Bonjour,
La démonstration que je vais faire en relativité générale est trop simple pour ne pas être connue. En ce sens, le titre approprié de ce sujet serait ‘où est-ce que quoi cloche ? ’. Je vais probablement dire des bêtises dans ce qui suit et je serais alors (je l’espère) corrigé.
Je dis ceci : ‘le principe de moindre action n’est pas un principe physique’ je veux dire que ce n’est pas une conjecture indémontrable (ou même juste) dans le cadre d’une théorie donnée.
Une pause s’impose : Peut-être, si ce que je dis est vrai, le sait-on déjà ? si oui la suite sans intérêt (ou presque). Sinon ça fera certainement rire plus d’un. Ce principe fait partie des plus fondamentaux en physique moderne, rend de fières services et s’illustre facilement : je sais au moins ça. Peut-être avons appris à le concevoir facilement ?
Qu’est ce principe pour moi ? c’est une conséquence mathématique immédiate de la théorie à laquelle on l’applique. On ne doit donc pas considérer que c’est une propriété dont l’univers a mystérieusement choisi de se doter (plutôt que d’une autre).
La 'preuve' que je vais donner n’est pas radicale (je ne vais pas des éléments de l’analyse pour aboutir au résultat). Je vais dans le cas de la relativité générale (on pourra généraliser) montrer que c’est une conséquence des hypothèses de la théorie.
Habituellement, on l’applique par exemple pour déterminer les équations des géodésiques en minimisant l’intervalle d’espace-temps entre deux évènements. Je pense qu’on peut procéder autrement (on n'obtient pas forcément les mêmes résultats mais le principe n'est plus considéré).
En effet, soit donné le ‘ds²’ pour un certain observateur O1. C’est une fonction des coordonnées x(i), i = 1,4 (i variant de 1 à 4). Nous pouvons lier à un point matériel libre ‘P’ observable par O1 un référentiel (ou observateur – on suppose qu'il lui est associé un système de coordonnées) O2 par rapport auquel il est immobile. Dans O2, ‘P’ occupe des évènements de la sorte ( s, xo(1), xo(2), xo(3) ) où ‘xo(i)’, i = 1,3 sont des constantes et ‘s’ la variable temporelle (fois l’invariant c). Il est alors évident qu’entre deux événement a et b de la ligne d’univers de P, l’abscisse curviligne ‘s(b) – s(a)’ n’est pas fonction des variables
xo(i), i = 1,3 or ‘s(b) – s(a)’ est l’intégrale de ‘a’ à ‘b’ de ‘ds’. On déduit que la dérivée partielle de cette intégrale par rapport à chacun des xo(i) est nulle. Sachant que x(i) est fonction des xo(j), j = 1,3 (par un changement de référentiel entre O1 et O2), on obtient les équations des géodésiques.
Quand on parle de géodésique, on suppose (je pense) que les particules sont des point matériels et c’est précisément ce caractère qui nous permet de les déterminer (les géo.). De même, si on définit autrement les particules, on pourra toujours (des définitions) déterminer les ‘conséquences’ (pas forcément les mêmes) de l’application du principe variationnel à la théorie.
J’ai fait allusion au changement de référentiel et il ne pose de problème (à la preuve) que si lui même est déterminé en utilisant même implicitement le principe en question (le doute c'est parce que je n’est pas encore étudié la discipline – je ne sais pas comment on le obtient exactement). Dans ce cas, je vous demande de lire la relativité universelle sur www.ifrance.com/physiques-maths-nanarommel J’y démontre cette formule dans un format presque standart.
Il est évident que si le principe est inutile en relativité générale, il l'est aussi en mécanique classique.
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