intégration curviligne

[Infra_Red]

salut,

l'inertie d'un cylindre se calcule comme suit :





puis dans mon bouquin, j'ai :



là je vois pas comment il est passé à cette étape, vu que le volume du cylindre est :



merci de m'éclairer
-----

[invitedbd9bdc3]

Bonjour,

l'element de volume dans les coordonnes cylindriques est .
Si tu integre cela entre 0 et h pour z, 0 et 2pi pour et 0 et R pour r, tu retrouves bien ton volume.
Mais ici, ton inegrale contient aussi un terme .
Tu dois donc integrer
.
Tu peux directement integrer celon z, ce qui te donne simplement h, et tu retrouves bien ta derniere expression.

Il faut toujours se souvenir que le volume d'une cylindre, sphere, cube, etc provient d'une integrale et n'est pas juste une formule

[Deedee81]

Salut,

l'inertie d'un cylindre se calcule comme suit :





puis dans mon bouquin, j'ai :



là je vois pas comment il est passé à cette étape, vu que le volume du cylindre est :

En coordonnées polaires, l'élément de surface du disque est . Suffit de multiplier par h pour avoir le volume.

D'ailleurs, si tu intègres : tu trouves bien le volume que tu donnes (rdr donne r²/2 et dtheta donne 2pi, reste pir² et h est une constante, évidemment).

EDIT : grillé par thwarn

[mariposa]

salut,

l'inertie d'un cylindre se calcule comme suit :




.

a partir de là il faut écrire "astucieusement" l'expression de dV en exploitant la symétrie cylindrique de ton problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Tout simplement parce qu'en coordonnées cylindrique, un petit élément dV est égal à .

EDIT : grillé 3 fois en 10s (le temps d'aller voir si je pouvais pas lui trouver une référence sur Wiki...)

[LPFR]

Bonjour.
D'abord ce n'est pas du tout une intégrale curviligne. C'est une intégrale de volume.

Quand vous faites une intégrale de volume, il faut diviser le volume sur lequel vous intégrez en petits volumes élémentaires qu'il faut pouvoir dessiner et je vous conseille très, très vivement de le faire.
La condition est que la fonction à intégrer soit "constante" dans le volume élémentaire (aux variations différentielles près). Si vous ne pouvez pas dessiner ces volumes élémentaires, ce n'est pas la peine d'aller plus loin.

Dans votre cas, la fonction à intégrer est r². Donc, la seul contrainte du volume élémentaire est qu'il soit "à r constant".

Dessinez votre cylindre et, pour une valeur représentative de r (r différent de zéro et r différent de rmax) dessinez une volume infiniment petit "à r constant" (c'est à dire, que r peut varier entre r et r+dr).
Écrivez la valeur du volume de ce différentiel de volume. (dv=...).
Vous verrez que si vous êtes malin, dans ce cas particulier, vous n'aurez pas à faire d'intégrale triple ou double. Avec une intégrale simple cela suffit.
Au revoir.

[invitedbd9bdc3]

J'ai ete le plus rapide, mais ca c'est joue de peu

futura est un univers tres concurrentiel

[Ravjulbespar]

Salut,

Je pense que ce qui est piège dans l'écriture, c'est que du coup on n'intègre plus sur V mais sur la section S du cylindre (on a déjà intégré selon la hauteur)...

A+

Ravjul

[Infra_Red]

dis donc on se bouscule pour me répondre.
j'ai pas le temps là, je relirais vos réponses plus tard.
en gros faut exprimer le volume en utilisation les coordonnées polaires.

[obi76]

pas polaires, cylindriques

[invitedbd9bdc3]

pas polaires, cylindriques

Ca depend si c'est avant ou apres l'integration sur z

[Ravjulbespar]

Ca depend si c'est avant ou apres l'integration sur z

Ben voyons...
z étant en radians, c'est ça

A+

RAvjul

[mariposa]

dis donc on se bouscule pour me répondre.
j'ai pas le temps là, je relirais vos réponses plus tard.
en gros faut exprimer le volume en utilisation les coordonnées polaires.

.
Je te conseillerais de suivre les indications de LPFR. Lis-les attentivement et fais un dessin.
.
Au préalable et dans le même esprit tu peux démontrer le volume de la sphère. Idée: découper la sphère en tranches. Pourquoi?

[invitedbd9bdc3]

Ben voyons...
z étant en radians, c'est ça

je ne comprends pas la remarque...

si tu commence par ton integration sur z, il ne te reste ensuite qu'une integration en "2D" sur theta et r. Ce qui correspond a des coordonnees polaires. C'est "comme" si on avait reduit nos coordonnees cylindriques en coordonnees polaires.
Et puis c'etait une remarque a prendre avec legerete

[Ravjulbespar]

Ca se voulait une boutade qui est tombée à plat : je n'insiste pas pour ne pas pourrir la discussion fort intéressante de Infra_Red...

A+

Ravjul

[obi76]

Ca se voulait une boutade qui est tombée à plat : je n'insiste pas pour ne pas pourrir la discussion fort intéressante de Infra_Red...

Oui, j'ai bien dis cylindrique, pas sphérique...

[Infra_Red]

Bonjour,

l'element de volume dans les coordonnes cylindriques est .
Si tu integre cela entre 0 et h pour z, 0 et 2pi pour et 0 et R pour r, tu retrouves bien ton volume.
Mais ici, ton inegrale contient aussi un terme .
Tu dois donc integrer
.
Tu peux directement integrer celon z, ce qui te donne simplement h, et tu retrouves bien ta derniere expression.

Il faut toujours se souvenir que le volume d'une cylindre, sphere, cube, etc provient d'une integrale et n'est pas juste une formule

oui ca j'ai tout compris, mais :


d'où il sort le r de rdr ?

[Ravjulbespar]

d'où il sort le r de rdr

Je dirai bien qu'il arrive de :

ce qui nous arrange bien parce que quand on intègre tout cela, cela nous redonne le volume du cylindre !
Mais pour être très franc, j'essaie de le redémontrer proprement depuis le milieu de l'après midi sans succès...
Comme quoi, dix ans plus tard, ce qu'il reste de ce qu'on ne pratique pas...

Je cherche encore un peu, mais si quelqu'un peut remettre le calcul d'ici ce WE, cela m'évitera de fouiller dans la poussière de mes notes de cours !

A+

Ravjul

[invite93279690]

oui ca j'ai tout compris, mais :


d'où il sort le r de rdr ?

ça dépend comment tu calcules ton élément de volume .
Une manière de voir est celle proposée par Ravjulbespar (mais ce raisonnement ne marche pas à tous les coups il me semble) une autre assez intuitive est de dire que le volume c'est dV=(variation de longueur selon r)x(variation de longueur selon theta)x(variation de longueur selon z)
soit dans notre cas
le dans ce cas là vient juste du fait que la longueur d'un arc de cercle de rayon et d'angle est

[Ravjulbespar]

Ouf ça y est ; Google vient de me remettre sur la voie...

Le volume élémentaire dV est assimilé à un pavé de volume dV = dx.dy.dz avec :
- , arête radiale,
- , arête orthoradiale égale à l'arc d'angle dtheta et de rayon r
- (!)

donc on a bien :


C'est rouillé, mais rouillé tout ça...

A+

Ravjul

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Cf le message très très pédagogique de LPFR

Bon c'est dur sans dessin...

Mais le truc c'est de calculer le volume élémentaire en coordonnées cylindriques.

Il faut imaginer un cylindre de hauteur dz et de rayon r ; tu en prend une tranche selon l'angle du disque de base. Maintenant tu dessine un second cylindre de hauteur dz et de rayon r+dr, avec le disque de base concentrique du disque de base du premier, et tu prend la même tranche angulaire.

Ton volume élémentaire est le volume compris entre la tranche de rayon r et la tranche de rayon dr.

C'est un petit parallélépipède au 1er ordre, dont les côtés sont de mesure dz, dr et :



Je l'ai représenté dans un plan orthogonal à dz.

Du coup, ton volume élémentaire sera bien

EDIT : ok cool le temps que je fasse mon petit dessin et je me fais griller

[Infra_Red]

ok ca m'aide mieux.
dur dur d'apprendre seul, ca m'apprendra à pas écouter les cours.

[invitedbd9bdc3]

oui ca j'ai tout compris, mais :


d'où il sort le r de rdr ?

Il y a la façon mathematique. On prend les coordonnees cartesiennes, on les transforme en polaires. Et on calcule le jacobien. Ca te donne le r.

Il y a la façon heuristique. Fais un dessin. Commence par une droite de longueur r, horientée par rapport a l'horizontale d'un angle .
Fait tourner ta droite d'un angle . Tu obtiens une tranche de camembert (vue du dessus ).
Maintenant, augmente tes deux droites (l'ancienne et la nouvelle, tournée de ) de dr. Tu obtiens une tranche de cambembert un peu plus grande.
L'aire que tu as ajouté à ton ancienne tranche vaut .
On comprend comme ça d'où vient le r du jacobien. Si r est plus petit, l'aire ajoutée est plus petite. Si r est plus grand, l'aire est plus grande.

J'espere que mes explications sont suffisantes pour pouvoir dessiner...