Relation / opérateur...

[invite61942757]

Bonjour ,
Est ce que la relation suivante est correcte?
A(psi_n)=<A>_n psi_n.
A est un opérateur associé à une observable .
<A>_n est la moyenne .
Merci d'avance .
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[invite88ef51f0]

Salut,
C'est quoi ton indice n ? C'est normal que tu ne sommes pas pour faire ta moyenne ?

[invite61942757]

n est le nombre quantique principal .

[invite8c514936]

La justesse de ta relation dépend de ce que tu veux dire par "valeur moyenne"...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61942757]

La moyenne de la grandeur A = Integral (psi* opérateur A Psi) dV .

[invitea3fc981a]

Je ne comprends pas trop tes notations chromeVI... D'une façon générale quand on veut faire la mesure d'une observable donnée sur un système décrit par la fonction d'onde (supposée normée), on associe un résultat de mesure , et cette relation s'écrit :



Une autre façon de l'écrire est de projeter cette relation sur le bra :



C'est cela que tu voulais dire ? :confused:

[invitea3fc981a]

n est le nombre quantique principal .

Cela suppose que tu te places dans un système lié ; penses-tu à un système précis ?

[invite61942757]

Merci pour vos réponses .
OK, je vais réecrire ma question d'une façon plus claire :
Est ce que la relation suivante est correcte?
A(psi)= <A> psi
(oublier l’indice n)
avec A et un opérateur associé à une certaine observable et <A> la moyenne donc<A>= <psi|A|psi > .
En d’autre terme , les valeurs propres de A pour la fonction propre psi sont elles toujours égales aux valeurs prises par <A> ?

[invite88ef51f0]

Euh... tu définis ton <A> bizarrement ! Soit c'est la valeur propre associée à |psi>, et dans ce cas on a bien <A>=<psi|A|psi> (en supposant |psi> normé) et A|psi>=<A>|psi> (par définition). Mais dans ce cas ce n'est pas la valeur moyenne de ton observable A (et personnellement, je noterais cette valeur propre autrement, par exemple ). Soit c'est effectivement la valeur moyenne et alors ce que tu dis est faux, et , où la somme porte sur tous les états propres.

[invite61942757]

Bonjour .
Je m’excuse mes connaissances en mécanique quantique sont très limitées .
Je vais vous expliquer mon problème avec des phrases pour éviter l'utilisation des notations de la physique quantique .
Ma première question est :
La moyenne d’une gradeur physique qui correspond à un opérateur A est la moyenne de quoi ?
Ma deuxième question :
Lorqu’on fait la mesure d’une certaine grandeur est ce que le resultat de la mesure est égal à la moyenne de cette grandeur .
S’il vous plait , j’ai besoin d’une réponse très très simple.
Merci d’avance .

[invite88ef51f0]

Comme j'ai commencé à l'expliquer dans mon message précédent, la moyenne se fait sur les états propres de ton opérateur. Plus concrètement, cela signifie que lorsque tu fais une seule mesure, alors tu obtiens un résultat aléatoire (projection de manière aléatoire sur un des états propres, avec une probabilité proportionnelle au carré du module du produit scalaire entre ton état et l'état propre en question), mais si tu fais un grand nombre de fois l'expérience en partant du même état (au sens quantique) alors la moyenne des résultats tend vers ce qu'on appelle la moyenne de l'observable.

[invitea3fc981a]

Lorqu’on fait la mesure d’une certaine grandeur est ce que le resultat de la mesure est égal à la moyenne de cette grandeur.

Non, sinon tu mesurerais toujours la valeur moyenne, donc toujours exactement la même valeur. Tu mesures des valeurs qui ont une certaine répartition (souvent gaussienne autour de la valeur moyenne, mais ce n'est pas toujours vrai), et quand tu fais la somme de tes valeurs divisé par le nombre de mesures ça te donne la valeur moyenne, autrement dit la valeur la plus probable.

En physique quantique, il existe des phénomènes pour lesquelles tu n'obtiens pas un résultat précis, mais une distribution de probabilités (tant de chances d'obtenir ça, tant de chances d'avoir ça etc.). Cette probabilité (si elle existe) est contenue dans la fonction d'onde. Pour faire le parallèle avec les formules ci-dessus, lorsque tu fais agir l'opérateur sur la fonction d'onde, tu obtiens un résultat A (valeur propre), qui lui est bien précis et déterminé ; si tu remets ton système dans son état initial et que tu recommences ta mesure, tu peux obtenir un résultat A' différent... C'est le cas notamment dans une expérience de type fentes d'Young : tu envoies plusieurs photons, et ils ne vont pas tous aterrir sur l'écran au même endroit mais selon une certaine distribution probabiliste.

[invite61942757]

Merci beaucoup . Ce que vous avez écrit est très très interessant.
L'écart type de l'énergie d'une particule astreinte à se déplacer dans une boite unidirectionelle est 0 .
Selon mon cours de chimie-physique ce resultat signifie que les énergies d'une particule dans une boite ne peuvent prendre que les valeurs :E₁ ,E₂ ,E₃ ...
Je ne comprend pas comment je dois penser pour arriver à la conclusion de mon cours .
Merci d'avance .

[invitea3fc981a]

Arf... OK, je crois que je commence à comprendre ton problème. Dans le cas d'un électron (de masse ) confiné dans un puits de potentiel infini (càd que le potentiel est supposé infini en dehors des bornes du puits), unidimensionnel de largeur , la résolution de l'équation de Schrödinger montre que les niveaux d'énergie sont quantifiés et s'écrivent :



L'indice traduit ici la discontinuité de l'énergie : l'électron ne peut pas faire varier son énergie de manière continue, il est obligé de passer par des niveaux d'énergie. Dans ce cas, son énergie est parfaitement définie : l'écart type est donc nul.

En fait dans ce problème, la durée de vie des niveaux est supposée infinie ; d'après la relation de Heisenberg , l'incertitude sur les niveaux d'énergie devient rigoureusement nulle... Dans les systèmes réels, les niveaux d'énergie ont une durée de vie finie, et par conséquent l'incertitude sur leur énergie devrait être non nulle, mais comme il n'existe pas de niveau d'énergie proche du niveau par exemple,, on mesurera toujours précisément l'énergie . L'écart type sur l'énergie mesurée reste donc bien nulle (tant que la durée de vie du niveau est suffisamment longue).

[invite61942757]

L'indice traduit ici la discontinuité de l'énergie : l'électron ne peut pas faire varier son énergie de manière continue, il est obligé de passer par des niveaux d'énergie. Dans ce cas, son énergie est parfaitement définie : l'écart type est donc nul.

Je m'excuse Konrad , je n'ai pas compris cette idée . Tu peux s'il te plait me l'expliquer d'une façon plus simple.
Merci d'avance .

[invitea3fc981a]

Je vais essayer !

Alors, dans un tel problème l'énergie est quantifiée. Dans la vie courante, on considère que l'énergie n'est pas quantifiée mais continue : une voiture peut accélérer doucement, un objet tombe linéairement, etc. Si l'énergie était quantifiée à notre échelle, on verrait par exemple les voitures passer de 0 à 20 km/h instantanément, les objets tomberaient en faisant des saccades... On dirait alors qu'il existe des niveaux d'énergie, et l'énergie cinétique de la voiture par exemple qui s'écrit E=(1/2)mv² pourrait s'exprimer avec un indice n indiquant ce niveau : E_n=(1/2).m.n.(1 km/h), si le km/h était le "quantum de vitesse".

Dans le problème du puits de potentiel, c'est pareil : l'énergie de l'électron est quantifiée ; ici le quatum n'est pas la vitesse, mais l'action : le quantum d'action est . Ainsi, l'électron n'a accès qu'à certaines valeurs d'énergie E₁, E₂ etc. Mettons qu'il soit sur le niveau E₁ : si on ne lui fournit pas assez d'énergie, il ne peut pas aller sur le niveau E₂ et reste donc sur le niveau E₁.

Maintenant, les incertitudes : dans la vie courante, si tu mesures à différents moments la vitesse d'une voiture (en supposant que le conducteur essaye de conserver la même vitesse), tu ne mesureras pas toujours exactement la même vitesse, car elle accélère ou freine un tout petit peu... Son énergie étant continue, les écarts arrivent vite. Pour l'électron en revanche, comme il faut lui fournir pas mal d'énergie avant qu'il change de niveau, tu mesureras toujours la même chose ; l'écart est donc nul.

Bon c'est assez imagé tout cela, mais j'espère que tu vois un peu plus clair maintenant... En espérant que j'aie pas écrit trop de bêtises.