Dioptre plan et développement limité (optique géométrique)

[invite0c5534f5]

Salut,

Je suis en L1 et dans mon cours j'ai ce schéma:


Puis en dessous j'ai les calculs suivants:



Il parait que ça s'appelle un développement limité.

Trois question: quel est l'intéret de faire ?
Elle sort d'où la super formule ? (en plus y a deux fois i1, aurais-je mal recopié ?)
Et pourquoi la super formule est égale à cette somme étrange ?
Tout ça est-ce de mon niveau ou faut-il que j'oublie ?

Après ceci on a fait le cas d'un poisson dans l'eau:
Voici le schéma:

On fait Pourquoi ???

Merci de votre aide.
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[pephy]

bonjour,
le dioptre plan n'est stigmatique que pour les rayons faiblement inclinés sur la normale:c'est-à-dire que la position de A' ne dépend que de celle de A et des indices.
L'intérêt du développement limité ne me semble pas évident;de toutes façons on voit bien que HA'/HA est une fonction de i1 sauf si i1 tend vers 0. Si tu veux absolument le faire:
(1+x)^n#1+n.x+n(n-1)x²/2+.... pourvu que x<<1
Dans HA'/HA à utiliser avec n=1/2 et n=-1/2

[invite0c5534f5]

HA'/HA n'est pas seulement une fonction de i1 mais également de i2.
Sinon j'ai pas compris le reste de ton post.

[pephy]

Ce n'est que de la trigo élémentaire:

On applique çà à tan i1 et tan 12, puis on élimine sin(12) en utilisant la loi de la réfraction

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c5534f5]

Ok, mais tu peux me dire d'où viens ta formule pour le cosinus.
Sinon j'arrive pas à faire disparaitre le i2 sous la racine:



Et si j'ai bien compris le développement limité ça sert à transformer un truc compliqué en une somme (c'est comme de la linéarisation donc, non ?)


Mais pourquoi dans le cas du poisson on fait A'H/AH=n2/n1 ?

[pephy]

1)à connaître: sin² x +cos² x = 1
2)dans ta 3e fraction sin i1/sin i2 est remplacé par n2/n1
3) pour éliminer le dernier sin i2 il suffit de faire sin i2= n1.sin i1/n2
4) pour le poisson on suppose que les angles sont petits (condition de stigmatisme approché du dioptre)

[invite6dffde4c]

Il parait que ça s'appelle un développement limité.

T

Bonjour.
Non.
Ceci n'est pas un développement limité (à cause des petits points à la fin). C'est un développement en série tout court. Un développement limité est un développement série dont on ne garde que les premiers termes. C'est pour cela qu'on l'appelle limité.
Alors que la série vaut exactement la fonction dont elle est le développement, le développement limité n'est qu'une approximation, et il n'est valable qu'autour d'une valeur de la variable.
Par exemple, dans votre exemple, les premiers termes suffiront si l'angle i₁ est très petit mais non s'il est grand.
Au revoir.

[invite0c5534f5]

2)dans ta 3e fraction sin i1/sin i2 est remplacé par n2/n1

oui parce que j'ai multiplié et divisé par n2 pour avoir n2 sin i2 et je l'ai remplacé par n1 sin i1

3) pour éliminer le dernier sin i2 il suffit de faire sin i2= n1.sin i1/n2

Parfait

4) pour le poisson on suppose que les angles sont petits (condition de stigmatisme approché du dioptre)

Et ?

Merci encore.

[invite0c5534f5]

Bonjour.
Non.
Ceci n'est pas un développement limité (à cause des petits points à la fin). C'est un développement en série tout court. Un développement limité est un développement série dont on ne garde que les premiers termes. C'est pour cela qu'on l'appelle limité.
Alors que la série vaut exactement la fonction dont elle est le développement, le développement limité n'est qu'une approximation, et il n'est valable qu'autour d'une valeur de la variable.
Par exemple, dans votre exemple, les premiers termes suffiront si l'angle i est très petit mais non s'il est grand.
Au revoir.

D'accord, mais je suppose que savoir faire un développement limité c'est pas de mon niveau ?
Mais j'aimerais savoir quand même à quoi correspondent les termes.

[invite6dffde4c]

D'accord, mais je suppose que savoir faire un développement limité c'est pas de mon niveau ?
Mais j'aimerais savoir quand même à quoi correspondent les termes.

Re.
Voici deux développements limités que vous pouvez retenir par cœur:



Valable pour n et x positifs ou négatifs. n peut être fractionnaire, entier, réel, complexe.
Faites les remplacements pour les sinus puis pour les racines (avec un n positif et l'autre négatif). Puis le produit. Vous verrez que vous n'avez pas de terme en i1 au cube.
A+

[invite0c5534f5]

Je trouve: c'est loin d'être une série.

[invite0c5534f5]

Rectification, je trouve:

[invite6dffde4c]

Rectification, je trouve:

Bonjour.
Vous n'avez pas fait ce que je vous ai suggéré:

je vous laisse continuer: remplacez chaque parenthèse par son développement limité, faites le produit et regroupez les termes de i1 avec la même puissance.
Au revoir.

[invite0c5534f5]

Avec le piste que tu me donnes je trouve:

(Pourtant j'avais bien fait la même chose sauf que j'ai pas multiplié directement avec l'exposant négatif, j'ai laissé la fraction.)

Bref donc et

Donc dans le cas du poisson je ne comprend toujours pas pourquoi on fait A'H/AH=n1/n2 on devrait écrire (d'après ce qu'on vient de trouver)

[invite6dffde4c]

Re.
Félicitations. Vous venez de faire votre premier développement limité.

Avec le piste que tu me donnes je trouve:

(Pourtant j'avais bien fait la même chose sauf que j'ai pas multiplié directement avec l'exposant négatif, j'ai laissé la fraction.)

Oui, mais un développement en série ne comporte pas de fractions. C'est une somme infinie de termes de la forme a_nxⁿ

Bref donc et

Donc dans le cas du poisson je ne comprend toujours pas pourquoi on fait A'H/AH=n1/n2 on devrait écrire (d'après ce qu'on vient de trouver)

Parce que c'est une approximation pour des angles très petits. Avec un terme supplémentaire c'est plus précis et avec plusieurs c'est encore plus précis.
Mais n'oubliez pas que, même avec des termes supplémentaires, ce n'est qu'une approximation et qu'elle n'est valable que pour des valeurs très proches d'une certaine valeur de variable. Ici pour i1 très proche de zéro.
Et vous devriez remplacer le signe = par le signe .
A+

[invite0c5534f5]

Ok, merci beaucoup.