Qu'est-ce qu'un tenseur? pseudovecteur?

[Gwyddon]

Cette discussion est un réel non sens, et démontre à mon avis que mariposa tu n'as strictement aucune envie d'écouter ce que les autres ont à dire. J'oserais presque dire que tu n'as pas compris ce qu'est un tenseur

Rien qu'ici, tu démontres ton absence d'écoute :

De là apparait l'association erronée entre tenseur de rang 2 et matrice. Cela est due au fait que le physicien moyen (il n'ya rien de péjoratif)associe matrice a representation d'un opérateur ou d'un changement de base.

Cette association n'a absolument rien d'erronée : il est courant de représenter une forme bilinéaire par une matrice, que ce soit en maths ou en physique (par exemple les opérateurs en mécanique quantique, le produit scalaire, etc..)


Bref moi je la quitte, ce n'est pas la peine de s'acharner ; ah au passage le cours cité par Spinfoam est un très bon cours j'ai l'impression.
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[gatsu]

Cette discussion est un réel non sens

Je suis tout à fait d'accord.

Cette association n'a absolument rien d'erronée : il est courant de représenter une forme bilinéaire par une matrice, que ce soit en maths ou en physique (par exemple les opérateurs en mécanique quantique, le produit scalaire, etc..)

En réalité on devrait peut être dire "tableau de nombres" et pas "matrice" ce terme étant consacré il me semble aux applications linéaires sur un espace vectoriel (c'est un vecteur colonne de formes linéaires en quelque sorte) mais je ne sais pas si il y a un consensus sur cette définition.

Ce polycop est à ma yeux la caricature de ce qu'il ne faut pas faire si le but est de comprendre la philosophie des tenseurs

C'est quand même super présomptueux et irrespectueux de ta part de dire ça .
Par ailleurs, à lire tes interventions, je suis content de ne pas avoir appris les tenseurs via tes méthodes pédagogiques révolutionnaires parce que sinon j'auaris rien compris.
Je tiens à préciser qu'un ensemble donné doit être muni d'une structure d'espace vectoriel (addition + multiplication externe) pour en être un, rien ne nous empeche a priori de considerer l'ensemble des formes multilinéaires sur un espace vectoriel donné sans munir cet ensemble d'une quelconque structure (même si c'est facile à faire).
Ta philosophie des tenseurs, à mon sens, est beaucoup trop associée à une vision théorie des groupes pour qu'elle puisse servir de socle de base à des étudiants découvrant les tenseurs.

[mariposa]

Cette association n'a absolument rien d'erronée : il est courant de représenter une forme bilinéaire par une matrice, que ce soit en maths ou en physique (par exemple les opérateurs en mécanique quantique, le produit scalaire, etc..)

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Un petit peu d'argument d'autorité pourrait t'amener a réfléchir. Lisons Feymann electromagnetisme tome II. Chapitre 31, intitulé tenseurs.
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31-1 -Le tenseur de polarisabilité


Il introduit les tenseurs a travers des mesures de polarisabilité sur un cristal et montre que: " le comportement diélectrique du cristal est décrit completement par neufs grandeurs que l'on peut representer par le symbole ai,j.

31-2-Transformations des composantes d'un tenseur.

Il montre comment se transforment les composantes dans un changement de base.
;
31-2- Ellipsoïde d'énergie.
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Il écrit:

On represente souvent un tenseur en groupent les 9 cofficients dans un tableau entre crochets:

Il dessine le tableau

Ensuite il est écrit:

Pour les axes principaux a,b,c seuls les termes de la diagonale ne sont pas nuls; nous disons que "le tenseur est diagonal"..[/

. J'attire ton attention sur le fait que Feymann:

1- ne parle pas de matrice mais de tableau, justement pour ne pas assimiler un tenseur à une matrice.
.
2- Il met entre guillements l'expression tenseur diagonal pour les mêmes raisons car strictement un tenseur diagonal ne veut rien dire, puisqu'un tenseur ce n'est pas une matrice.

Par ailleurs en physique du solide on écrit par exemple.

J = Sigma.E avec une double flèche sur le sigma pour signifier qu'il s'agit d'un opérateur. Par contre si Sigma était un opérateur et donc representé par une matrice on ne met pas de fléche.
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Je suis convaincu que je comprend rien aux tenseurs, une situation fort regretable que je partage avec Feymann. Nous refusons tous les deux d'assimiler un tenseur de rang 2 a une matrice. Feymann dit que l'on peut representer un tenseur de rang 2 par un tableau. Serait-ce une erreur de traduction?

[Gwyddon]

On est bien d'accord, tu as une vision tronquée. Je te parle de définition mathématique, je te parle de formes bilinéaires, etc...

Tu sais, avant de faire de la physique (théorique) j'ai fais aussi 3 ans de maths. Va dire aux mathématiciens qu'ils ne savent pas ce qu'est un tenseur ou qu'ils se trompent en disant qu'on peut représenter un endomorphisme ou une forme bilinéaire par une matice, ça va les faire rigoler

[gatsu]

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Nous refusons tous les deux d'assimiler un tenseur de rang 2 a une matrice. Feymann dit que l'on peut representer un tenseur de rang 2 par un tableau. Serait-ce une erreur de traduction?

Tu soulignes seulement ce que j'ai suggéré dans mon post précédent et par ailleurs cela relève d'avantage d'un abus de langage (où le calificatif "abus" est à justifier d'ailleurs).
Tant mieux si Feynman dit ça dans son bouquin car moi aussi je suis d'accord avec lui mais il n'en est pas moins vrai qu'il n'introduit apparemment pas les tenseurs comme toi tu l'aurais fait (d'après tes messages précédents).

Par ailleurs je ne suis pas sûr que ces exemples soient forcément les mieux choisis car à mon avis le tenseurs de polarisabilité et le tenseur diélectrique, si le milieu est homogène sont représentés par des matrices (de vrais endormorphismes). C'est juste que dans le cas général on ne parle pas de champ de matrice mais de champ de tenseur.

[mariposa]

Je suis tout à fait d'accord.


En réalité on devrait peut être dire "tableau de nombres" et pas "matrice" ce terme étant consacré il me semble aux applications linéaires sur un espace vectoriel (c'est un vecteur colonne de formes linéaires en quelque sorte) mais je ne sais pas si il y a un consensus sur cette définition.

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Absolument d'accord. C'est ce que je m'efforce de repeter depuis le début. Il s'agit d'un tableau de nombres. Voir Mon post précédent sur le langage employé par Feymann.
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Par ailleurs j'ai montré que le même tenseur écrit dans sa forme cartésienne et dans sa forme tenseur irréductible. seul le premier peut de mettre sous la forme d'un tableau. Quelquesoit la representation d'un tenseur c'est fondamentalement un vecteur colonne (ou ligne). Feymann insiste là dessus dans son livre comme je le fais moi-même.


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Par ailleurs, à lire tes interventions, je suis content de ne pas avoir appris les tenseurs via tes méthodes pédagogiques révolutionnaires parce que sinon j'auaris rien compris.

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C'est ton choix et je le respecte. Cependant le chapitre de Feymann sur les tenseurs ressemble furieusement à ma démarche dans le sens on j'enseignais les tenseurs (en physique solide) comme une nécessité tirée des résultats expérimentaux. Des enseignants ont souvent dit que feymann n'était pas compris. C'est possible.
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Ceci dit, après avoir compris la nature mathématique d'un tenseur et son rapport a la réalité, on peut monter d'un ou de 2 niveaux d'abstraction. Comme toujours je préfére en tant que physicien procéder par induction plus que par déduction. La physique ce n'est pas des maths appliqués. Feymann a passé beaucoup de temps a monter des postes de radio (moi-aussi!) ce qui ne l'a pas empéché de devenir ce qu'il est.

Ta philosophie des tenseurs, à mon sens, est beaucoup trop associée à une vision théorie des groupes pour qu'elle puisse servir de socle de base à des étudiants découvrant les tenseurs.

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Il ne s'agit pas d'introduire les tenseurs a partir des groupes. Par contre une bonne maîtrise des tenseurs facilitent grandement la TRG.
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Un exemple qui devrait t"'interesser.
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Partons de l'équation de Dirac

[gamma.d/dx- m].Fi

1- Raisonnement tensoriel.

vecteur d/dx se transforme comme un vecteur (tenseur de rang 1) de Minkowski (M).

Comme m est un scalaire alors les 4 matrices gamma forment un tenseur de rang 1.
.
On peut d'amuser a former le produit tensoriel d'espace gamma*gamma ce qui donne un espace vectoriel de dimension 16.

On enchaine:
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2- Raisonnement de groupes.
.
L'espace tensoriel précedent de dimension 6 permet de construire une representation réductible de SO(1,3). tout naturellement on décompose cette representation réductible en representation irréductibles.
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On trouve:

scalaire dimension 1
les gamma nu dimension 4
sigma(mu,nu) qui est un tenseur antisymétrique de rang 2 dimension 6
gamma(mu)gamma5 speudovecteur de dimension 4
pseudoscalaire de dimension 1

On a bien 1 +4 +6 +4 +1 = 16

On note l'apparition de sigma (mu,nu) qui est un tenseur de rang 2 qui se transforment comme les générateurs du groupe. ce qui permet de construire le groupe par exponention.

Cet exemple pour seulement montrer que les tenseurs et la TRG c'est le même style de raisonnement.

[Gwyddon]

Une matrice par définition est un tableau de nombre... La définition formelle d'une matrice réelle n x n par exemple est la suivante :

élément de

[mariposa]

On est bien d'accord, tu as une vision tronquée. Je te parle de définition mathématique, je te parle de formes bilinéaires, etc...

Tu sais, avant de faire de la physique (théorique) j'ai fais aussi 3 ans de maths. Va dire aux mathématiciens qu'ils ne savent pas ce qu'est un tenseur ou qu'ils se trompent en disant qu'on peut représenter un endomorphisme ou une forme bilinéaire par une matice, ça va les faire rigoler

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Où as-tu vu que je disais que les mathématiciens ne comprennait pas ce que sont des tenseurs? Ce que je dis c'est que les physiciens (en général) n'ont pas compris ce qu'est un tenseur pour cause d'introduction prématuré d'abstractions.. C'est un constat expérimental.
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Maintenant je ne me place pas sur le plan physique théorique ou sur le plan mathématique mais sur un plan général pour physiciens. Il est bien entendu que les besoins sont différents pour un expérimentateur, un physicien théoricien, un mathématicien.
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Comme je l'ai écris moi ou Feymann avont enseigné les tenseurs avec les mains, cad avec un rudiment de mathématiques, ce qui n'empéche pas de reprendre le problème à un niveau d'abstraction supérieur, c'est à dire procéder par couches. On fait simple d'abord, compliqué ensuite, encore plus compliqué ensuite.
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Mon souci en général, quelquesoit le domaine, est de bien relier expérience est théorie. Personnement j'ai du travailler expérimentalement pendant 15 ans dont 4 ans de cristallogènèse. Je suis devenu "théoricien" dans la deuxième partie de vie professionnelle en passant tout mon temps à fabriquer des modèles (croissance cristalline, catalyse de surface, pulvérisation cathodique, RPE, photoluminescence,ODMR, struture de bandes de Rh2As pour inventer un nouveau type de supraconductivité) pour finir a traiter le problème à N corps d'une impureté de transition dans un semiconducteur. Ce dernier problème qui est "l'oeuvre" de ma vie fait appel a la TRG à un niveau sophistiqué. Tout çà pour dire que j'ai la préoccupation permanente de lié théorie et expérience dans l'enseignement comme dans la recherche.
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Aparramment toi et d'autres ont des ipréoccupations physique théorique et il est vrai que je ne travaille sur ce mode là. Pour ma part je prends dans les mathématiques uniquement la partie utile (utilisable). C'est en remarquant que la TRG est indissociable de la MQ que je préconise de traiter ce corpus très tôt en visant l'essentiel. Point besoin dans un premier temps de savoir ce qu'est un groupe distingué etc..
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Par ailleurs regarde le livre de APPEL qui est normalien, agrégé de mathématiques et docteur en sciences phyique.

Sa présentation mathématique est relativement douce. En particulier il attire l'attention dès la première page 346 sur le fait que ce qui importe dans un vecteur c'est son comportement dans un changement de base. c'est cette propriété là qui introduit le concept de tenseur. C'est ce que je ne cesse de répèter:

Dis moi ton comportement dans un changement de base je de dirais quel est la nature tensorielle du vecteur.
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Quand on a compris çà on est en partie armé pour la TRG.

[Gwyddon]

Je ne remets pas en cause tout ça. Par contre te voir dire que des définitions sont fausses, je ne trouve pas ça normal.

Ce n'est pas parce que c'est un point de vue différent du tien qu'il est nécessairement faux. Or sur ce fil, tu as remis en cause des définitions basiques (par exemple en affirmant que dire que l'on peut représenter un tenseur d'ordre 2 par une matrice est erroné), tout simplement parce qu'elles ne correspondaient pas à ton apprentissage des choses, et je trouve ce blocage intellectuel fort dommageable.

[Rincevent]

Quelquesoit la representation d'un tenseur c'est fondamentalement un vecteur colonne (ou ligne). Feymann insiste là dessus dans son livre comme je le fais moi-même.

Feynman s'adresse ici à des étudiants de "bas niveau"... vu le peu de math que voient les étudiants "de base" aux Us, normal qu'il parle pas de forme multilinéaire (en plus, malgré tout le respect qui lui est dû, il n'a jamais été parmi les physiciens à la pointe niveau "mathématique moderne", en particulier pour tout ce qui touche à la géométrie différentielle)... mais un tenseur est bel et bien avant tout défini comme une forme multilinéaire. Tout ce que tu défends, c'est un point de vue dépassé depuis 50 ans... mais les physiciens sont longs à la détente dès que ça touche aux maths donc tu es assez représentatif en fait et ce n'est absolument pas une critique ou une "agression" de ma part

hier encore j'entendais un physicien théoricien reconnaître qu'il avait fallu plus de 10 ans pour que lui et les autres personnes faisant le même genre de trucs que lui comprennent qu'un mathématicien (qui s'acharnait à leur dire que leur méthode ne pouvait absolument pas marcher) avait raison...

La physique ce n'est pas des maths appliqués.

non, mais savoir reconnaître quelles sont les "bonnes propriétés" mathématiques d'une grandeur associée à un "objet physique" est très important. Le point de vue moderne (géométrique car indépendant de la notion de base ou de système de coordonnées) sur les tenseurs est très important en ce sens où (je donne juste un exemple) il rentre naturellement dans le cadre de la formulation en terme d'espaces fibrés des théories de jauge ce qui a permis (entre autres choses) de comprendre pour de bon l'histoire du monopole de Dirac et a conduit à d'importants résultats de QFT non-perturbative.

Cet exemple pour seulement montrer que les tenseurs et la TRG c'est le même style de raisonnement.

il est plus correct de dire que l'étude des propriétés des tenseurs mène naturellement à celle de la TRG. Mais les tenseurs ne se limitent pas qu'à ça.

[Gwyddon]

Au passage, mon but n'est pas ici d'agresser quiconque. J'aimerais juste que tous les points de vue soient écoutés avec la même rigueur

[mariposa]

Tant mieux si Feynman dit ça dans son bouquin car moi aussi je suis d'accord avec lui mais il n'en est pas moins vrai qu'il n'introduit apparemment pas les tenseurs comme toi tu l'aurais fait (d'après tes messages précédents).

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Du point de vue de l'apprentissage tu ne peux pas applaudir à la fois au cours de Feymann et celui de polytechnique. Ils sont pédagogiquement aux antipodes.
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Par ailleurs c'est comme Feymann que j'enseignais les choses des tenseurs. C'est dommage que je n'ai plus de traces. En plus ce n'était pas ma source d' insipration qui elle provenait de mes travaux de recherche en semiconducteurs. Il y avait donc le tenseur de conductivité, le tenseur des contraintes, le champ magnétique et surtout les ondes polarisées. Bref tous ce qui intervient traditionnement dans l'étude des semiconducteurs. Les exemples étaient différents mais la méthode rigoureusement la même.

Par ailleurs je ne suis pas sûr que ces exemples soient forcément les mieux choisis car à mon avis le tenseurs de polarisabilité et le tenseur diélectrique, si le milieu est homogène sont représentés par des matrices (de vrais endormorphismes). C'est juste que dans le cas général on ne parle pas de champ de matrice mais de champ de tenseur.

Dans la pratique les matériaux sont homogènes ou considérés comme tel. Par contre s'ils sont inhomogènes il y a un champ de tenseurs. Je ne crois aujourd'hui que l'on sache traiter la propagation de la lumière dans un milieu inhomogène et tensoriel.

[gatsu]

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Du point de vue de l'apprentissage tu ne peux pas applaudir à la fois au cours de Feymann et celui de polytechnique.

Pourquoi pas ?

Ils sont pédagogiquement aux antipodes.

Comme l'a justement souligné Rincevent, les deux cours ne sont pas adressée à la même polutation. Par ailleurs, le passage que tu nous as cité de feynman donne des exemples de ce qu'est un tenseur mais ne nous dit pas ce que c'est "fondamentalement".

[mariposa]

Pourquoi pas ?

Comme l'a justement souligné Rincevent, les deux cours ne sont pas adressée à la même population.

Bien entendu les 2 cours ne sont pas du même niveaux. D'après toi faut-il commencer par le plus simple ou le plus compliqué? Pour moi il faut commencer par le plus simple.

Par ailleurs, le passage que tu nous as cité de feynman donne des exemples de ce qu'est un tenseur mais ne nous dit pas ce que c'est "fondamentalement".

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C'est profondémment inexcate. Feymann prend le problème expérimental de la polarisation (moi je prenais plutôt la conductivité) pour construire le concept mathématique de tenseur.. En prenant l'exemple du tenseur d'élasticité il introduit un tenseur de rang 4. Il met donc en évidence la forme multilinéaire et le jeu de ses representations.
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Ce qui manque serait de terminer le chapitre en écrivant:

Résumons ce que nous avons appris et formalisons-le. Il pourrait donc finir sur le thème de la representation des formes multilinéaires. après quoi dans un nouveau cours on peut commencer par l'expression:


Soit f la forme multinéaire sur les espaces X,Y,Z,W... où X, Y sont des espaces vectoriels sur le corps K (R,C).

Bla Bla ....

[gatsu]

Bien entendu les 2 cours ne sont pas du même niveaux. D'après toi faut-il commencer par le plus simple ou le plus compliqué? Pour moi il faut commencer par le plus simple.

Ils ne sont pas du même niveau mathematique, j'aurais dû préciser. Ce n'est pas pour autant que l'une des approches est plus simple que l'autre, ça n'a rien à voir je trouve.
On peut considérer le point de vue d'un physicien qui tente de créer des outils formels pour représenter ce qu'il observe ou celui du mathematicien (ou physicien un peu matheu) qui reconnait les propriétés de tel ou tel objet mathematique qu'il connait dans ce qu'il observe. Dans les deux cas si c'est bien fait le résultat est le même.

[mariposa]

Feynman s'adresse ici à des étudiants de "bas niveau"... vu le peu de math que voient les étudiants "de base" aux Us, normal qu'il parle pas de forme multilinéaire (en plus, malgré tout le respect qui lui est dû, il n'a jamais été parmi les physiciens à la pointe niveau "mathématique moderne", en particulier pour tout ce qui touche à la géométrie différentielle)...

mais un tenseur est bel et bien avant tout défini comme une forme multilinéaire.

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Mais où ai-je donc écris le contraire? Le problème de cette discussion est comment apprendre et comprendre la nature des tenseurs (j'ajoute le rapport au réel).

Est-ce raisonnable de partir soit une forme multilinéaire Tpq définie sur Epfois E*fois?
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1- Pour le mathématicien c'est logique, on formule une assertion et on déroule. la démarche est inductive
.
2- pour un physicien "standard" je pense que non. Il faut induire le concept de tenseur.
.
3- pour un physicien théoricien ou un expérimentateur exigeant, il faut commencer par 2 pour reprendre en 1.

Un mathématicien peut très bien s'interesser par jeu (ex abrupto) aux formes multilinéaires sur le corps des....octonions, ce qui n'est pas le cas pour le physicien théoricien qui doit d'abord partir d'une problématique physique. Cela au moins dans les principes.

Tout ce que tu défends, c'est un point de vue dépassé depuis 50 ans...

Seulement?

mais les physiciens sont longs à la détente dès que ça touche aux maths donc tu es assez représentatif en fait et ce n'est absolument pas une critique ou une "agression" de ma part

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Je ne le comprends pas comme une critique car je suis largement d'accord avec çà. D'ailleurs tout le monde peut témoigner ici sur mon militantisme pour intégrer la TRG très tôt dans un cours de MQ et c'est un "combat" qui a commencé il y a au moins 25 ans. Ce que d'ailleurs fait un peu Le Bellac dans son dernier livre.
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En ce qui concerne les maths je m'intéresse entre autres à la théorie des noeuds appliquèe à la physique car je voudrais comprendre l'équation de Yang-Baxter. Et il y a beaucoup, beaucoup de tenseur. En tant que physicien du solide je ne crois pas qu'il y a beaucoup de mes collègues qui s'intéresent a des sujets aussi apparamment lointain.

hier encore j'entendais un physicien théoricien reconnaître qu'il avait fallu plus de 10 ans pour que lui et les autres personnes faisant le même genre de trucs que lui comprennent qu'un mathématicien (qui s'acharnait à leur dire que leur méthode ne pouvait absolument pas marcher) avait raison...

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C'est général, le monde scientifique est topologiquement un agrégat d'isolats. Les connaissances transverses voyagent lentement à travers quelques individus qui connectent. Je me suis rendu compte récemment que Weyl avait dés le début de la formalisation de la MQ développé la TRG mais les grands de l'époque n'avaient capté.

il est plus correct de dire que l'étude des propriétés des tenseurs mène naturellement à celle de la TRG. Mais les tenseurs ne se limitent pas qu'à ça.

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D'accord pour cette formulation. Quand aux autres branches je pense que tu penses couplage tenseur-géométrie différentielle.[QUOTE]. On pourrait rajouter la théorie des noeuds et certainement bien autre chose. Il n'en reste pas moins qu'avant de prendre une "spécialité" il y a un tronc commun dont on peut éventuellement discuter les détails de stratégie pédagogique.

[invite24327a4e]

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Mais où ai-je donc écris le contraire? Le problème de cette discussion est comment apprendre et comprendre la nature des tenseurs (j'ajoute le rapport au réel).

Est-ce raisonnable de partir soit une forme multilinéaire Tpq définie sur Epfois E*fois?
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1- Pour le mathématicien c'est logique, on formule une assertion et on déroule. la démarche est inductive
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2- pour un physicien "standard" je pense que non. Il faut induire le concept de tenseur.
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3- pour un physicien théoricien ou un expérimentateur exigeant, il faut commencer par 2 pour reprendre en 1.

Un mathématicien peut très bien s'interesser par jeu (ex abrupto) aux formes multilinéaires sur le corps des....octonions, ce qui n'est pas le cas pour le physicien théoricien qui doit d'abord partir d'une problématique physique. Cela au moins dans les principes.

Je ne suis pas du tout d'accord avec ta conception de la "compréhension d'un concept".
Personnellement, je vois mal comment on peut comprendre un objet sans même savoir ce qu'il est. Or, un tenseur, c'est avant tout une forme multilinéaire défini sur un espace vectoriel E.

La définition ne fait pas ressortir ses propriétés ? Certes, et alors ? L'objet n'est pas ses propriétés.
Que l'on insiste ensuite sur le pourquoi d'une telle utilisation en physique, pourquoi pas, mais la moindre des choses est de savoir de quel objet on parle non ?