Calcul intégrale force de pression sur une calotte sphérique

[invite2f16fd62]

bonjour à tous,

je cherche à calculer la résultante des forces de pression sur une bille et plus exactement sur une calotte sphérique.

Imaginons que la bille de diamètre D soit plaquée (par un ressort) sur 1 tube de diamètre d. Bien sur D>d. L'étancheité entre la bille et le tube est assurée.

Maintenant envoyons un fluide ou de l'air à haute pression CONSTANTE dans le tube afin de décoller la bille.

Quelle est alors l'expression de la force (qui décolle la bille de son siége) en fonction de la pression P, D et d ?

Je pense qu'il faut passer par un calcul intégral en respectant les domaines d'intégration.

la formule est je pense F= //p* ds (ou // double intégrale)

Avez vous une idée de cette force F en fonction de D,d et P qui aura par symétrie une résultante selon l'axe du tube ?


Merci d'avance
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[invitea3eb043e]

La force sera simplement le produit de la pression par la section du tube. On calcule la force sur un élément de surface et on projette sur une section du tube, ça revient au même que de calculer la force sur une section.

[invite2f16fd62]

bonjour,

selon toi, F= P* Pi*d^2/4

ok mais peut tu stp préciser l'intégrale à calculer (selon les 2 axes en projetant comme tu l'a dit)

c'est simplement pour vérifer par le calcul

Merci d'avance

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous savez, Jeanpaul ne s'est pas emm...quiquiné à faire une intégrale alors qu'elle est inutile.
Il sait que la force sur la paroi ne dépend pas de la forme de la bille ou sur la bille qui bouche un trou, car c'est uniquement la composante perpendiculaire à la paroi qui ne s'annule pas. Donc, il a pris la surface de paroi et l'a multiplié par la pression.

Mais si c'est un exercice de calcul d'intégrale que vous voulez faire (et ce n'est pas un exercice inutile), dans ce cas il faut le dire et on vous aidera.

Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f16fd62]

Bonjour,

Oui, je pense que physiquement vous avez raison mais il est vrai que ce que je cherche à faire c'est bien un calcul intégrale.

Je cherche à connaitre

* les domaines d'intégration du rayon r ( 0 à D) et de l'angle teta en fonction de D et d

*l'expression de l'intégrale

*La valeure de F qui sera indépendate de D selon la composante de l'axe du tube.

Merci d'avance pour aide

[invite6dffde4c]

Re.
Il faut diviser la surface d'intégration en petites surfaces qui satisfassent deux conditions: la pression doit être la même dans toute la surface, et l'ensemble de toutes les petites surfaces doit couvrir totalement la surface totale sans laisser des trous.
Si la surface est symétrique par rapport à un axe vertical, on peut utiliser de petites surfaces de premier ordre. Si ce n'est pas le cas ou si vous voulez le faire à la façon bête et méchante, on peut utiliser des surfaces de deuxième ordre.
Si on appelle thêta l'angle formé par le rayon et l'axe vertical, l'intégration sur thêta doit se faire entre 0 et thêta o, ce dernier angle étant l'angle de demi-ouverture de la calotte. Par exemple pi/2 pour une demi sphére et pi/4 pour une calotte qui couvre l'hémisphère nord jusqu'à Bordeau. L'autre angle phi, qui tourne autour de l'axe vertical doit aller sur un tour complet: de 0 à 2pi.

Maintenant la surface élémentaire vaut:

Faites un dessin et retrouvez cette formule.

Maintenant la pression à cet endroit vaut P = rhô g h avec h la profondeur de l'eau qui est H-r cos thêta (retrouvez cette formule dans le dessin).
La force sur la surface élémentaire est dF = P ds.
Et cette force est dirigée perpendiculairement à la surface. C'est à dire, dans la direction du rayon.
Il faut calculer les composantes des cette force en x, y, et z. Cela fait trois intégrales doubles à faire. Mais on sait que les composantes en x et y s'annuleront.
Yaka.
A+