Bonjour,
La discussion sur le groupe d'Aristote m'a amené une réflexion sur la notion de moment cinétique, que je soumets ici.
En prenant un référentiel particulier et en le considérant comme le produit d'un espace euclidien 3D (l'espace) et d'un espace euclidien 1D (le temps), il reste une symétrie respectant le référentiel.
Ce groupe de symétrie contient des translations et des rotations spatiales.
Si on suppose que le lagrangien a ces symétries, selon Noether à chaque symétrie est associé un invariant. Par symétrie, il faut entendre "générateur infinitésimal", mais on va prendre ici la vision sous-groupe.
Si le sous-groupe de translations temporelles est unique (et défini un invariant, l'énergie) ainsi que le sous-groupe des translations spatiales (ce qui donne un invariant, la quantité de mouvement), il n'y a pas unicité d'un sous-groupe de rotations spatiales.
Chaque point de l'espace peut servir de centre à un sous-groupe de rotations spatiales, et chacun de ces sous-groupes est distinct des autres.
Ce qui amène l'idée de multiplicité des invariants liés aux rotations, un par point de l'espace.
Cette idée, bizarre à première vue, est en fait assez claire quand on considère le moment cinétique via les torseurs. Il y a bien multiplicité des invariants, mais on les groupe en un seul "objet", le moment cinétique. Cet "objet" est un torseur (un cotorseur pour une certaine définition de ce mot).
Les différents invariants de rotation sont tous reliés entre eux par les translations, parce que tous les sous-groupes de rotations spatiales sont symétriquement liés entre eux par les translations. Ce sont ces relations qui permettent de traiter les invariants "tous à la fois", de choisir de les traiter conjointement, collectivement, plutôt que un par un.
Selon cette vue, la nature de l'invariant "moment cinétique" est radicalement différente de celle de l'invariant "quantité de mouvement". Le second est un invariant unique, le premier une collection d'invariants symétriquement liés entre eux, collection dont la structure peut être abordée via la notion de torseur, et que l'on traite collectivement dans les équations.
On se retrouve ainsi avec une image satisfaisante, où les invariants s'organisent d'une manière parfaitement parallèle à l'organisation des sous-groupes.
Je ne sais pas ce que vous en pensez, mais pour moi c'est une petite pierre qui s'est mise en place, m'amenant ce que je pense être une meilleure compréhension du moment cinétique.
Cordialement,
PS :
Du coup, cela jette une lueur intéressante sur l'invariant lié aux boosts dans la symétrie de Poincaré. Pour la même raison, il ne peut pas s'agir d'un invariant simple, mais d'une collection ayant une certaine structure qui provient des autres symétries du groupe de Poincaré. Pas la moindre idée de comment cela se met en forme, mais ça paraît une approche intéressante. Doit bien y avoir de la littérature sur un tel machin.
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