Bruit ou son ?

[citron_21]

ok, en fait, d'après ce que j'ai appris (dans mes années scolaires précédentes ), voici tout ce que je sais sur la série de Fourier :

tout signal périodique est décomposable en une somme de sinusoïdes d'amplitudes et de fréquences différentes. Ce qui rend compte de cette décomposition est la série de Fourier, qui est un spectre de fréquence discontinu : à chaque raie, correspond une sinusoïde d'amplitude x et de fréquence t. En fait, on met en parallèle amplitude et temps, ainsi que fréquence et temps, pour pouvoir associer amplitude et fréquence (mettre en bijection, comme disait stefjm) dans la série de Fourier.
Donc selon ce que je pensais, une série de Fourier est un spectre de fréquence discontinu (car chaque fréquence ne se trouve pas dans le son analysé)...
par conséquent je ne vois pas pourquoi LPFR disait qu'un son en série de Fourier n'est pas obligatoirement décomposable en valeurs discrètes...

merci d'avance
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[obi76]

Tes fréquences sont systématiquement décomposées en valeurs discrètes...mais il peut y en avoir une infinité.
Exemple : je prend un signal périodique de fréquence f_0, mais discontinu (créneau...).
Tu va avoir une composante en f_0, 2f_0 etc.... jusqu'à l'infini.

[stefjm]

Pas bizarres, impossibles. Exemple : faire un TF sur un signal, rigoureusement parlant tu peux avoir des fréquences infinies qui ont des coefficients non nuls (la transformée peut tendre vers 0 sans l'atteindre). Exemple : un signal en créneau aura des fréquences infinies (discontinuitées). En physique c'est impossible, c'est pour ça qu'il est IMPOSSIBLE (électronique ou peu importe) de faire un signal rigoureusement en créneau.

Ca, c'est la physique continue du 19ième siècle!
Quand je considère un signal à base de nombre de pommes (discret), j'ai bien une discontinuité acceptable physiquement. Par contre, la signification physique de la TF est plus discutable, puisqu'il y a des termes à fréquences infinies...
En MQ, c'est la continuité qui n'est plus acceptable physiquement.
Un électron ne se découpe pas en morceau (il ne fait que se délocaliser), pas plus qu'un quantum de moment cinétique. (enfin si, il doit se couper en 2, si je me souvient bien)
Ca me fait d'ailleurs pensé qu'il y a un lien entre indétermination de Heisenberg et transformée de Fourier. (pour rester en thème de ce fil)

[obi76]

Ca, c'est la physique continue du 19ième siècle!

Sans doute mais jusqu'à preuve du contraire de la discontinuité stricte on en a jamais observé

[stefjm]

Tes fréquences sont systématiquement décomposées en valeurs discrètes...mais il peut y en avoir une infinité.
Exemple : je prend un signal périodique de fréquence f_0, mais discontinu (créneau...).
Tu va avoir une composante en f_0, 2f_0 etc.... jusqu'à l'infini.

Bof bof ton exemple...
La discontinuité temporelle n'implique qu'une décroissance du spectre en 1/n.
N'importe quel signal qui présente une irrégularité sur l'une de ses dérivées successives aura des termes à fréquence infinie.
Le cas de la discontinuité fait simplement apparaître une décroissance très lente.

Ex :
Un triangle périodique , spectre en 1/n².
une parabole périodique (primitive du triangle), spectre en 1/n³

Pour avoir un spectre fini, il faut par définition totaulogique une somme de sinusoïdes temporelles.

[stefjm]

Sans doute mais jusqu'à preuve du contraire de la discontinuité stricte on en a jamais observé

Tu veux dire que si je te donnes une pomme, tu n'observes pas de discontinuité dans ton nombre de pommes?

[stefjm]

tout signal périodique est décomposable en une somme de sinusoïdes d'amplitudes et de fréquences différentes. Ce qui rend compte de cette décomposition est la série de Fourier, qui est un spectre de fréquence discontinu : à chaque raie, correspond une sinusoïde d'amplitude x et de fréquence f. En fait, on met en parallèle amplitude et temps, ainsi que fréquence et temps, pour pouvoir associer amplitude et fréquence (mettre en bijection, comme disait stefjm) dans la série de Fourier.
Donc selon ce que je pensais, une série de Fourier est un spectre de fréquence discontinu (car chaque fréquence ne se trouve pas dans le son analysé)...

Ok pour tout sauf pour l'expression de : "car chaque fréquence ne se trouve pas dans le son analysé"
J'aurais plutôt dit : Car toutes les fréquences ne se trouvent pas dans le son analysé.

Effectivement, un signal periodique ne contient que certaines fréquences.

par conséquent je ne vois pas pourquoi LPFR disait qu'un son en série de Fourier n'est pas obligatoirement décomposable en valeurs discrètes.

Si le signal n'est pas périodique, il a un spectre X(f) continu. (C'est une fonction de f)
Il contient donc potentiellement toutes les fréquences de fmin à fmax.

Un signal non périodique n'a pas de série de Fourier. (il a une transformée de Fourier)

Ce qu'on fait dans ce cas en général, c'est qu'on étudie ce signal sur un certain temps, puis on le périodise (avec les ennuis de racordement que cela pose) et enfin on calcule la série de Fourier de ce signal périodisé en sachant qu'on a périodiser le signal temporel. (comme expliqué par Obi76 plus haut)

[LPFR]

par conséquent je ne vois pas pourquoi LPFR disait qu'un son en série de Fourier n'est pas obligatoirement décomposable en valeurs discrètes...

Re.
Je crois que vous avez mal lu.
Un signal périodique a un spectre discret et est décomposable en série de Fourier.
Une symphonie ou un coup de marteau ne sont pas des signaux périodiques. Ils ne peuvent pas être décomposés en série de Fourier. Mais on peut faire la transformée de Fourier de ces signaux. Et cette transformée n'est pas discrète mais continue.
A+

[obi76]

Tu veux dire que si je te donnes une pomme, tu n'observes pas de discontinuité dans ton nombre de pommes?

Bon je précise alors : un signal ^^

[citron_21]

donc en fait, par "discontinuité", on entend "infinité ou non de fréquences".
Donc des fréquences qui ne sont pas continues entre elles (comme une fondamentale et 2 harmoniques f₀, 2f₀ et 3f₀, ne sont pas continues (car il n'y a pas de fréquences entre chacune d'entre elles), elles sont un nombre fini au total).
Donc au final, signal discontinu ?

[obi76]

Nul besoin d'être discontinue pour avoir une infinité d'harmonique. C'est ce qui a été précisé par stephjm.

Pour avoir un spectre fini, il faut que la fonction dont tu fasse la TF soit infiniment dérivable (je ne sais pas si c'est une implication, mais en tous cas un signal non infiniment dérivable contient un spectre qui s'étend jusqu'à l'infini).

Donc un spectre ce peut être une somme d'exponentielle, de sinus, de polynômes etc, tant que tu peux le dériver autant que tu veux.

Exemple : un signal triangulaire est continu mais non dérivable en certains points => spectre infini (ça se démontre facilement la relation en dérivabilité et spectre fini ou non).

[stefjm]

donc en fait, par "discontinuité", on entend "infinité ou non de fréquences".
Donc des fréquences qui ne sont pas continues entre elles (comme une fondamentale et 2 harmoniques f₀, 2f₀ et 3f₀, ne sont pas continues (car il n'y a pas de fréquences entre chacune d'entre elles), elles sont un nombre fini au total).
Donc au final, signal discontinu ?

Signal discontinu n'est pas assez précis!
x(t) ou X(f) ?
Le signal temporel ou son spectre fréquentiel?

Tu peux retenir que périodique d'un coté (x(t) ou X(f)) est équivalent à discret de l'autre (X(f) ou x(t)).

Si discret en fréquence, alors existence d'une série de Fourier car périodique en temps.

On t'en a un peu mis plein la tête, va falloir relire un peu le fil.

[stefjm]

Bon je précise alors : un signal ^^

Je ne vois pas en quoi mon nombre de pomme ne serait pas un signal?
Quand je trace le solde de mon compte au cours du temps, j'ai bien un signal et il est discret. (quantum au centime)
En théorie du signal, on ne s'occupe pas que des signaux continus.

Autre exemple plus physique:
Position et vitesse sont obligatoirement des fonctions continues car fonctions d'état, solutions d'équation différentielle du second degré.
Rien au niveau des principes physiques n'impose à l'accélération d'être continue.

Si malgré tout, on impose à l'accélération d'être continue, il faudra donc augmenter le degré des équations différentielles qui décrivent le phénomène. Où va-t-on s'arrêter?
Faut-il que la dérivée de l'accélération soit elle aussi continue?

Le PFD est seulement d'ordre 2
...

[LPFR]

Si discret en fréquence, alors existence d'une série de Fourier car périodique en temps.

Re.
Je pense que l'affirmation marche à l'inverse mais pas dans ce sens.
Par exemple le signal somme de deux fréquences non commensurables n'est pas périodique.
Mais, je suis d'accord, c'est du pinaillage.
A+

[stefjm]

Re.
Je pense que l'affirmation marche à l'inverse mais pas dans ce sens.
Par exemple le signal somme de deux fréquences non commensurables n'est pas périodique.
Mais, je suis d'accord, c'est du pinaillage.
A+

Pinaillage intéressant.
Si on me l'as dit en cours (de maths?), je ne devais pas écouté, cela ne me rappelle rien.
En physique, je me demande quand même ce que peut bien signifier "fréquences non commensurables", la physique comprenant par définition le domaine de la mesure.
J'imagine mal à quels phénomènes appliquer votre exemple.

Je sens que ma question suivante va porter sur la fréquence et la pulsation ainsi que leur relation incommensurable par 2pi...

[LPFR]

Re.
Deux valeurs sont commensurables si le rapport entre les deux est un nombre rationnel.
Si vous prenez 1 MHz plus π MHz il n'y aura pas de périodicité.
Par contre, à l'inverse est toujours vrai: un signal périodique a un spectre discret.

Les "incommensurate waves" on été très à la mode il y a deux ou trois décades. On en trouve encore un peu dans Google.
A+

[stefjm]

Re.
Deux valeurs sont commensurables si le rapport entre les deux est un nombre rationnel.
Si vous prenez 1 MHz plus π MHz il n'y aura pas de périodicité.

Mathématiquement, c'est indéniable. Je comprend bien mais je ne me vois pas régler pi sur le GBF!
Mon prof de physique m'a appris que pi=3, pi²=10, pi³=31 et pi⁴=100

Par contre, à l'inverse est toujours vrai: un signal périodique a un spectre discret.
Les "incommensurate waves" on été très à la mode il y a deux ou trois décades. On en trouve encore un peu dans Google.
A+

Il faudra que je regarde. Cela alimentera peut-être mes marottes...
J'intuite pourquoi c'est intéressant.

[citron_21]

On t'en a un peu mis plein la tête, va falloir relire un peu le fil.

oui, je vais relire tout ca, et essayer de tout saisir

[LPFR]

...mais je ne me vois pas régler pi sur le GBF!

Re.
Pour continuer le pinaillage inutile, vous avez autant de chances de le régler sur pi que sur 10: aucune.
Je pense même (mais je ne suis pas totalement sûr), que si vous prenez deux générateurs et que vous les réglez au hasard (ou non) vous avez plus de probabilités pour que le rapport des fréquences soit irrationnel que rationnel.
Et ceci même si on utilise deux synthétiseurs, car la probabilité est la même pour les fréquences des quartzs qui servent de référence.
Mais, je répète, ce n'est que du pinaillage. Les pseudo-périodes me satisfont pleinement.
A+

[stefjm]

Mais, je répète, ce n'est que du pinaillage. Les pseudo-périodes me satisfont pleinement.
A+

J'aime bien pinailler!

J'ai toujours trouver peu naturel d'avoir 2pi comme période de base et une pulsation égale à 1 pour les fonctions trigo.

En physique, il me semble qu'on mesure une fréquence ou une période, pas une pulsation. L'utilisation du sinus oblige à des contorsions du genre 2pi.f ou 2pi/T. L'introduction du réel pi m'a toujours fait une drole d'impression, impression confirmée par votre exemple "pinaillant".

Choisir 2pi pour la pulsation et avoir une période de 1 me parait plus naturel.

[invité576543]

que vous les réglez au hasard (ou non) vous avez plus de probabilités pour que le rapport des fréquences soit irrationnel que rationnel.

Avec la formulation usuelle de la notion de probabilité sur le continu (mesure de Lebesgue) c'est correct. Précisément, la proba est de 1 pour un rapport irrationel, et 0 pour un rationnel

Sinon, le point soulevé message #44 n'est pas du pinaillage du tout.

"Spectre discret" n'est pas très restrictif. Même exclure l'irrationalité des rapports n'est pas assez restrictif! On peut imaginer un spectre discret, dont tous les rapports de fréquence sont rationnels, mais ne donnant pas une fonction périodique.

La règle restrictive est la suivante: un signal périodique a un spectre discret tel que toutes les raies sont à une fréquence multiple entier d'une certaine fréquence f.

Dans ce cas, la réciproque est correcte, il me semble.

Pour les rapports rationnels, on peut dire que si le spectre est discret, si tous les rapports sont rationnels et si le nombre de raies est fini, alors le signal est périodique.

Cordialement,

[stefjm]

Re.
Je pense que l'affirmation marche à l'inverse mais pas dans ce sens.
Par exemple le signal somme de deux fréquences non commensurables n'est pas périodique.
Mais, je suis d'accord, c'est du pinaillage.
A+

Je ne me cherche pas d'excuses mais même à Supelec
à propos de transformée de Fourier Discrete
"Spectre discret => caractérisation d’un signal périodique"
page 6

[invité576543]

Bonsoir,

Je pense que c'est juste un "abus de vocabulaire" dans le cours indiqué. La transformée de Fourier discrète amène une "confusion" sur la notion de "spectre discret", c'est tout.

Au sens le plus large, je comprends "spectre discret" comme il me semble que LPFR le fait, c'est à dire une somme de distributions de Dirac.

Manifestement, le cours utilise une notion plus restrictive. Dans la page on parle d'échantillonnage du spectre. C'est bien une discrétisation, mais bien particulière! En général on entend par échantillonnage une prise régulière d'échantillons, ce qui donne des raies espacées régulièrement (et la fréquence 0 dedans).

Juste un problème de vocabulaire, il me semble. Est-ce plus clair?

Cordialement,

[citron_21]

pour faire le clair dans les derniers posts, peut-on dire :
signal périodique => spectre fréquentiel discret (somme d'impulsions de Dirac)
spectre fréquentiel discret => signal périodique si le rapport des fréquences discrètes est rationnel...

est-ce correct ?

donc j'imagine que l'on peut faire de même :
signal apériodique => spectre fréquentiel continu (donc dérivable en tout point)
spectre fréquentiel continu => signal apériodique (dans tous les cas)
donc on peut faire une équivalence ici ?

cependant, si on a un spectre fréquentiel discret, mais dont le rapport des fréquences est irrationnel, on avait donc un signal initial non périodique (donc apériodique ). Bien que le spectre de fréquences ne soit pas continu... Donc finalement pas d'équivalence entre signal apériodique et spectre fréquentiel continu...

finalement je crois que j'ai parlé pour ne rien dire

[invité576543]

pour faire le clair dans les derniers posts, peut-on dire :
signal périodique => spectre fréquentiel discret (somme d'impulsions de Dirac)
spectre fréquentiel discret => signal périodique si le rapport des fréquences discrètes est rationnel...

est-ce correct ?

Ce n'est pas ce que j'ai proposé.

Le spectre est bien une somme de distributions de Dirac tel que le rapport entre deux raies quelconques est rationnel. Si le signal correspondant était périodique, quel serait sa période?

Cordialement,

[citron_21]

bien je dirais l'inverse de la fréquence f de chaque raie : T=n
mais supposer que le signal est périodique ne prouve pas qu'il l'est réellement...

[invité576543]

bien je dirais l'inverse de la fréquence f de chaque raie : T=n

Non. Ca c'est la période correspondant à une seule raie. A cause de la somme, ce serait le ppcm de tous les n...

Cordialement,

[citron_21]

a quoi correspond le /n² ?

[invité576543]

a quoi correspond le /n² ?

L'amplitude de la raie. J'aurais pu mettre bien d'autres choses, la seule contrainte étant que que l'énergie soit finie, c'est à dire la somme des carrés des amplitudes soit finie (ici , qui est fini).

Cordialement,