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Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes



  1. #1
    Catie_08

    Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je bloque dès le départ sur une question toute bête et ça m'énerve un peu.

    On a un pendule dans le repère cartésienne, la masse M est accrochée au point de coordonnée (0,0,l). A l'équilibre le point M est confondu avec le point O (0,0,0).

    D'abord on me demande le nombre de degré de liberté, je pense 2 car on a la contrainte l²= x²+y²+(z-l)².
    Ensuite on me dit qu'on est dans les petites oscillations (donc je suppose que c'est sin (teta)= teta et cos(teta)=1). Et on me demande d'exprimer z en fonction de x et y. C'est là que je bloque.

    Je pense que z=lcos(teta)= l mais comment mettre x et y ?

    Merci de m'aider.

    -----


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  3. #2
    LPFR

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Bonjour et bienvenue au forum.
    Vous venez de l'écrire: l²= x²+y²+(z-l)².
    Vous n'avez qu'à sortir z de l'équation.
    Au revoir.

  4. #3
    Catie_08

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Oui j'y est pensé mais après je trouve ça un peu compliqué d'écrire cette forme dans le lagrangien.
    Car l'énergie potentielle devient U= mg((l²-x²-y²)^(1/2) +l)

    En plus je ne comprend pas très bien la suite car on nous dit que le mouvement est ensuite considéré dans le plan xOy. Donc z=0, est-ce que cela veux dire que je dois mettre U=0 pour établir mon lagrangien ? J'en doute mais bon ça coute rien de demander.

  5. #4
    LPFR

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Citation Envoyé par Catie_08 Voir le message
    Oui j'y est pensé mais après je trouve ça un peu compliqué d'écrire cette forme dans le lagrangien.
    Car l'énergie potentielle devient U= mg((l²-x²-y²)^(1/2) +l)

    En plus je ne comprend pas très bien la suite car on nous dit que le mouvement est ensuite considéré dans le plan xOy. Donc z=0, est-ce que cela veux dire que je dois mettre U=0 pour établir mon lagrangien ? J'en doute mais bon ça coute rien de demander.
    Re.
    Je suis navré que votre lagrangien soit compliqué en fonction de x et y, mais on n'y peut rien. Il serait plus simple s'il était en fonction de la distance r à l'origine, mais r est elle même "compliquée" en fonction de x et y.

    Pour la deuxième phrase, c'est effectivement surprenant. Je me demande si ce que l'on veut faire n'est pas simplement de travailler avec des oscillations de faible amplitude, et négliger par exemple les termes en z² par rapport aux termes en z. Essayez de relire le texte pour voir si vous trouvez d'autres indications.
    A+

  6. #5
    Catie_08

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Merci je vais garder cette forme là pour l'énergie potentielle. Par contre après il n'y a pas d'autre indications.
    Je pense que je vais supprimer la composante z pour établir mon énergie cinétique, non ? Je sais pas trop si c'est ça qu'ils veulent.
    Comme ça mon lagrangien dépendra que de x et y.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    LPFR

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Citation Envoyé par Catie_08 Voir le message
    Merci je vais garder cette forme là pour l'énergie potentielle. Par contre après il n'y a pas d'autre indications.
    Je pense que je vais supprimer la composante z pour établir mon énergie cinétique, non ? Je sais pas trop si c'est ça qu'ils veulent.
    Comme ça mon lagrangien dépendra que de x et y.
    Re.
    Oui, je pense que négliger la vitesse verticale est parfaitement valable. Du moins pour des oscillations de faible amplitude.
    A+

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  10. #7
    Catie_08

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Par contre je trouve comme équations de lagrange:

    (d²x/dt²)-g(x/(l²-x²-y²)^(1/2))=0
    (d²y/dt²)-g(y/(l²-x²-y²)^(1/2))=0

    Pour les résoudre il faudrait dire que (l²-x²-y²)=l mais je vois pas comment l'expliquer.

  11. #8
    LPFR

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Re.
    Si je ne me trompe pas l²-x²-y² est précisément (l-z)². Si on néglige z, on arrive à ce que vous voulez.
    A+

  12. #9
    Catie_08

    Re : Pendule de Foucault en coordonnées cartésiennes

    Merci.
    je vais pouvoir résoudre tranquillement mes équations maintenant.

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