Qu'est-ce qu'un tenseur? pseudovecteur?

[invite7df84ab6]

Bonjour à tous, je sort à peine d'un cours d'électromagnétisme et je me pose quelques petites questions...

-Le prof a parlé de tenseurs, je n'ai pas trop compris de quoi il parlait
-De plus il a précisé que les champs de scalaires ont un rang 0, alors que les champs de vecteurs et de pseudo-vecteurs ont un rang 1 (je ne comprend pas non plus ce qu'il a voulu dire)
-Enfin, je n'arrive pas à me souvenir de la différence entre un vecteur et un pseudovecteur... Pourquoi ont ils une direction perpendiculaire?

Voila voila...
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[invitea774bcd7]

Un tenseur d'ordre 0 est un nombre.
Un tenseur d'ordre 1 est un vecteur. On a besoin d'1 indice pour déterminer une valeur de ce tenseur.
Un tenseur d'ordre 2 est une matrice par exemple. On a besoin de 2 indices pour déterminer une valeur de ce tenseur.
Un tenseur d'ordre 3 est un tenseur d'ordre 3 . On a besoin de 3 indices pour déterminer une valeur de ce tenseur. Pense à une matrice dont chaque élément est un vecteur. Ou l'inverse : un vecteur dont chaque élément est une matrice.
Etc…

Un pseudo vecteur est un vecteur qui ne change pas de sens par l'opération d'inversion par exemple. Ce sont les vecteurs définis comme produit vectoriel de 2 "vrais" vecteurs. le moment cinétique par exemple…

[invite93279690]

Un tenseur d'ordre 0 est un nombre.
Un tenseur d'ordre 1 est un vecteur. On a besoin d'1 indice pour déterminer une valeur de ce tenseur.
Un tenseur d'ordre 2 est une matrice par exemple. On a besoin de 2 indices pour déterminer une valeur de ce tenseur.
Un tenseur d'ordre 3 est un tenseur d'ordre 3 . On a besoin de 3 indices pour déterminer une valeur de ce tenseur. Pense à une matrice dont chaque élément est un vecteur. Ou l'inverse : un vecteur dont chaque élément est une matrice.
Etc…

Un pseudo vecteur est un vecteur qui ne change pas de sens par l'opération d'inversion par exemple. Ce sont les vecteurs définis comme produit vectoriel de 2 "vrais" vecteurs. le moment cinétique par exemple…

Les définitions que tu donnes sont correctes au sens des espaces vectoriels mais on peut aussi définir ces grandeurs vis à vis de leur transformation sous l'action d'un groupe dans les espaces vectoriels rerspectifs (par exemple au hazard le groupe de Lorentz).

[invite7df84ab6]

OK super pour tes exlications. Merci ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Un tenseur d'ordre 0 est un nombre.
Un tenseur d'ordre 1 est un vecteur. On a besoin d'1 indice pour déterminer une valeur de ce tenseur.
Un tenseur d'ordre 2 est une matrice par exemple. On a besoin de 2 indices pour déterminer une valeur de ce tenseur.
Un tenseur d'ordre 3 est un tenseur d'ordre 3 . On a besoin de 3 indices pour déterminer une valeur de ce tenseur. Pense à une matrice dont chaque élément est un vecteur. Ou l'inverse : un vecteur dont chaque élément est une matrice.
Etc…

Un pseudo vecteur est un vecteur qui ne change pas de sens par l'opération d'inversion par exemple. Ce sont les vecteurs définis comme produit vectoriel de 2 "vrais" vecteurs. le moment cinétique par exemple…

Bonsoir,

Il y a beaucoup de discussions sur ce que sont les tenseurs. Ce que tu écris n'est pas juste. Dans tous les cas les tenseurs sont des vecteurs (voir la définition de ce qu'est un vecteur et un espace vectoriel). Ce qui définit le rang d'un tenseur (0,1.2, ...) c'est le comportement de ses composantes dans un changement de base. Lorsque l'on presente un tenseur de rang 2 par une matrice N*N cela represente les composantes d'un vecteur de dimension N2 (Par exemple Si la matrice est 3*3 le tenseur a 9 composantes). De même un tenseur de rang 0 est un vecteur a 1 composante et la composante de ce vecteur reste invariante par changement de base.

[invite8c514936]

Ce que tu écris n'est pas juste. Dans tous les cas les tenseurs sont des vecteurs (voir la définition de ce qu'est un vecteur et un espace vectoriel)

Certes, mais la réponse de guerom00 a le mérite d'être claire pour quelqu'un qui ne connait pas d'avance les subtilités que tu évoques. Pour beaucoup de gens, un vecteur c'est un petit truc avec une flèche, dont on peut éventuellement caractériser les coordonnées par une matrice colonne...

[invite7ce6aa19]

Certes, mais la réponse de guerom00 a le mérite d'être claire pour quelqu'un qui ne connait pas d'avance les subtilités que tu évoques. Pour beaucoup de gens, un vecteur c'est un petit truc avec une flèche, dont on peut éventuellement caractériser les coordonnées par une matrice colonne...

Bonjour,

La réponse est claire mais elle est fausse. Je m'explique très succintement.

Tu écris un vecteur c'est un truc avec une petite flèche tel que l'on l'apprend au lycée. Effectivement ceci reste totalement vrai lorsque cela est axiomatisé a l'université. Ce qui est nouveau est que les vecteurs avec des flèches peuvent être des objets de nature différentes. Ce peut être des opérateurs, des matrices et notamment des tenseurs.

Il faut donc comme tu le dis très justement écrire et surtout penser un tenseur (quequesoit le rang) comme un vecteur representé par une colonne de composantes.
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On pourrait dire que pour un tenseur de rang 2 on peut le representer par une matrice carré. C'est vrai sauf que cela amène à penser que toute matrice est un tenseur et cela est faux. Pour le faire sentir voilà un exemple simple.
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Personne n'aurait l'idée d'ajouter un champ électrique et un champ magnétique qui sont l'un et l'autre des vecteurs. La raison évoquée est qu'ils ne sont de la même unité. Certes mais je peux les rendre adimensionné. La raison fondamentale est autre:
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La raison est que le vecteur champ électrique est un tenseur de rang 1 alors que le vecteur champ magnétique est un tenseur antisymétrique de rang 2. Cela veut dire que leurs composantes respectives ne se transforment pas de la même façon dans un changement de base. Autrement dit suivant la base que l'on utilise on aura pour l'addition un vecteur différent que l'on peut symboliquement écrire:

E (quelquesoit la base) + B (quelquesoit la base)= V (dépendant de la base)

Dit autrement E et B n'appartiennent au même espace vectoriel et on ne peut donc les ajouter.
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Pour insister:

1- Un tenseur c'est un vecteur muni de propriété spéciale lors d"un changement de base qui définit le rang du tenseur.
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2- On peut toujours representer les tenseurs de rang 2 par des matrices.

3- Les matrices en général ne representent pas des tenseurs et l'on ne peut donc pas rendre équivalent tenseur de rang 2 et matrice carré.

[invitea774bcd7]

Bah une matrice c'est un vecteur dont chaque composante est un vecteur, oui
Je préfère le dire comme ça car tu ne parles que de matrices carrées alors que c'est plus général que ça

[invite7ce6aa19]

Bah une matrice c'est un vecteur dont chaque composante est un vecteur, oui

. Il y a une idée mais le rapprochement avec une matrice est faux.

Ce que tu peux dire c'est qu'un tenseur de rang 3 (par exemple) c'est un vecteur dont chaque composante est lui-même un vecteur. Ce dernier ayant lui-même des composantes qui sont des vecteurs avec leur propre composante. Le tenseur apparait ainsi comme un assemblage de trois poupée gigogne qui est peut-être representée par une matrice-cube selon 3 dimensions (qui n'est pas la longueur de l'arète).
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Pour un tenseur de rang 2 il y a 2 poupées gigognes et donc representée par une matrice. Mais attention une matrice ne represente pas en général en tenseur. Le coeur de la compréhension des tenseurs est de comprendre qu'il s'agit d'une catégorie de vecteurs qui ont des propriétés spéciales lors de changement de base.

Je préfère le dire comme ça car tu ne parles que de matrices carrées alors que c'est plus général que ça

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A un niveau élémentaire les tenseurs sont construits sur le même espace comme produit tensoriels d'espace. Pour 2 dimensions les matrices sont donc automatiquement carrées. Donc avant de généraliser il faut d'abord me semble-t-il comprendre ce qui est le plus simple.
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par ailleurs, sous un certain angle, la généralisation des tenseurs c'est la théorie de representations des groupes (TRG). Il est donc important de comprendre la gymnastique intelectuelle des tenseurs pour comprendre la TRG.

[invite24327a4e]

Mouais. Au sens des espaces vectoriels, pour un espace vectoriel E de dimension n et pour son dual E*, on appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant toute formes multilinéaire T définie sur où est l'ordre du tenseur.

Un tenseur covariant est donc un vecteur de E, et un tenseur contravariant un vecteur de E*, donc une forme linéaire sur E.

[invite7ce6aa19]

Mouais. Au sens des espaces vectoriels, pour un espace vectoriel E de dimension n et pour son dual E*, on appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant toute formes multilinéaire T définie sur où est l'ordre du tenseur.

Un tenseur covariant est donc un vecteur de E, et un tenseur contravariant un vecteur de E*, donc une forme linéaire sur E.

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Bonjour,

C'est justement en abordant les tenseurs ainsi que les gens ne comprennent pas les tenseurs par le simple fait que les propriétés de transformation par changement de base ne sont pas mises en avant. Hors en pratique c'est ce qui compte. Que le tenseur soit T(p,q) fait que c'est bien un vecteur et en aucune façon une matrice ou super-matrice.
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Pour comprendre rapidement ce qu'est un tenseur mieux vaut apprendre à faire le produit tensoriel de 2 vecteurs de R3 qui définit un espace vectoriel de dimension 9 et montrer que cet espace se décompose en 3 sous-espaces invariants:

1 espace de dimension 3 qui comprend tous les tenseurs antisymétriques de rang 2. (qui correspond usuellement au produit vectoriel)

1 espace de dimension 1 qui définit le tenseur de rang 0 (qui correspond au produit scalaire et qui montre sans ambiguité aucune que le tenseur de rang 0 est un vecteur et non pas un scalaire comme trop souivent écrit).

Enfin un espace de dimension 5 qui définit un tenseur symétrique de rang 2 et de trace nulle (respectivement a sa representation matricielle).

On note que 9 = 1 + 3 + 5 fort heureusement.

[invite93279690]

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Bonjour,

C'est justement en abordant les tenseurs ainsi que les gens ne comprennent pas les tenseurs par le simple fait que les propriétés de transformation par changement de base ne sont pas mises en avant. Hors en pratique c'est ce qui compte. Que le tenseur soit T(p,q) fait que c'est bien un vecteur et en aucune façon une matrice ou super-matrice.

Je ne comprends pas...sa définition des tenseurs est correcte, où est le problème ?
Le critère de tensorialité que tu évoques est important mais découle de sa définition a priori.

1 espace de dimension 1 qui définit le tenseur de rang 0 (qui correspond au produit scalaire et qui montre sans ambiguité aucune que le tenseur de rang 0 est un vecteur et non pas un scalaire comme trop souivent écrit).

Non c'est toi qui lit mal, guerom00 a dit que c'était un nombre et un nombre réel par exemple est un vecteur de R au sens des espaces vectoriels.

[invitea774bcd7]

Vous fachez pas, hein…
Moi, j'ai répété bêtement ce qu'on m'a appris. Et ce sont des physiciens qui m'ont enseigné ça, pas des mathématiciens. Alors c'est peut-être pas des plus rigoureux, vous savez comment c'est…

[invite9c9b9968]

Et paf, encore une discussion qui part en sucette parce que les gens ne se comprennent pas...

mariposa tu as un ton bien dogmatique, en disant que gerom a faux. Il n'a pas précisé son cadre d'application, mais il n'a sûrement rien dit de faux. Il a juste une approche différente de la tienne, ce qui ne veut pas dire qu'elle est fausse.

Bref on a déjà discuté de ça des centaines de fois. Je peux t'affirmer en tout cas que ton approche, d'un point de vue pédagogique, n'est pas forcément la meilleure d'ailleurs.

[invite7ce6aa19]

Je ne comprends pas...sa définition des tenseurs est correcte, où est le problème ?

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Je ne met en cause cette forme de définition (il faudrait vraiment dingue de remettre en cause les mathématiques). Le problème est de comprendre ce que sont les tenseurs pour pouvoir les mettre en oeuvre concrètement quelquesoit le domaine de physique.

Le critère de tensorialité que tu évoques est important mais découle de sa définition a priori.

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même commentaire que précédemment, rien n'est faux, le problème est ailleurs. Ce que je dis c'est de de ne pas perdre de vue qu'un tenseur est un vecteur dont les composantes sont fondamentale en colonnes comme l'a dit deep-turtle (et non sous forme de matrice)

Non c'est toi qui lit mal, guerom00 a dit que c'était un nombre et un nombre réel par exemple est un vecteur de R au sens des espaces vectoriels.

Il y a quelquechose qui ne va pas dans cette expression puisqu'il nya aucune référence qu changement de base, donc tu ne dis rien sur la caractère tensoriel. Je m'explique:

Supposons que tu as un repère (O x,y,z) et tu t'intèresses aux seules rotations autour de l'axe z. d'un vecteur "classique" dans le plan x,y. Ce vecteur est un tenseur de rang 1 au vu de son comportement dans un changement de base. Par contre un vecteur le long de l'axe z est un tenseur de rang zéro au vu de son comportement par changement de base: Le tenseur de rang zéro est bien un vecteur (il possède une direction dans l'espace) et un nombre qui est son module. Un tenseur de rang zéro est bien un vecteur et non un nombre.
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Bien entendu cet exemple ne presente aucun interet. Ca devient plus amusant lorsque l'on fait des produit tensoriels d'espace vectoriels.
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La philosophie des tenseurs se généralise dans le cadre de la TRG. par exemple les tenseurs de rang zéro sous-tendent les representations triviales.

[invite9c9b9968]

Il y a quelquechose qui ne va pas dans cette expression puisqu'il nya aucune référence qu changement de base, donc tu ne dis rien sur la caractère tensoriel.

Nul besoin d'invoquer un changement de base ou une base, c'est une définition intrinsèque. On peut tout à fait travailler sur les espaces vectoriels sans faire appel aux bases.

De même on peut introduire le concept d'espace tensoriel sans faire appel à des bases.

Je le répète, c'est juste un autre point de vue.

[invite7ce6aa19]

Vous fachez pas, hein…
Moi, j'ai répété bêtement ce qu'on m'a appris. Et ce sont des physiciens qui m'ont enseigné ça, pas des mathématiciens. Alors c'est peut-être pas des plus rigoureux, vous savez comment c'est…

Non il ny a aucune raison de se facher...
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Les tenseurs font partie des bêtes noires de l'enseignement pour physiciens. soient ils recoivent un cours plutôt mathématicien. Dans ce cas cela ne débouche sur rien car les applications sont éloignées voire inexistentes. L'expérience prouve (dans la plupart des cas) que dès lors que l'on parle d'espace dual et donc de forme çà marche pas.
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D'un autre coté les tenseurs apparaissent en plein milieu d'un cours de physicien. C'est tellement "concret" que cela laisse des traces superficielles.

Très souvent on entend dire ce que tu as écris: un teneur de rang zéro c'est un nombre, un tenseur de rang 1, un vecteur, un tenseur de rang 2 une matrice etc..
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Il n'y a qu'a noter le nombre de fois qu'un forumeur a posé la question: C'est quoi en tenseur? Cela prouve que c'est mal enseigné ou que c'est une notion difficile pour un physicien (en fait un peu des 2).
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Le fait que les tenseurs ne soient pas (mal) compris complique sérieusement l'apprentissage de la TRG et c'est dommage.

[invite7ce6aa19]

Nul besoin d'invoquer un changement de base ou une base, c'est une définition intrinsèque.

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Pour connaitre la nature tensoriel d'un vecteur il faut étudier son comportement dans un changement de base. Ce n'est pas un point de vue, c'est ainsi.

On peut tout à fait travailler sur les espaces vectoriels sans faire appel aux bases.

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Absolument mais où sont les tenseurs?

De même on peut introduire le concept d'espace tensoriel sans faire appel à des bases.

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Certes mais dans ce cas comment techniquement fais-tu pour trouver les sous-espaces invariants?

Je le répète, c'est juste un autre point de vue.

C'est comme la choucroute, on n'aime ou on n'aime pas.

[invitea774bcd7]

Eh, chuis désolé hein… J'étais loin de penser que ce sujet était aussi sensible ici… Si j'avais su…

[invite9c9b9968]

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Pour connaitre la nature tensoriel d'un vecteur il faut étudier son comportement dans un changement de base. Ce n'est pas un point de vue, c'est ainsi.

Ah ? Perso je peux tout aussi bien le faire en parlant de forme duale, ça ne me pose pas de problème...

Sérieusement, ne pourrais-tu pas une fois au moins accepter qu'il y a un autre point de vue que le tien, même si tu n'aimes pas cet autre point de vue ?

[invite24327a4e]

Sans compter que mathématiquement, on défini les tenseurs exactement comme je l'ai fais. Ca ne permet pas de "voir" leurs propriétés, certe, mais prendre leurs propriétés pour des définitions, c'est tout de même très grossier non ?

[invite9c9b9968]

Tu aurais aussi pu montrer l'intérêt du produit tensoriel en montrant que cela ramène des formes multilinéaires sur un espace générique E à des formes linéaires sur un autre espace isomorphe (d'où la notion de produit tensoriel)

J'ai relu ton message, mariposa, où tu réponds à Spinfoam. J'ai l'impression que tu mélanges dans ton discours et les produits tensoriels avec leur définition, et la décomposition en espaces supplémentaires de ces espaces produits tensoriels.. Ce qui rend les choses légèrement confuses je trouve.

[invite93279690]

Certes mais dans ce cas comment techniquement fais-tu pour trouver les sous-espaces invariants?

Invariants sous quoi ?
Le truc c'est que tu parles des tenseurs avec une idée très très précise derrière la tête (la théorie des groupes ?) et donc tu as du mal, je trouve, a parler des tenseurs pour eux mêmes, ce qui n'est pourtant absolument pas interdit en math ni en physique d'ailleurs.

[invite24327a4e]

Je pense qu'il n'est pas inutile de mettre un cours introductif sur les tenseurs dans ce sujet. Dîtes moi ce que vous pensez de celui en pièce jointe, car je lui fais personnellement entièrement confiance.

[invitee64b550d]

Voilà la réponse complète:

Scalaire: 0 indice
Vecteur: 1 indice covariant.
Matrice: 1 indice covariant et 1 indice contravariant

En dimension 3:
Pseudo-vecteur: 2 indices covariants (Mais le tenseur est alors antisymétrique Tuv=-Tuv et il n'y a donc que 3 degrés de liberté)
Volume: 3 indices covariants (Mais le tenseur est alors antisymétrique Tuvw=-Tuwv=-TvuW et il n'y a donc qu'un degré de liberté)

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Là par contre je ne comprend pas du tout la réponse précédente. En fait elle mélange représentation d'un tenseur et tenseur d'une part (par exemple un tenseur (1,1), un tenseur (0,2) ou un tenseur (2,0) peuvent tous les trois être représentés par des matrices) ; d'autre part la suite concernant les pseudo-vecteur et les volumes m'est totalement incompréhensible

[invitee64b550d]

J'ai été un peu bref.

Pour matrice, il fallait comprendre endomorphisme.
Un endomorphisme est la combinaison linéaire de terme de la forme v*f, avec v un vecteur et f une forme linéaire
(x->v*f(x) est bien un endomorphisme)

Les pseudo-vecteurs sont en fait des tenseur anti-symétriques: un pseudo-vecteur B est en fait le tenseur suivant: .
La règle de changement de base est , avec C matrice de changement de base.

En physique classique, les matrices C sont en général orthogonales. Les pseudo-vecteurs se comportent à un changement de signe près comme les vecteurs.

Pour le volume, c'est la meme chose sauf qu'il n'y a plus qu'un degré de liberté, 6 termes non nuls et 21 autres nuls.

[JPL]

Je pense qu'il n'est pas inutile de mettre un cours introductif sur les tenseurs dans ce sujet. Dîtes moi ce que vous pensez de celui en pièce jointe, car je lui fais personnellement entièrement confiance.

La diffusion de ce document est-elle libre de droits ? Quelle est sa source ?

[invite24327a4e]

Je pense que oui, je l'ai trouvé sur le site de l'X.
http://www.imprimerie.polytechnique....art3_Tome1.pdf

[invite7ce6aa19]

Je pense que oui, je l'ai trouvé sur le site de l'X.
http://www.imprimerie.polytechnique....art3_Tome1.pdf

Bonjour,

Ce polycop est à ma yeux la caricature de ce qu'il ne faut pas faire si le but est de comprendre la philosophie des tenseurs.
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Même dans les ouvrages mathématiques on introduit les tenseurs en relations aux formes bilinéaires style f:E-E dans K.
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On peut ensuite généraliser dans 2 directions:


1- Les 2 espaces vectoriels sont différents E1 et E2. Dans la quasitotalité des cours E1 est un espace et E2 son espace dual.

En fait dans la physique pratique c'est plus général: Il suffit que les vecteurs de E1 et E2 se transforment de la même façon dans un changement de base.

2- définir une forme multilinéaire sur E puissance n

Bien entendu on peut combiner le point 1 et le point 2 en prenant autant d'espaces vectoriels différents à condition que les vecteurs se transforment identiquement dans leur espace vectoriels successifs.


En bref je doute que l'on puisse apprendre et surtout comprendre les tenseurs à partir d'un tel cours (et du même acabit pour d'autre cours). Pour moi comprendre les tenseurs c'est savoir les mettre en oeuvre seul dans un contexte original.
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Si on veut démarrer l'apprentissage des tenseurs en termes de formes bilinéaires, inévitablement la representation de celle-ci fait apparaitre une matrice carré. De là apparait l'association erronée entre tenseur de rang 2 et matrice. Cela est due au fait que le physicien moyen (il n'ya rien de péjoratif)associe matrice a representation d'un opérateur ou d'un changement de base.
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Si l'on a pris soin de montrer que les formes bilinéaires sous-tendent un espace vectoriel et donc qu'un forme bilinéaire (tenseur de rang 2) est bien un vecteur alors les éléments de matrices sont bien les composantes de ce même vecteur.
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Cela est bien entendu a ratacher avec le fait que les matrices de dimension n forment un espace vectoriel de dimension n2. Cet espace vectoriel étant muni d'un produit de 2 élements défini une structure d' algébre (l'algébre des matrices).

Remarque:

Puisque un tenseur Ti,j (avec 3.3= 9 composantes par exemple) est un vecteur on peut le renuméroter avec un indice a qui varie de 1 à 9. C'est une manière de comprendre qu'il s'agit bien d'un vecteur et que l'on oublie l'origine de la construction de ce vecteur. On écrit donc Ta. Par exemple si l'on veut le produit scalaire Ta.Tb on peut oublier le mode de construction.
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En TRG:

Un tenseur quelconque, puisque c'est un vecteur, va pouvoir engendrer une representation d'un groupe G. En toutes généralités cette representation est réductible. Supposons qu'un tenseur engendre directement une representation irréductible. Dans ce cas là on va renommer le tenseur sous la forme Tk,q. Le premier indice désigne le numéro de la representation irréductible, le second le numéro de la composante. c'est ce que l'on appelle un tenseur irréductible par opposition aux tenseurs usuels" qui sont des tenseurs cartèsiens.
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Par exemple un tenseur symétrique de rang 2 construit sur R3 (donc à 5 composantes) devient dans O(3) le groupe de la sphère un tenseur irréductible noté Tl,m comme le ket |l,m> un tenseur à 2.l +1 composantes avec l=1.
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Si maintenant on part d'un tenseur cartésien de rang 5 Ti,j,n,p,q se décomposera en tenseurs irréductible de O(3) à 2 indices Tl,m. Il est facile de comprendre que le Teneur de rang 5 deviendra plus lisible physiquement en termes de tenseurs irréductibles d'un groupe.