Etude d'un électron

[invitea9a0809f]

Bonjour!
Alors je vous explique mon cas, je me prépare pour des controles qui arrivent prochainement et je suis sur un exercice de mécanique quantique ( matiere que je n'ai jamais fais! ) que je n'arrive pas a résoudre car je ne sais par ou commencer! Ce n'est pas difficile mais a vrai dire mon prof de td ne note rien au tableau et je n'ai jamais fais de matrices et personnes n'arrivent a me conseillers :s et les cours de maths coutent bien trop cher!

Voila je vous laisse mon adresse msn si quelqu'un pourait aider une jeune fille en detresse! s'il vous plait!

### note de la modération : adresse mail supprimée, cf la charte###

merci de bien vouloir rpdre.
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[invite5e5dd00d]

Salut,

Ton exercice est effectivement assez simple, puisqu'il s'agit d'algèbre linéaire de base. As-tu déja étudié l'algèbre linéaire ? As-tu déja exprimé la matrice d'un opérateur ou d'une fonction linéaire ?
Pour la première question, il serait judicieux de déterminer la taille de la matrice cherchée. A ton avis c'est quoi?
Ensuite, ton application linéaire, Q, transforme le vecteur |1> en |2> + |4>. Que mets-tu dans la première colonne de la matrice?
Etc...
Pour trouver les valeurs propres d'une matrice M, il faut calculer le déterminant de la matrice M-lambda*I, et déterminer les lambdas qui annulent ce déterminant.
Pour trouver les vecteurs propres, il te faut trouver les vecteurs |psi> tel que M|psi>=lambda*|psi> (ou lambda est une des valeurs propres).
|psi> qui répond à cette équation est le vecteur propre associé à la valeur propre lambda. Répéter l'opération pour toutes les valeurs propres. Pour normer les vecteurs, il suffit de les diviser par leur propre norme.
Ici, je pense deviner que tu vas trouver 4 valeurs propres et 4 vecteurs propres. Mais je peux me tromper. D'ailleurs je peux me tromper n'importe quand dans cet exposé, je suis loin d'être un spécialiste de MQ.

Je te conseille par contre d'étudier très sérieusement l'algèbre linéaire avant de te lancer dans la MQ.

Bonne chance.

[Seirios]

Bonjour,

Cela me rappelle un exemple d'étude sur les électrons pi de la molécule de benzène dans Mes premiers pas en mécanique quantique. Cela devrait t'inspirer pour ton exercice.

Ensuite, pour ta première question, il ne s'agit pas d'écrire dans les colonnes de la matrice Q les images des vecteurs de la bases en question dans cette base ? Si je ne me trompe pas, on devrait avoir :



Ce n'est pas cela ?

[invited5b2473a]

Bonjour!
Alors je vous explique mon cas, je me prépare pour des controles qui arrivent prochainement et je suis sur un exercice de mécanique quantique ( matiere que je n'ai jamais fais! ) que je n'arrive pas a résoudre car je ne sais par ou commencer! Ce n'est pas difficile mais a vrai dire mon prof de td ne note rien au tableau et je n'ai jamais fais de matrices et personnes n'arrivent a me conseillers :s et les cours de maths coutent bien trop cher!

En effet, c'est un exercice facile à condition de savoir manipuler des matrices.
A défaut de matrices, as-tu quelques connaissances sur les espaces vectoriels, notemment ce qu'est une base, etc...?
Si oui, une matrice n'est juste que la représentation d'un opérateur linéaire, ici Q, dans une base donnée, ici (1>,2>,3>,4>). Cela veut dire quoi? Tu sais que dans l'espace des états B, cette famille de kets forme une base orthonormée. Autrement dit, tout état phi> s'écrit de manière unique
phi> = a 1> + b 2> + c 3> + d 4>. De plus, les kets 1>, 2>, 3> 4> sont orthogonaux et de norme 1.
Donc, revenons à Q. Puisque Q est linéaire (cela veut dire que Q(a>+l*b>) = Q(a>)+l*Q(b>) avec l un nombre complexe), pour connaître l'image de phi> par Q, il suffit de connaître Q(1>), Q(2>), Q(3>),Q(4>) puisqu'alors,
Q(phi>)= a*Q(1>) + b*Q(2>)+c*Q(3>)+d*Q(4>).
Ainsi la connaissance des images des kets de la base par Q permet de connaître l'image de n'importe quel ket de B. Alors, pour formaliser ça on note ces images sous la forme d'une matrice carrée 4x4 où chaque colonne correspond à l'image d'un ket de la base dans cette même base.
D'après l'énoncé Q(1>) = 2> + 4>, donc t'a première colonne sera :
0 -> correspond à 1>
1 -> correspond à 2>
0 -> correspond à 3>
1 -> correspond à 4>
En effet, tu peux toujours écrire Q(1>) = 0*1>+ 1*2> + 0*3> + 1*4>.
De même, Q(2>) = 1>+3>, donc la deuxième colonne sera :
1 -> correspond à 1>
0 -> correspond à 2>
1 -> correspond à 3>
0 -> correspond à 4>
Ensuite tu fais la même chose pour les deux autres kets et tu n'as plus qu'à accoler les 4 colonnes pour donner la matrice Q dans la base (1>,2>,3>,4>):
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0


Ainsi, en connaissant juste cette matrice, tu peux calculer les images de n'importe quel ket phi>.
Par exemple, en regardant cette matrice, tu vois aussitôt que
Q(4>)= 1*1> + 0*2> + 1*3> + 0*4> (c'est la quatrième colonne)
= 1> + 3>

Après, pour la manipulation des matrices à proprement parler, je te laisse chercher (cf 2) ).

2) Pour les valeurs et vecteurs propres, je te laisse chercher dans un cours (que tu peux trouver sur ce forum) ce qu'ils sont et à quoi ça sert.

[A voir en vidéo sur Futura]