Choc en dynamique des milieux continus

[lguenhael]

Bonjour à tous,

J’aimerai résoudre un problème si possible en dynamique des milieux continus (mais ça fait un bout de temps que je n’en ai pas fait et je me demande si c’est possible dans le cas suivant).

Plus exactement, j’aimerai déterminer le champ des contraintes, des déformations et des déplacements en fonction du temps d’un parallélépipède rectangle homogène isotrope élastique linéaire animé à l’instant t=0 d’une vitesse V0 suivant le normale à l’une de ses faces.

A ce même instant (t=0) ce volume entre en contact avec un plan parfaitement rigide et fixe, orienté parallèlement à cette même face.

Afin de pouvoir rendre ce problème unidirectionnel (et donc plus simple), je néglige les effets dus au coefficient de Poisson et le suppose donc nul.

Rien que pour déterminer les conditions aux limites je bloque. En effet, dois-je considérer la vitesse de la face qui entre en contact avec le plan nulle ou égale à V0 à l’intant t=0…

Merci de me faire part de toutes remarques et éventuelles piste afin de résoudre ce problème.
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[LPFR]

Bonjour.
Je vois le problème comme un corps de votre matériau, en contact avec à un autre d'une densité et module de compression très élevée qui fait que le coefficient de transmission des ondes de pression est très proche de zéro.
On peut voir votre collision comme une onde sonore carrée (fonction de Heaviside pour les matheux) d'amplitude telle que la vitesse V des particules est égale à la votre vitesse V de collision. Comme c'est une onde carrée, toute une zone du solide se déplace à vitesse V.
Quand l'onde arrive à l'interface (votre solide entre en collision) une onde sonore de même amplitude mais de signe opposé se produit (pour maintenir l'amplitude du déplacement et de la vitesse à zéro (ou presque) au niveau de l'interface. ce front d'onde se déplace vers le haut à la vitesse du son dans le milieu. La somme de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne zéro, ce qui arrête le mouvement du matériau.
Puis, comme le corps qui tombe n'est pas d'épaisseur infinie, quand le "front d'onde" correspondant à l'arrière de l'objet à fait l'aller et retour, c'est tout l'objet qui s'éloigne (rebondit) à la même vitesse à laquelle il était arrivé.
Ce n'est pas facile à imaginer avec une plaque de tôle, mais on peut mieux l'imaginer avec un ressort hélicoïdal rebondissant sur une surface rigide.
Au revoir.

[lguenhael]

Bonjour,

Avant tout merci d’avoir répondu.

A vrai dire ce n’est pas si dur à imaginer, d’autant que j’en ai fait une simulation numérique .

Cependant je voudrai pouvoir résoudre ce système de manière analytique pour montrer justement que dans ce genre de problème le numérique (élément finis) semble avoir quelques limites…

J’imagine bien qu’il y a une histoire d’onde de choc etc… et d’ailleurs cette même simulation le confirme complètement mais je suppose que l’on peut résoudre ce problème « simple » par des lois de la mécanique de base (sans passer par du Timoshenko et compagnie) et qui ne tienne donc pas compte de l’aspect vibratoire mais qui pour autant vont permettre de le représenter et ce avec éventuellement quelques hypothèse en plus ou en moins comparé aux problèmes plus « classiques ».

Pour finir je précise que le contact, suivant la vitesse d’impact et la forme du projectile, n’aura visiblement pas forcément lieu une seule fois mais plusieurs fois par micro rebonds successifs… bref j’en di pas plus ça pourrait perturber.
Ceci dit, dans tout les cas, si notre condition limite c’est l’impossibilité pour la face en contact avec le plan infiniment rigide de bouger, alors le calcul sera bon tant que l’effort transmis par le projectile reste positif.

Enfin déjà faudrait réussir à sortir une formule de tout ça avant de parler de validité du résultat.

Cordialement.

[LPFR]

Enfin déjà faudrait réussir à sortir une formule de tout ça avant de parler de validité du résultat.

Re.
Je ne crois pas que l'on puisse faire rentrer un phénomène qui se passe en plusieurs phases différentes dans "une formule de tout ça".
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[lguenhael]

Bonsoir,

Je pense au contraire que c'est tout à fait possible.

Quand je dis une formule de tout ça je pense par exemple à une expression du déplacement pour tout point considéré du solide et en fonction de ses paramètres et du temps.

Si on a le champ de déplacement on peut en déduire les déformations.
De la même manière on peut déduire les contraintes à partir de ces déformations.

Un moyen d'y parvenir serait de faire tourner en boucle un programme élément fini en faisant varier les propriétés élastiques du matériau, sa longueur et ainsi d’obtenir les déplacements en tout point du solide et en fonction de ses paramètres et du temps qui serait enfin approchés par une fonction pour le domaine considéré.

Je l’ai déjà fait pour d’autres applications. Ce qui est moins probable en revanche c’est que ce soit possible simplement via la mécanique des milieux continus. Le but ici étant justement de se passer des éléments finis.

A voir donc.

[LPFR]

Bonjour.
Je crois que vous n'avez pas bien lu mont post #2 ou que vous ne l'avez pas compris.
Je vous ai donné la solution complète et totale du problème (en une dimension).
Si vous le la comprenez pas, je crois que j'ai perdu mon temps.
Au revoir.

[lguenhael]

Bonjour,

Je crois que vous aussi m'avez mal compris et je me réexplique donc :

Je ne cherche pas la solution du problème, je cherche à résoudre le problème de façon analytique.
La solution du problème à vrai dire je m’en fiche puisque comme je l’ai dit ça a été simulé en éléments finis donc je l’ai déjà.

Pour ce qui est de votre post #2 je trouve que c’est une très bonne manière de poser le problème et d’avoir une idée particulièrement proche de ce qui va se passer voir même que c’est exactement ce qui va se passer mais je pense (sans en être sur à 100%) que ce n’est pas exactement de cette manière que le projectile va réagir.

Pour ce qui est de la simulation numérique par éléments finis (c’est bien connu) elle ne donne qu’un résultat approché (dans le cas présent je me suis arrangé pour avoir un résultat vraiment très proche du résultat théorique réel du problème posé mais pour autant ça ne peut être le bon à 100%).

J’insiste donc sur le fait que j’ai besoin de résoudre de façon analytique ce problème que ce soit pour confirmer votre réflexion ou pour valider mes simulations numériques approchées.

Enfin j’aurai une question annexe :
Pensé vous que le projectile aura des vibrations résiduelles (aussi petites soient-elles) après le rebond ?

J’espère vraiment que vous comprenez que vous ne perdez pas votre temps mais que j’ai simplement besoin de résoudre ce problème et pas simplement d’en avoir le résultat.

Merci de votre aide.

Cordialement.

[LPFR]

Bonjour.
Si le choc était parfaitement symétrique au point de pouvoir le traiter comme une seule dimension, non. Il n'y aura pas des vibrations après le choc.
Mais dans la réalité, votre projectile ne sera pas une plaque de tôle tombant parallèlement sur une surface. Donc, vous aurez sûrement des vibrations. Et même, peut-être, des rotations.
Finalement, je ne sais pas de quel projectile il s'agit, mais suivant les cas, vous pouvez dépasser la limite élastique des matériaux, ce qui change beaucoup de choses.

Pour revenir aux conditions limites au point de contact, si la surface est inamovible (densité et module de compressibilité très grandes), la vitesse au point de contact est nulle.
Au revoir.