce que je n’est pas encore étudié la discipline – je ne sais pas comment on le obtient exactement). Dans ce cas, je vous demande de lire la relativité universelle sur www.ifrance.com/physiques-maths-nanarommel J’y démontre cette formule dans un format presque standart.
    Il est évident que si le principe est inutile en relativité générale, il l'est aussi en mécanique classique.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    C++
    Je pense que toutes les formulations de la physique classique sont equivalentes,donc que si tu as le niveau suffisant tu peux sans problème prouver le principe de moindre action a partir des trois lois de newton..

  4. #3
    Rincevent
    plusieurs commentaires: (après un rappel)

    - une géodésique est une trajectoire qui vérifie une équation que l'on peut obtenir en cherchant sous quelles conditions une certaine intégrale (d'une seule variable qui paramètre la trajectoire) aura une valeur stationnaire. Stationnaire voulant dire qui a une valeur soit maximale, soit minimale: ainsi pour un espace plat, les lignes droites, qui sont le plus court chemin entre deux points donnés, sont les géodésiques;

    - ta démonstration ne tient pas debout car ton raisonnement s'applique à toute trajectoire: quelque soit le mouvement d'un point, il existe un référentiel par rapport auquel il est immobile... donc selon toi, toute particule suit une géodésique, quelque soit son mouvement et ce indépendamment des conditions physiques;

    -
    Sachant que x(i) est fonction des xo(j), j = 1,3 (par un changement de référentiel entre O1 et O2), on obtient les équations des géodésiques.
    ça me rappelle un peu la démonstration que Fermat avait "donné" de son "dernier" théorème... à part que dans son cas c'était juste...

    - enfin, finalement, ce que tu appelles "le principe variationnel" n'est qu'un cas très particulier de ce que les physiciens appellent ainsi. Lorsque l'on dit que la relativité générale (et les autres théories décrivant les diverses interactions connues) peuvent être décrites par des principes variationnels, cela n'a que très faiblement à voir avec le mouvement géodésique. Cela veut dire que pour chacune des interactions (en oubliant le cas quantique), il existe une fonction scalaire (nommée l'action) définie comme une intégrale (sur les 4 variables d'espace-temps) d'une fonction des champs considérés (cette seconde fonction étant nommée la densité Lagragienne) et cette "fonction intégrale" est telle que si l'on cherche les conditions que doivent vérifier les champs pour qu'elle soit stationnaire (en appliquant la méthode d'Euler-Lagrange), alors on trouve que les champs doivent vérifier ce que l'on nomme les "équations du mouvement" de la théorie. Dans le cas de la relativité générale, cela veut simplement dire que les équations d'Einstein peuvent être obtenues à partir d'une action (dite de Einstein-Hilbert). Dans le cas de l'électromagnétisme, cela veut dire que les équations de Maxwell peuvent s'obtenir à partir d'une action.

    Maintenant, il est vrai que ce principe s'applique aussi pour trouver les équations du mouvement de particules ponctuelles. Mais les géodésiques sont autre chose: les équations de la relativité générale traitent avant tout de champs. Un exemple de champ matériel est un fluide: on peut retrouver les équations d'Euler relativistes à partir des équations d'Einstein, et donc d'un principe variationnel. Pour les particules ponctuelles, les choses sont un peu plus complexes (car du point de vue mathématique ont introduit des champs qui sont des "distributions" et plus de bêtes fonctions continues). Dans le cas des géodésiques et de la relativité générale par exemple, lorsqu'Einstein a proposé la première version (qui tenait la route) de sa théorie, il a ajouté le postulat selon lequel les particules libres suivent des géodésiques de l'espace-temps. Mais il a été démontré plus tard qu'étant données les équations d'Einstein qui régissent la métrique (la métrique étant le champ de gravitation relativiste dans la théorie d'Einstein), une particule ponctuelle se déplacera nécessairement selon une géodésique de l'espace-temps. En tous cas, la théorie d'Einstein et le principe variationnel sont des choses bien plus riches que le mouvement géodésique.

    -
    Je pense que toutes les formulations de la physique classique sont equivalentes,donc que si tu as le niveau suffisant tu peux sans problème prouver le principe de moindre action a partir des trois lois de newton..
    tu peux en effet prouver qu'il existe une action (définie comme une intégrale unidimensionnelle) qui vérifie un principe variationnel tel que lorsqu'on l'applique on obtient des équations du mouvement identiques à celles de Newton. On parle de formulation Lagrangienne (ou Hamiltonienne) de la mécanique (et plus généralement de mécanique analytique ou rationnelle). Pour en comprendre les bases et montrer l'équivalence avec les équations de Newton, il n'y a pas besoin d'aller très loin, même si ce n'est que très rarement enseigné en premier cycle (ce qui est fort dommage). Par ailleurs, dans le cadre quantique, la formulation variationnelle est indispensable: avec Newton seul, on est très loin de pouvoir "deviner" les équations quantiques. Alors qu'avec des Lagrangiens ou Hamiltoniens, c'est parfois trivial.

  5. #4
    rommel
    Bonjour,

    >Je pense que toutes les formulations de la physique classique sont equivalentes,donc que si tu as le niveau suffisant tu peux sans problème prouver le principe de moindre action a partir des trois lois de newton..

    Grosse bêtise de ma part ops:

    Rincevent, tu donnes la définition d'une géodésique: merci car avant cet instant, je pensais qu'une géodésique est la trajectoire d'une particule libre (je n'est pas étudier la théorie).

    >Mais il a été démontré plus tard qu'étant données les équations d'Einstein qui régissent la métrique (la métrique étant le champ de gravitation relativiste dans la théorie d'Einstein), une particule ponctuelle se déplacera nécessairement selon une géodésique de l'espace-temps.

    Dans le cadre de la théorie d'Einstein, ma fausse considération est donc valide pour les particules libres .
    Plus généralement, il est possible d'associer à toute particule ponctuelle (même sous contrainte) un système de coordonnées relativement auquel il est au repos. Le raisonnement du post1 donne alors une relation entre coefficient du tenseur métrique et ses dérivées partielles (premier ordre). Que réprésentent ces équations*?

    >Maintenant, il est vrai que ce principe s'applique aussi pour trouver les équations du mouvement de particules ponctuelles.

    Si les équations * (obtenues sans la considération du principe) réprésentent celles du mouvement de la particule (ponctuelle) et sont différentes de celles que donne le principe, n'y a t-il pas là une remise en cause de ce principe?

    >En tous cas, la théorie d'Einstein et le principe variationnel sont des choses bien plus riches que le mouvement géodésique.

    Loin de moi l'idée de remettre en cause cette théorie par ce raisonnement: je me contredirais même alors.

  6. #5
    m81
    Le principe de moindre action est un principe fondamental. Son application permet de trouver les équations de Lagrange, qui sont le pendant intégral des équations de Newton (différentiel). Je pense donc que les équations de Newton sont équivalente au principe de moindre action (dans le même contexte, mécanique classique).

    Toute la physique peut se déduire du principe de moindre action, cf Landau/Lifchitz

  7. A voir en vidéo sur Futura

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