Qu'est-ce qu'un spin ?

[invite93279690]

Tu peux tres bien construire une algèbre du groupe de Galilée sans partir de Poincaré, il suffit de prendre pour point de départ que tu cherches à générer un groupe de transformations qui laisse invariant la distance entre deux événements simultanés et la durée entre deux événéments ayant lieu au meme endroit.

Et c'est sûr que des spins 1/2 entier n'apparaissent pas dans ce cas là ?
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[invite7ce6aa19]

Non, c'est l'algébre de SL(2,C) qui est isomorphe à su(2) fois su(2), pas celle de SO(3,1).

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Bonjour,
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On parle bien d'algébre et non de groupe. Dans ce cas l'algébre de SO(3,1) c'est bien su(2) fois su(2). C'est bien la raison pour laquelle les representations irréductibles de SO(3,1) sont notées (j1,j2). Non?

Non, (1/2,0) et (0,1/2) sont des représentations de SL(2,C), pas du groupe de Lorenzt et encore moins du groupe des rotations.

. Ce n'est pas ce que j'ai écrit. J'ait dit que si je prend la representation (1/2,0) par exemple alors la restriction de cette representation au sous-groupe SO(3) est une également une representation (en général réductible). Elle est irréductible dans ce cas. Cet argument pour montrer qu'en absence de boost, la represention bidimensionnelle (1/2,0) ne s'est pas évaporée et qui prouve que l'on peut representer SO(3) par SU(2) avec le problème du caractère bivalué cad que l'on 2 matrices 2.2 pour chaque élément du groupe SO(3).

Jusqu'à preuve du contraire les représentations de SO(3) sont caractérisé par un entier positif ou nul. Il est donc impossible de trouver une représentation de spin 1/2 dans SO(3).

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Absolument pas. la règle du jeu de TRG est de respecter la table de multiplication. Donc si tu définis SO(3) comme l'ensemble des opérations qui laissent invariantes la sphère ou sous forme algébrique l'expression x2 + y2 + z2 = R2 rien ne t'empèche d'utiliser des repreentations avec des nombres complexes.

Tu a le droit de faire tout ce qui respecte la table de multiplication. Tu peux donc trouver un jeu de matrices a coefficients complexes qui sous-tend un espace vectoriel sur le corps des complexes. Tu peux mettre prendre des jeux de matrices a base de quaternions. Le cas le plus "courant" sont les jeux de matrice 1.1 cad les quaternions eux-mêmes.
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Par ailleurs la bible de TRG pour les physiciens du solide est le TINKHAM: Group theory and quantum mechanics. Si tu consultes celui-ci tu verras que tous les groupes ponctuels possédent des representations par spineurs (et pas seulement SO(3).

Quand on presente une table de caractère tu verras que celle-ci est divisée en deux horizontalement. Le haut pour les representations classiques et le bas par les representations spinorielles. On appelle çà un groupe double (un autre langage pour nommer le caractère bivalué de certaines representations irréductibles.
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A quoi çà sert? Par exemple le groupe ponctuel est C3v et que l'on a une physique avec un spin3/2. Automatiquement on peut décomposer la representation réductible 3/2 de dimension 4 en representations iréductibles spinorielles de C3v (avec les techniques classiques de projection).
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En bref les representations du groupe de rotation O(3), SO(3) contiennent des representations "demi-entière" cad du spin 1/2 en particulier mais aussi des quaternions et peut-être des octonions (là je m'avance peut-être sur ce dernier point).

[inviteca4b3353]

Et c'est sûr que des spins 1/2 entier n'apparaissent pas dans ce cas là ?

Le groupe de Galilée admet 3 invariants (ou 3 opérateurs de Casimir), la masse (associée aux translations spatiales), l'énergie interne (associée aux translations dans le temps), et une version non-relativiste du spin (S=J-L) qui semble pourvoir prendre des valeurs demi-entières.

Supposons que l'on jette à la poubelle tout le groupe de Lorentz-Poincaré, et que l'on se concentre uniquement sur le groupe de Galilée : on oublie la relativité

celle d'Einstein mais pas celle de Galilée Je sais, ca passe pour du pinaillage, mais la nuance est importante car le groupe de Galilée n'est pas le produit du groupe des rotations et des translations. Il inclut aussi des boosts, d'ou l'on tire une définition du spin.

Pour répondre à mariposa, j'en viens à penser que l'origine du spin est toujours relativiste et qu'elle n'est pas totalement liée au groupe des rotations. Pour reprendre ce que tu disais de facon un peu plus claire, SO(3) et SU(2) ont la meme algèbre de Lie (respectivement so(3) et su(2)), c'est-à-dire que localement ce sont les memes transformations (au détail pres que SO(3) est représenté par des matrices réelles et SU(2) des matrices complexes). Les représentations de su(2) et so(3) (des algèbres !) sont les memes. Néanmoins les groupes sont différents et cette différence est seulement globale (donc topologique) car ils ont localement la meme algèbre. Ainsi, à une transformation R de SO(3) (construite par exponentiation à partir d'une représentation de l'algèbre so(3) isomorphe à su(2)) correspond 2 transformations de SU(2). SU(2) est bien le récouvrement de SO(3), c'est-à-dire que les représentations de SO(3) sont aussi des réprésentations de SU(2), mais pas l'inverse ! Pour moi le spin 1/2 est une représentation de SU(2), ce n'est donc pas une représentation du groupe des rotations SO(3). Le lien avec SO(3) est local, à travers l'algèbre, mais pas global (du moins pas de facon bi-univoque). Tu ne peux pas contruire de spin 1/2 à partir du groupe des rotations, il te faut partir du groupe de recouvrement qui a la meme algèbre, mais pas la meme topologie.

[invite8ef897e4]

Absolument pas. la règle du jeu de TRG est de respecter la table de multiplication. Donc si tu définis SO(3) comme l'ensemble des opérations qui laissent invariantes la sphère ou sous forme algébrique l'expression x2 + y2 + z2 = R2 rien ne t'empèche d'utiliser des repreentations avec des nombres complexes.

Les algebres de Lie reelles et complexes n'ont pas du tout les memes proprietes. Les algebres de Lie reelles sont beaucoup plus difficiles a manipuler. C'est une affirmation que l'on trouve dans la vaste majorite des livres sur la theorie de Lie, donc je ne vous ferai pas l'affront de faire une liste de citations.

[inviteca4b3353]

On parle bien d'algébre et non de groupe. Dans ce cas l'algébre de SO(3,1) c'est bien su(2) fois su(2). C'est bien la raison pour laquelle les representations irréductibles de SO(3,1) sont notées (j1,j2). Non?

Si tu as raison. SO(3,1) et SL(2,C) ont meme algèbre qui est su(2) fois su(2).

rien ne t'empèche d'utiliser des repreentations avec des nombres complexes.

sauf que ces matrices ne seront pas des matrices de SO(3) qui elles sont définies sur le corps des réels.

[invitea29d1598]

salut,

je ne passe qu'en coup de vent mais ce sujet revenant sans cesse, je n'ai pas pu m'empêcher d'y jeter un oeil

Il inclut aussi des boosts, d'ou l'on tire une définition du spin.

pourrais-tu préciser ce que tu veux dire par ça ?

Pour répondre à mariposa, j'en viens à penser que l'origine du spin est toujours relativiste et qu'elle n'est pas totalement liée au groupe des rotations.

Pas d'accord. Pour avoir une définition "moderne" et rigoureuse du spin, il faut revenir au "groupe spin" associé à un groupe "orthogonal" donné (on peut oublier la signature dans un premier temps).

À mes yeux, le problème, c'est que les physiciens présentent généralement ce sujet comme des cochons (jonglant entre les groupes et les algèbres, ne parlant même pas de cette notion de manière générale, etc.) pour éviter la rigueur mathématique, ce qui ne fait que générer des incompréhensions et des désaccords.

la démarche est pourtant simple : on se donne un groupe orthogonal associé à une forme quadratique. On montre qu'il admet alors un "groupe spin" associé (voir wiki anglais), qu'on peut en fait définir proprement directement à partir de la forme quadratique et de la notion d'algèbre de Clifford, ce que les physiciens cherchent généralement à éviter. On constate alors que pour les petites dimensions il existe des isomorphismes particuliers (mentionnés dans le lien précédent). Ainsi

spin(3,1) est isomorphe à SL(2,C)
spin(3) est isomorphe à SU(2).

et puisque c'est directement spin (3) qui est isomorphe à SU(2), il est légitime de dire que le spin n'est pas relativiste par essence et je veux bien croire mariposa quand il dit que les spineurs débarquent en cristallo (sujet que je n'ai malheureusement jamais eu le temps d'étudier ) sans qu'il y ait le moindre boost (galiléen ou lorenztien) mentionné

Pour moi le spin 1/2 est une représentation de SU(2), ce n'est donc pas une représentation du groupe des rotations SO(3). Le lien avec SO(3) est local, à travers l'algèbre, mais pas global (du moins pas de facon bi-univoque). Tu ne peux pas contruire de spin 1/2 à partir du groupe des rotations, il te faut partir du groupe de recouvrement qui a la meme algèbre, mais pas la meme topologie.

sauf si tu définis tout proprement à partir du groupe spin associé à la signature et non à partir du groupe orthogonal lui-même... or quand tu commences à faire intervenir des trucs cliffordiens, c'est ce que tu fais même si tu le dis pas (enfin, le "tu" te vises pas toi personnellement, hein )

[invite7ce6aa19]

Pour répondre à mariposa, j'en viens à penser que l'origine du spin est toujours relativiste et qu'elle n'est pas totalement liée au groupe des rotations. Pour reprendre ce que tu disais de facon un peu plus claire, SO(3) et SU(2) ont la meme algèbre de Lie (respectivement so(3) et su(2)), c'est-à-dire que localement ce sont les memes transformations (au détail pres que SO(3) est représenté par des matrices réelles et SU(2) des matrices complexes). Les représentations de su(2) et so(3) (des algèbres !) sont les memes. Néanmoins les groupes sont différents et cette différence est seulement globale (donc topologique) car ils ont localement la meme algèbre. Ainsi, à une transformation R de SO(3) (construite par exponentiation à partir d'une représentation de l'algèbre so(3) isomorphe à su(2)) correspond 2 transformations de SU(2). SU(2) est bien le récouvrement de SO(3), c'est-à-dire que les représentations de SO(3) sont aussi des réprésentations de SU(2), mais pas l'inverse ! Pour moi le spin 1/2 est une représentation de SU(2), ce n'est donc pas une représentation du groupe des rotations SO(3). Le lien avec SO(3) est local, à travers l'algèbre, mais pas global (du moins pas de facon bi-univoque). Tu ne peux pas contruire de spin 1/2 à partir du groupe des rotations, il te faut partir du groupe de recouvrement qui a la meme algèbre, mais pas la meme topologie.

Partons du résultat de la démonstration qui montre qu'a Un jeu de 2 matrices 2.2 de SU(2) correspond une seule matrice de O(3) de dimension 3.
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On se met du point du vue du groupe SU(2) en choissisant un axe de telle sorte que le paramètre de balayage varie de 0 à 4.Pi (4.Pi s'identifiant à 0)
.
Pour le spineur 1/2 on obtiend un jeu unique de matrices en balayant les 4.Pi.

Pour le tenseur 1 on obtiend un jeu de matrices qui part de la matrice unité (angle 0) et qui vaut a nouveau la matrice unité (angle 2.Pi) apres se repète la méme séquence jusqu'a l'angle 4.Pi. On voit que les angles teta et teta + 2.Pi ont la même matrice, ce qui n'est pas interdit par les principes de la TRG.

maintenant on se met du point de vue du groupe SO(3).
.
La différence est que le paramètre de balayage du groupe est maintenant de 0 à 2.Pi (et non 4.Pi)
.
Pour le tenseur de rang 1 pas de problème RAS.

Pouir le spineur quand on balaye de 0 à 2.Pi la matrice 2.2 n'est pas la matrice Identité mais son opposée pour l'angle 2.Pi. Que se passe-t-il? Il faut continuer a faire varier l'angle audelà de 2.Pi ce qui pour sO(3) veut dire repartir à zéro mais par contre engendre un nouveau jeu de matrices qui est tout simplement les mêmes matrices avec le signe opposé.
.
On voit ainsi que du point de vue de SO(3) pour un angle donné (compris entre 0 et 2.Pi) il correspond 2 matrices opposées. C'est pourquoi la representation de SO(3) est dite bivalué. cela est bien entendu la conséquence de l"homorphisme SU(2) vers SO(3).
.
Il s'agit d'une vue globale (on balaye tout le groupe) dont le caractère bivalué est une conséquence du caractère doublement connexe du groupe sO(3).
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il n'y a donc rien d'extraordinaire a ce que SO(3) soient representés par des matrices de SU(2). La connexité n'est en rien un obstacle.

[invitea29d1598]

en bonus sur ce que j'ai raconté avant sur les "groupes spin", je vous invite à lire l'étymologie du nom de leurs cousins les groupes "pins" qui sont aux O ce que spin est aux SO... sur le wiki anglais par exemple (en bas de page)...

certains disent que c'est vraiment l'origine du mot... (ne pas hésiter à la lire la note en bas de page aussi )

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
.
Je viens de faire une petite trouvaille qui j'espére va faire fortement douter, voire convaincre, certains d'entre-vous quand à l'origine du spin.
;
Dans le livre de Zeidler: Quantum Field theory tome 1 Basis in mathématics and physics on peut lire au paragraphe sur 2.6.1: the spin.

Il écrit en caractère italique la phrase suivante:

" The existence of fermions is related to the nontrivial topological structure of the 3-dimensional rotation group"
.
Je me permettrais de rajouter ce qui va de soi:

The existence of bosons is related to the trivial topological structure of the 3-dimensional rotation group
.
Inutile de dire qu'il n'y a aucune notion de relativité là dedans, seulement une subtilité topologique.
.
Maintenant que se passe-t-il à 2 dimensions? Que nous apporte la topologie de cet espace? La réponse est qu'il existe un jeu infini de particules intérmédiaires entre le boson et le fermion appelé anyon
.
Ces particules sont des representations irréductibles du groupe de tresse. Le groupe de tresse admet comme sous-groupe le groupe de permutations classique. Le fermion et le boson appartenant aux 2 representions irréductibles unidimensionnelles du groupe de permutation.
;
La morale de cette histoire montre que l'existence des particules est reliée tout "simplement" aux propriétés topologiques des rotations de l'espace. A 3 dimensions il y a seulement le spin 1/2 (fermion) et le spin 1 (boson).

[invite7ce6aa19]

en bonus sur ce que j'ai raconté avant sur les "groupes spin", je vous invite à lire l'étymologie du nom de leurs cousins les groupes "pins" qui sont aux O ce que spin est aux SO... sur le wiki anglais par exemple (en bas de page)...

certains disent que c'est vraiment l'origine du mot... (ne pas hésiter à la lire la note en bas de page aussi )

.
Bonjour,

Oui mais.... Quel conclusion retires-tu de ces considérations de recouvrement des groupes en rapport avec l'existence du spin 1/2?

[invite93279690]

Pas d'accord. Pour avoir une définition "moderne" et rigoureuse du spin, il faut revenir au "groupe spin" associé à un groupe "orthogonal" donné (on peut oublier la signature dans un premier temps).

Tu n'as pas un lien internet avec plus de détails par hazard ?

[inviteca4b3353]

pourrais-tu préciser ce que tu veux dire par ça ?

Les générateurs du groupe de Galilée sont au nombre de 10 : les J génèrent les rotations, les P les translations d'espace, H celle de temps et enfin les K génèrent les boosts de Galilée (peut-etre que le terme boost est réservé à Lorenzt mais comme K est la limite du boost de Lorenzt dans la limite , je l'appelle comme ca aussi). En gros, on peut voir les K comme des générateurs de translations dans l'espace des vitesses.

Le spin dans le groupe de Galilée est alors défini par l'opérateur de Casimir suivant : ou L est le moment cinétique défini comme avec l'opérateur de Casimir associé à la masse. C'est pourquoi je disais que d'apres l'algèbre du groupe de Galilée, sans boost K on ne pouvait définir de spin.

Pour avoir une définition "moderne" et rigoureuse du spin, il faut revenir au "groupe spin" associé à un groupe "orthogonal" donné (on peut oublier la signature dans un premier temps).

certes, mais comme tu l'as dit pour SO(3) ce groupe spin(3) n'est autre que SU(2) et ca n'invalide pas ce que je racontais au message #33.

The existence of fermions is related to the nontrivial topological structure of the 3-dimensional rotation group

Certes, mais comme j'essaie de le dire depuis un moment maintenant, il ne s'agit pas précisément du groupe des rotations mais de son recouvrement (le groupe spin(3)=SU(2) comme l'a mentionné Rincevent). C'est ce point la qui me gêne, je crois qu'on a tous compris le lien entre le spin, SU(2) et SO(3). La question que je me pose est : "est-ce que le spin 1/2 est vraiment une représentation de SO(3) ?" De ca je ne suis toujours pas convaincu, notamment par tout ce que tu as dit jusqu'à présent.

[invitea29d1598]

Oui mais.... Quel conclusion retires-tu de ces considérations de recouvrement des groupes en rapport avec l'existence du spin 1/2?

je comprends pas la question

n'ayant pas le temps de m'attarder, je vois pas quoi dire de plus que ce que j'ai dit dans mon premier message... pour moi c'est avant tout un problème de manque de précision dans les définitions. Par exemple sans même rentrer dans les histoires de groupe spin, on pourrait définir proprement les choses en parlant de représentations projectives... c'est parfois fait en physique, mais pas souvent (même si plus souvent que de mentionner le groupe spin)

Tu n'as pas un lien internet avec plus de détails par hazard ?

y'a pas mal de choses dès que tu cherches dans la littérature mathématique sur les algèbres de Clifford... j'ai pas de lien précis en tête...

y'en a un qui pourrait être intéressant car portant justement sur le groupe Pin en physique (et mentionnant donc au passage le groupe spin), tout en revenant sur un truc pas super connu : le fait que la signature (-,+,+,+,) et la signature (+,-,-,-) ne sont pas rigoureusement équivalentes dès que l'on se place dans un cadre général avec (s)pineurs. Les réfs sur ce sujet :

Pin groups in physics, Dewitt-Morette & Dewitt, PRD 41, 1990, pp.1901-1907 (pas en accès libre)

ou en accès libre une revue sur les groupes pins : The Pin Groups in Physics: C, P, and T, Berg, DeWitt-Morette, Gwo & Kramer, Rev.Math.Phys. 13 (2001) 953-1034 (ici lien vers arxiv).

La question que je me pose est : "est-ce que le spin 1/2 est vraiment une représentation de SO(3) ?" De ca je ne suis toujours pas convaincu, notamment par tout ce que tu as dit jusqu'à présent.

en toute rigueur (enfin, je reste avant tout physicien, ne l'oublions pas ), on peut pas dire que le groupe SO(3) admet de "vraies" représentations 1/2 : il n'en admet que des projectives. Ce qui revient à dire que ce sont de vraies représentations de son double recouvrement, ou plus proprement du groupe spin qui est associé à la même signature, mais pas du groupe SO(3) lui-même. Mais physiquement ce n'est pas important car ce qui compte, c'est pas SO(3), c'est la signature et donc la forme quadratique... et donc le groupe spin(3) (ou plutôt pin(3) pour rester plus général).

ce groupe spin(3) n'est autre que SU(2) et ca n'invalide pas ce que je racontais au message #33.

ça n'invalide pas ce que tu dis (sauf quand tu dis que le spin a une origine relativiste, même au sens "pas lorentzien" du terme), mais dire "n'est autre" a tendance à induire en erreur et j'insiste sur "spin(3) est isomorphe à SU(2)"...

C'est pourquoi je disais que d'apres l'algèbre du groupe de Galilée, sans boost K on ne pouvait définir de spin.

étant donné que mathématiquement on a le double recouvrement de SO(3) qui mène aux représentations (projectives) 1/2, on peut définir des représentations de spin 1/2 sans faire entrer de cinématique et uniquement en gardant la forme quadratique (+,+,+)... je suis d'accord qu'en mécanique, et donc physiquement en général, c'est comme tu le dis qu'on le définit, de même qu'en RR on définit le moment cinétique intrinsèque en se plaçant dans un référentiel particulier, ce qui revient à ce que tu racontes. Pour résumer, je crois qu'on peut dire que dans le groupe de Galilée ou celui de Lorentz, il faut prendre en compte les boosts pour pouvoir définir le spin, mais si on ne considère dès le début que les rotations (ou plus généralement les opérations laissant invariantes la signature), on peut également les définir. Pour moi ça dépend avant tout du groupe initialement considéré car si ce n'est pas directement les rotations pures, il faut "artificiellement" séparer la partie qui leur correspond. Et cela rejoint une longue discussion (que je n'ai pas suivie jusqu'au bout) que mmy et chaverondier avaient eue sur le fait que le groupe d'Aristote n'admet pas un seul "feuilletage" comme produit du groupe des translations temporelles et celui des transformations spatiales.

[inviteca4b3353]

en toute rigueur (enfin, je reste avant tout physicien, ne l'oublions pas ), on peut pas dire que le groupe SO(3) admet pas de "vraies" représentations 1/2 : il n'en admet que des projectives. Ce qui revient à dire que ce sont de vraies représentations de son double recouvrement, ou plus proprement du groupe spin qui est associé à la même signature, mais pas du groupe SO(3) lui-même. Mais physiquement ce n'est pas important car ce qui compte, c'est pas SO(3), c'est la signature et donc la forme quadratique... et donc le groupe spin(3) (ou plutôt pin(3) pour rester plus général).

Ca me va tout à fait comme réponse, merci d'etre passer en coup de vent

[invitea29d1598]

Ca me va tout à fait comme réponse, merci d'etre passer en coup de vent

ouais, m'enfin j'ai quand même réussi à coquiller et mettre une double négation (corrigée dans mon message mais pas dans ta citation) qui me fait dire le contraire de ce que je voulais dire et que tu as compris...

un truc que j'ai oublié de mentionner mais qui "justifie" le manque de précision dans les discussions physiciennes: en MQ ce qui compte ce sont les "représentations à une phase près", soient les "représentations projectives" et pas uniquement les vraies représentations.

[invite7ce6aa19]

Certes, mais comme j'essaie de le dire depuis un moment maintenant, il ne s'agit pas précisément du groupe des rotations mais de son recouvrement (le groupe spin(3)=SU(2) comme l'a mentionné Rincevent). C'est ce point la qui me gêne, je crois qu'on a tous compris le lien entre le spin, SU(2) et SO(3).

.
Ce n'est pas le lien entre spin SU(2) et SO(3) qui pose problème on n'est bien d'accord là-dessus.
.
Tu a écrit au post #7:

"
C'est très maladroit et montre explicitement les limitations de l'utilisation du groupe des rotations pour expliquer ce qu'est le spin. Généraliser la remarque fréquente suivante "un spin 1/2 correspond à réaliser une rotation de 2 fois 2 pi pour remettre le système dans son état initial" à tous les spins est dangereux car les spins non-entiers ne sont pas reliés au groupe des rotations mais aux boosts du groupe de Lorentz. " c'est moi qui souligne
,
Lorsque tu as écris çà j'ai réagit nettement contre l'association spin-relativité ce qui m'a valu un tir de missiles. Mon avis était sans appel: le spin est d'ordre purement topologique et sans aucun rapport à la RR.
.
Est-tu toujours fermement convaincu que le spin est d'origine relativiste? A toi de répondre.
.
Maintenant je vais avancer dans mon argumentation, autrement que d'invoquer les anyons qui ne sont pas très populaires.
..
Invoquer le recouvrement de SO(3) par SU(2) ne suffit pas. C'est une propriété purement mathématique. Il manque quelquechose.


J'avais commencer un petit travail de réflexion sur la question du spin qu'il va falloir que j'exhume. L'idée est un problème de representation projective a savoir que l'on ne represente pas les fonctions d'onde mais les rayons puisque la phase n'intervient dans un produit scalaire. Sous cet angle la representation vrai (non projective) renvoie au groupe SU(2) en tant que groupe de recouvrement de sO(3).
.
Autrement dit spin et SU(2) expriment purement les propriétés topologiques des transformations SO(3) de l'espace R3 sous les contraintes du langage de la MQ. C'est à mon avis comme çà que se fait le lien entre topologie et contraintes du formalisme de la MQ.
.
Quand j'aurais le temps j'essaierais d'écrire tout çà proprement.

[inviteca4b3353]

ouais, m'enfin j'ai quand même réussi à coquiller et mettre une double négation (corrigée dans mon message mais pas dans ta citation) qui me fait dire le contraire de ce que je voulais dire et que tu as compris...

Le reste du message permettait de comprendre ce que tu voulais dire de lui-meme. Et ca confirme bien ce que je pensais (et tenter de dire au message 33) : le spin 1/2 est une représentation monovaluée du groupe de recouvrement SU(2) et juste une représentation bivaluée (ou projective, bref définie au signe pres ici) de SO(3).

[invite7ce6aa19]

un truc que j'ai oublié de mentionner mais qui "justifie" le manque de précision dans les discussions physiciennes: en MQ ce qui compte ce sont les "représentations à une phase près", soient les "représentations projectives" et pas uniquement les vraies représentations.

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Parfait c'est ce que je viens d'écrire autrement. J'attends ton commentaire, car il manque dans ton argument les "associations" entre representations projectives et topologie SO(3) des transformations de R3. J'insiste sur ce point car mon but est d 'éliminer définitivement toutes considérations relativiste pour expliquer le spin 1/2.

[invite7ce6aa19]

Le reste du message permettait de comprendre ce que tu voulais dire de lui-meme. Et ca confirme bien ce que je pensais (et tenter de dire au message 33) : le spin 1/2 est une représentation monovaluée du groupe de recouvrement SU(2) et juste une représentation bivaluée (ou projective, bref définie au signe pres ici) de SO(3).

.
On est bien d'accord, c'est bien ce que j'ai expliqué très pedestrement au post #37.

[inviteca4b3353]

Est-tu toujours fermement convaincu que le spin est d'origine relativiste? A toi de répondre.

Ce dont je suis convaincu c'est que le spin (l'opérateur de Casimir construit à partir des éléments de l'algèbre de l'espace-temps) n'apparait pas exclusivement pour le groupe de Poincaré de la RR. Il existe aussi dans le groupe de Galilée, mais bon Galilée c'est aussi de la relativité (dans la limite d'une vitesse infinie de la lumière). Donc je reconnais que ce que je disais (et que tu as souligné ci-dessus) est faux. Et si je l'ai dit plus haut c'est simplement parce que je ne connaissais pas (encore) en détail le groupe de Galilée et que, dans mon souvenir de dea, dire que le spin est un casimir de Poincaré signifie qu'il est d'orgine relativiste. Mais évidemment c'est une conclusion erronée car trop hâtive.

On est bien d'accord, c'est bien ce que j'ai expliqué très pedestrement au post #37

Ce que je critiquais en revanche, c'était que le spin 1/2 était une représentation (et par là j'entendais monovaluée) de SO(3). Or ce n'est pas le cas, c'est une rep de SU(2), qui est topologiquement distinct de SO(3), mais lui est isomorphe localement.

Maintenant je me rends compte qu'on (ou uniquement moi) a peut-être confondu la représentation spinorielle de SO(3) (cad la rep du Spin(3)) avec l'opérateur de spin défini comme casimir de l'algèbre d'espace-temps.
Pour le moment je suis d'accord avec toi pour dire que la spinorielle est associée à spin(3) donc SO(3). Mais la ou je conserve l'envie de dire que le spin est relativiste (au sens large, pas seulement pour la RR mais aussi pour Galilée) c'est quand je considère l'opérateur S (spin) de l'algèbre des symétries d'espace-temps (donc ici nulle question de topologie, on reste autour de l'origine). Si je me limite au générateur des rotations, le Casimir est , ces valeurs propres sont j(j+1) avec j entier. Si je veux construire un Casimir de spin avec une valeur demi-entière, j'ai besoin d'opérateur de boost, et donc de la relativité. C'est ce point qui est encore un peu sombre pour moi. J'espère que tu comprends ce que j'essaie péniblement de dire.

[invitea29d1598]

il manque dans ton argument les "associations" entre representations projectives et topologie SO(3) des transformations de R3.

suis pas certain de ce que tu attends, mais effectivement, le groupe spin, autrement dit le groupe de double recouvrement, existe parce que SO(n) n'est pas simplement connecté, ce qui est donc bel et bien une histoire de topologie (le cas de SO(2) étant particulier et menant comme tu l'as dit à des représentations projectives qui ne sont pas des représentations de Spin(2), ce que l'on appelle des anyons).

J'insiste sur ce point car mon but est d 'éliminer définitivement toutes considérations relativiste pour expliquer le spin 1/2.

pour éliminer l'aspect relativiste, nul besoin d'entrer dans la topologie (même si c'est elle qui est à la base du théorème spin-statistique, de l'existence des anyons, etc.). Suffit de dire que le spin surgit dès que l'on s'intéresse au groupe des transformations laissant invariantes l'élément de longueur dl^2, indépendamment de l'inclusion de ce groupe dans un groupe "cinématique".


[edit] croisement avec Karibou mais vraiment plus le temps de lire/répondre

[editbis] juste une tite remarque : Cartan et les mathématiciens n'ont nul besoin de la notion de temps pour introduire les spineurs et les groupes Spin dans des textes mathématiques... comme je l'ai dit avant, la construction que tu cites implique le recours aux boosts (lorenztiens ou pas) uniquement car tu traites dès le départ le groupe des rotations comme sous-groupe d'un groupe cinématique et que le "découpage" de ce dernier groupe n'est pas unique...

[invite7ce6aa19]

Ce dont je suis convaincu c'est que le spin (l'opérateur de Casimir construit à partir des éléments de l'algèbre de l'espace-temps) n'apparait pas exclusivement pour le groupe de Poincaré de la RR. Il existe aussi dans le groupe de Galilée, mais bon Galilée c'est aussi de la relativité (dans la limite d'une vitesse infinie de la lumière). Donc je reconnais que ce que je disais (et que tu as souligné ci-dessus) est faux. Et si je l'ai dit plus haut c'est simplement parce que je ne connaissais pas (encore) en détail le groupe de Galilée et que, dans mon souvenir de dea, dire que le spin est un casimir de Poincaré signifie qu'il est d'orgine relativiste. Mais évidemment c'est une conclusion erronée car trop hâtive.

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En fait ce qui incline à conclure que le spin est d'origine relativiste c'est justement son "omniprésence" dans le traitement mathématique du groupe de Lorentz homogène (ou pas). C'est ainsi que le groupe de Poincaré fait ressortir en relief la masse et le spin. L'erreur que font les gens est justement de conclure que si le spin et la masse apparaissent en RR alors ce sont des effets relativistes. c'est visiblement une erreur de pure logique (épistémologique).
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En effet si le spin était d'origine relativiste, on devrait dire la même chose de la masse. Hors l'explication le plus probable (crédible) de la masse vient du couplage à un champ de Higgs et cela n'a rien a voir avec le RR (la meilleur preuve est que ce phénomène existe déjà en physique solide non(relativiste).
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En Bref:

La masse et le spin ont des origines extérieures a la RR.

Aucun doute possible.

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Mais la ou je conserve l'envie de dire que le spin est relativiste (au sens large, pas seulement pour la RR mais aussi pour Galilée) c'est quand je considère l'opérateur S (spin) de l'algèbre des symétries d'espace-temps (donc ici nulle question de topologie, on reste autour de l'origine). Si je me limite au générateur des rotations, le Casimir est , ces valeurs propres sont j(j+1) avec j entier. Si je veux construire un Casimir de spin avec une valeur demi-entière, j'ai besoin d'opérateur de boost, et donc de la relativité. C'est ce point qui est encore un peu sombre pour moi. J'espère que tu comprends ce que j'essaie péniblement de dire.

C'était aussi dans cette optique que je me plaçais (et je persiste à penser que finalement, comme toujours dans ce type de discussion, nous manquons tous de rigueur et que nous n'explicitons pas assez nos notations/conventions ce qui induit des incompréhensions mutuelles).

Au passage, la discussion a pris un virage superbe, perso je me régale à la lire

[chaverondier]

cela rejoint une longue discussion (que je n'ai pas suivie jusqu'au bout) que mmy et chaverondier avaient eue sur le fait que le groupe d'Aristote n'admet pas un seul "feuilletage" comme produit du groupe des translations temporelles et celui des transformations spatiales.

En fait, quand on se donne un espace-temps d'Aristote (c'est à dire une représentation du groupe d'Aristote dans une variété 4D difféomorphe à IR^4 (1)) alors, il y a bien un unique feuilletage de l'espace-temps d'Aristote (en lignes d'immobilité et en feuillets 3D de simultanéité) engendré par la représentation considérée du groupe d'Aristote.

Par contre (contrairement à ce que j'avais affirmé un peu vite initialement en réponse à mmy dans le fil invoqué) dans une représentation donnée du groupe de Poincaré, il y a bien une infinité de groupes d'Aristote qui en soient des sous-groupes (ces sous-groupes d'Aristote SA'(4) du groupe de Poincaré se déduisent les uns des autres par action du groupe de Poincaré. SA'(4) = g SA(4) g^-1 où g est un boost Lorentzien quelconque de vitesse non nulle et SA(4) désigne un sous-groupe d'Aristote particulier de la représentation considérée du groupe de Poincaré dans une variété 4D difféomorphe à IR^4).

De même dans un espace-temps affine 4D donné (c'est à dire dans le cas d'une représentation du groupe affine dans une variété 4D difféomorphe à IR^4) il existe une infinité de groupes de Poincaré sous-groupes de la représentation du groupe affine propre à cet espace-temps (ces sous-groupes de Poincaré P'4 du groupe affine se déduisent les uns des autres par action du groupe affine. P'4 = g P4 g^-1 où g est une transformation affine bijective (presque) quelconque (par exemple changeant l'échelle de temps, l'échelle de longueur ou les angles) et P4 est un groupe de Poincaré particulier sous-groupe de la représentation considérée du groupe affine dans une variété 4D difféomorphe à IR^4).

Pourtant, quand on se place dans "notre espace-temps", alors, l'un des sous-groupes de Poincaré du groupe affine présente, du point de vue physique, un caractère privilégié. Cela se traduit notamment (par exemple) par le fait que la notion d'angle droit, la notion de longueur de Planck et la notion de temps de Planck présentent un caractère absolu.

L'existence d'une représentation privilégiée du groupe de Poincaré parmi toutes les représentations de ce groupe qui soient sous groupe d'une même représentation du groupe affine dans une variété 4D donnée censée représenter notre espace-temps est donc de nature physique et non de nature mathématique. Pas moyen d'observer des atomes "en biais" par exemple. Pas moyen d'observer des "gros atomes d'hydrogène" non plus ou des "longues 1/2 vies" du PU238.

Du coup, personne ne viendrait à contester le caractère privilégié DU groupe de Poincaré particulier qui gouverne les lois de notre physique au motif (mathématique) que tous les sous-groupes de Poincaré d'une représentation donnée du groupe affine agissant sur une variété 4D difféomorphe à IR^4 sont équivalentes.

De même l'absence, expérimentalement détectable (au moins jusqu'à ce jour en tout cas), d'une représentation privilégiée du groupe d'Aristote (parmi toutes les représentations de ce groupe qui soient sous groupe DU groupe de Poincaré privilégié modélisant les symétries relativistes respectées par les lois de la physique) est importante par sa nature physique (et non par sa nature mathématique).

La discussion avec mmy a (me semble-t-il) dans une large mesure achopé sur ce point et s'est terminée en devinant qu'il y avait désaccord au moins partiel entre nos points de vue mais sans qu'on parvienne très bien à savoir sur quoi exactement (je crains qu'en creusant un peu on ne tombe sur des préférences qualitatives en terme de façon de présenter les choses ou de vocabulaire employé et non sur des désaccords physiques ou mathématiques présentant un caractère objectif).

(1) j'entends par là un homomorphisme du groupe d'Aristote vers le groupe des difféomorphismes agissant sur cette variété, c'est à dire ce que l'on appelle aussi une action du groupe d'Aristote sur cette variété.

[inviteb94c567e]

Dans wiki ils parlent de spin infini pour une sphère, et de spin 0 pour le Higgs. Est-ce que ça veut dire que le Higgs n'est jamais invariant sous la rotation, ou qu'il l'est toujours (auquel cas le spin de la sphère, c'est zéro)?

Bin j'ai pas tous lue , mais ca part dans des delire "mathematique"
mais le spin de la sphere est infini et pour un scalaire il est nul , le boson de higgs est un scalaire

explications mentale
pour faire une rotation de la sphere il faut faire une rotations de chacun de ces points, et a ce momment la on peut a chaque points de la sphere une bijections sur un point de la sphere qui a subit la rotation!

donc un a une infinité de rotations a applique ca me semble de spin infini

alors que pour un simple nombre, un scalaire precisement !
ca valeurs ne change pas , 0 reste 0 1 reste 1 et aussi de suite quelle soit la rotations
donc une grandeurs scalaire ne subit pas de rotations , son spin est 0

on classe justement les etat suivant leurs etats de spin , ca veut dire suivant la facon donc il se transforme sous l'effect d'une rotations de l'espace !

scalaire : spin 0
vecteur : spin 1
matrice : spin 2 (tres simplifier la)

un electron est un spineurs du premier ordre : spin 1/2
si tu prend 2 electron ensemble ca fait deux spineurs du premier ordre : qui peuvent s'addictionne ou se soustraire : on a un melange de spin 0 et 1 (grossierement) donc un a une partie de ces deux electron qui se tranforme comme un scalaire et une autre qui se transforme comme un vecteur (je parle bien de la combinaison des deux electrons)

on peut avoir donc n'importe quelle objet de spin entier ou demi entier (positif bien sur le spin) de 0 a l'infini .

bien a vous