correction d'un exercice de statique des fluides

[aurk]

Bonjour,

j'ai fait l'exercice dont je mets l'énoncé et j'aurais souhaité savoir si c'est bon.

Ce que j'ai fait est en pièce jointe.

Enoncé:

Un tube en U en rotation

On considère un fluide parfait, homogène et incompressible (masse
volumique ρ), en équilibre dans un tube en U ouvert et vertical (selon
Oz)(voir figure). Ce tube est animé d'un mouvement de rotation
caractérisé par le vecteur vect(Ω) = ω vect(k) où ω est constant et vect(k) représente le vecteur unitaire de l'axe Oz. La partie horizontale du tube a une longueur D et la longueur totale du fluide est égale à L = D + 2h. Les surfaces libres sont supposées planes. La distance entre l'axe de rotation et le bras le plus proche est désignée par a. La section du tube (désignée par s) est suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que s et rac(s) sont
négligeables devant h et L.
La position du liquide est repérée par la cote z sur la branche du tube la plus éloignée de Oz. Quand le tube est immobile dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen), z = 0. Dans tout le problème, on
considérera que le liquide occupe les deux branches du tube. On
travaillera dans le référentiel non galiléen r dans lequel le liquide est
immobile.

1) Compte tenu de la symétrie du problème, quel système de
coordonnées faut-il adopter ?

2) Ecrire l'équation fondamentale de la statique des fluides dans r.

3) Etablir l'expression de la pression P(r,z) en fonction de la pression
en O' et des données du problème.

4) En égalant les pressions en A et en B, déduire l'expression de ω² en fonction de z. En déduire l'expression de ω²_max.

dessin: voir pièce jointe

Merci
-----

[LPFR]

Bonjour.
En faisant le calcul "bête et méchant" je trouve 6 au lieu de 4 dans le numérateur.
Il est possible que cela vienne parce que vous avez calculé le dP en coordonnées cartésiennes au lieu de cylindriques.
Au revoir.

[aurk]

Ok.
mais il était possible de faire le calcul dans n'importe lequel de ces 2 systèmes de coordonnées?Ne devrait-on pas trouver la même chose?

Sinon, ma méthode est bonne alors?

[LPFR]

Re.
Bien sur, il est toujours possible de faire n'importe quel problème à partir de n'importe quel repère, mais la difficulté n'est pas toujours la même. Et, la plupart de fois il est plus facile à partir d'un repère inertiel.
Mais votre calcul de la pression avec un coefficient de ½ ne me convainc pas. Moi je fais l'intégrale des forces dans un secteur et cela donne une intégrale de r² ce qui donne un coefficient de 1/3.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[aurk]

mais justement, j'intègre x ce qui me donne x²/2
je ne comprend pas votre 1/3

[LPFR]

mais justement, j'intègre x ce qui me donne x²/2
je ne comprend pas votre 1/3

Bonjour.
Si vous intégrez la force dans un secteur, vous vous trouvez avec une intégrale de x².
Si vous intégrez le dP que vous avec calculé, vous avez une intégrale en x.
Et je pense que c'est mon calcul qui est le bon. On additionne la force sur des épaisseurs dr d'un secteur et à la fin on divise la force sur la surface de la dernière épaisseur.
Au revoir.

[pephy]

bonjour,
je ne vois pas ce que vous intégrez dans un secteur.
Le calcul de aurk me semble correct, sauf qu'il faut utiliser les coordonnées cylindriques. Les composantes non nulles du gradient sont:


d'où l'on déduit

[LPFR]

je ne vois pas ce que vous intégrez dans un secteur.

Bonjour Pephy.
Je calcule la force totale sur un secteur thêta d'hauteur h. Puis je divise cette force par la surface la plus externe.
La force totale est la somme de la force centrifuge sur toutes les "plaquettes" d'épaisseur dr:

La force totale est l'intégrale de zéro à R:

Cette force est repartie sur la surface la plus externe du secteur:

Donc la pression est:


Je n'arrive pas à trouver l'erreur dans la démarche de Aurk, sauf qu'il y a quelque chose qui me gène dans l'utilisation de coordonnées cartésiennes dans un problème à symétrie cylindrique. Par contre je suis convaincu que ma démarche est bonne.
Cordialement,
LPFR

[pephy]

bonjour,
ce que vous calculez n'est pas la pression du fluide;vous calculez la force exercée par le fluide sur la paroi latérale du récipient et vous en déduisez une pression moyenne.
L'équation fondamentale de la statique des fluides en référentiel galiléen s'écrit:

et en référentiel non galiléen comme ici:

l'accélération étant l'accélération d'entraînement.
Une application classique étant la détermination de la forme de la surface libre d'un liquide en rotation: la surface libre est une isobare
@+

[LPFR]

Re.
Non, ce que j'obtiens n'est pas la pression moyenne mais la pression au niveau de la paroi.
A+

[pephy]

Re
La pression au niveau de la paroi çà n'a aucun sens. La pression dépend de la profondeur; la paroi n'est pas une isobare du fluide

[pephy]

en outre si vous faites omega=0 votre pression s'annule; il n'y aurait donc aucune force sur la paroi latérale d'un récipient contenant un liquide?

[LPFR]

Re
La pression au niveau de la paroi çà n'a aucun sens. La pression dépend de la profondeur; la paroi n'est pas une isobare du fluide

en outre si vous faites omega=0 votre pression s'annule; il n'y aurait donc aucune force sur la paroi latérale d'un récipient contenant un liquide?

Re.
D'accord, je me suis mal exprimé. Je fais mes humbles excuses.
Mais vous avez compris ce que je voulais dire. C'est la pression en apesanteur, due uniquement aux forces centrifuges.
A+

[aurk]

Bonjour,

j'ai toujours un peu de mal avec les symétries.
Pourriez-vous m'expliquer la manière de svaoir que c'est une symétrie cylindrique?
Est-ce en raison de la forme du tube?

Merci

[LPFR]

Bonjour,

j'ai toujours un peu de mal avec les symétries.
Pourriez-vous m'expliquer la manière de svaoir que c'est une symétrie cylindrique?
Est-ce en raison de la forme du tube?

Merci

Bonjour.

Un problème a une symétrie cylindrique s'il remplit deux conditions: si vous le tournez de n'importe quel angle autour de l'axe de symétrie, le problème reste identique.
Deuxièmement le problème ne change pas si vous le déplacez parallèlement à l'axe de symétrie.
Votre problème particulier n'a aucune symétrie. Mais il est un morceau d'un problème avec beaucoup de symétrie. C'est celui de l'eau qui tourne à vitesse angulaire constante et uniforme dans toute la masse.
Le problème a une symétrie axiale autour de l'axe de rotation. Il n'a pas vraiment de symétrie cylindrique, car la pression dépend de la profondeur à cause de la gravité.
Le problème que vous étiez en train de résoudre est le résultat de plonger un tuyau dans l'eau puis retirer toute l'eau autour. La situation à l'intérieur du tuyau ne change pas. C'est pour cela que l'on ne s'intéresse pas à la forme du tuyau, mis seulement à la position où sont calculés la pression et la hauteur d'eau.

Au revoir.

[Deneb31]

Bonjour Pephy.
Je calcule la force totale sur un secteur thêta d'hauteur h. Puis je divise cette force par la surface la plus externe.
La force totale est la somme de la force centrifuge sur toutes les "plaquettes" d'épaisseur dr:

La force totale est l'intégrale de zéro à R:

Cette force est repartie sur la surface la plus externe du secteur:

Donc la pression est:


Je n'arrive pas à trouver l'erreur dans la démarche de Aurk, sauf qu'il y a quelque chose qui me gène dans l'utilisation de coordonnées cartésiennes dans un problème à symétrie cylindrique. Par contre je suis convaincu que ma démarche est bonne.
Cordialement,
LPFR

Il y a une erreur dans la première formule r à la place de r² et tout le monde est d'accord

[LPFR]

Il y a une erreur dans la première formule r à la place de r² et tout le monde est d'accord

Re.
Je ne vois pas l'erreur. Pouvez-vous être plus explicite? Merci.

Je continue à réfléchir et je pense que dP/dr = rhô omega² r (ce dont je ne suis pas convaincu) doit être démontrable même vu d'un référentiel inertiel et à partir de formules de base. Avez-vous essayé? Ma démonstration donne un résultat différent.
A+

[Deneb31]

Je suis tout à fait d'accord, mais si vous voulez raisonner en force il faut réaliser l'intégration de la pression avant. Vous avez écrit que F=Surface*(DP/Dr*dr) ou D est le d rond. Or c'est bien F=Surface*P, ce qui change pas mal l'expression. Deuxièmement, l'expression que vous donné pour la pression me semble indiquer que vous considéré que le tube présente une symétrie suivant l'axe Oz. Or se ne devrait pas etre le cas sauf incompréhension de l'énoncé de ma part.

[Deneb31]

Correction tardive

Oui dP/dr=rho*a et a=omega²*r.
Le problème est que vous avez mis la dérivé de la pression et non la pression elle meme dans l'expression de la force. Vous avez écrit que F=Surface*(DP/Dr*dr) ou D est le d rond. Or c'est bien F=Surface*P, ce qui change pas mal l'expression.
Deuxièmement, l'expression que vous donné pour la Force me semble indiquer que vous considéré que le tube présente une symétrie suivant l'axe Oz. Or se ne devrait pas etre le cas sauf incompréhension de l'énoncé de ma part.
Quoiqu'il en soit en Méca des Fluide il vaut mieux raisonner en pression qu'en force. C'est bcp moins risqué!

[LPFR]

Je suis tout à fait d'accord, mais si vous voulez raisonner en force il faut réaliser l'intégration de la pression avant. Vous avez écrit que F=Surface*(DP/Dr*dr) ou D est le d rond. Or c'est bien F=Surface*P, ce qui change pas mal l'expression. Deuxièmement, l'expression que vous donné pour la pression me semble indiquer que vous considéré que le tube présente une symétrie suivant l'axe Oz. Or se ne devrait pas etre le cas sauf incompréhension de l'énoncé de ma part.

Bonjour.
Pour réaliser l'intégration avant, il faudrait connaître la dépendance de la pression avec le rayon et c'est précisément cela qu'on essaie de déterminer.
Rappelez-vous d'autres exemples dans lesquels on détermine la pression (cette fois sans force centrifuge): la pression atmosphérique en fonction de la hauteur (avec toutes les simplifications du monde: température constante, gaz parfait, g constant, courbure negligée, etc.). Ou la pression à l'intérieur d'une planète liquide (là aussi, avec le liquide incompressible). Vous ne pouvez pas partir de l'expression du gradient puisque c'est la pression ce que l'on cherche.
Ici on est dans la même situation. Je ne me souviens pas dans quelles conditions les formules du post #9 ont été déduites et dans quel cas elles ont valables. Même chose pour la valeur de "l'accélération d'entraînement". Elles donnent de bons résultats pour une citerne de camion, mais pas pour une masse tournante. Donc, je reviens aux formules de base et je calcule la pression comme F/S. Comme dans le cas des exemples de l'atmosphère ou de la planète.

En ce qui concerne les calculs il faut additionner les forces suivant la symétrie du problème: sur une colonne à section constante pour l'atmosphère, sur un angle solide constant pour la planète liquide et sur un secteur d'épaisseur constante pour le liquide tournant.
Et mes calculs ne sont pas faits pour ou dans un tube. Ils sont faits pour une bassine tournante infinie (ou presque).
Au revoir.

[pephy]

Rappelez-vous d'autres exemples dans lesquels on détermine la pression (cette fois sans force centrifuge): la pression atmosphérique en fonction de la hauteur (avec toutes les simplifications du monde: température constante, gaz parfait, g constant, courbure negligée, etc.). Ou la pression à l'intérieur d'une planète liquide (là aussi, avec le liquide incompressible). Vous ne pouvez pas partir de l'expression du gradient puisque c'est la pression ce que l'on cherche.
Ici on est dans la même situation. Je ne me souviens pas dans quelles conditions les formules du post #9 ont été déduites et dans quel cas elles ont valables. Même chose pour la valeur de "l'accélération d'entraînement". Elles donnent de bons résultats pour une citerne de camion, mais pas pour une masse tournante.
Et mes calculs ne sont pas faits pour ou dans un tube. Ils sont faits pour une bassine tournante infinie (ou presque).

bonjour,
l'étude de l'équilibre d'une masse de fluide conduit à l'expression du gradient de p. Ces calculs sont valables pour tout fluide en équilibre, notamment pour une cuve en rotation.
Je ne vois pas ce que vous contestez à l'utilisation de l'accélération d'entraînement, c'est le B-A BA de la Dynamique en référentiel non galiléen.

[pephy]

de plus vous parlez de référentiel inertiel et vous utilisez la force centrifuge!?

[LPFR]

de plus vous parlez de référentiel inertiel et vous utilisez la force centrifuge!?

Bonjour.
Je reconnais que mon langage manque de pureté. Et que les puristes comme vous trouvent cela insupportable. Je fais mes excuses.
Mais comme d'habitude vous avez très bien compris de quoi je parle. Dans un système en rotation il y a la force centripète ou centrifuge suivant le référentiel où on se situe.
Mais le problème n'est pas là. Le problème si situe dans le calcul de la pression en fonction du rayon. Et de la calculer comme un rapport de force/surface avec des formules de basse qui sont valables dans tous les cas. Que ce soit vu d'un système inertiel, et on dira que c'est la force centripète que maintient la trajectoire circulaire, ou que ce soit vu référentiel accéléré et on dira que c'est la force fictive qui pousse vers l'extérieur.
Et pour éviter vos critiques, je précise que je suis en apesanteur. On pourra ajouter la gravité plus tard.
Au revoir.

[pephy]

bonjour,
çà fait déjà quelques jours que je réfléchis à votre mode de calcul , que j'ai parfaitement compris et qui logiquement devrait conduire au même résultat.
Je pense que c'est la somme des forces élémentaires qui pose problème: il s'agit d'un fluide, non d'un solide;or les fluides transmettent les variations de pression et non les forces.
Il faudrait donc ajouter les contributions de chaque élément à la pression
la force
va apporter

ce sont ces dP qu'il faut ajouter.

Pour le gradient de p, je rectifie une erreur: l'accélération qui intervient est

mais j'avais mis le signe correct pour dp/dr

[LPFR]

...
Je pense que c'est la somme des forces élémentaires qui pose problème: il s'agit d'un fluide, non d'un solide;or les fluides transmettent les variations de pression et non les forces.
Il faudrait donc ajouter les contributions de chaque élément à la pression
la force
va apporter

ce sont ces dP qu'il faut ajouter.
...

Re.
Non.
Je vous renvois aux l'exemples de l'atmosphère et de la planète liquide. Chaque couche supporte le poids des précédentes. Vous pouvez toujours insérer des surfaces mathématiques indéformables et de dimensions et masses nulles entre les couches. Cela ne changera rien au résultat.
Je préfère continuer à additionner des forces, pas des pressions. Je suis sûr de pouvoir additionner les forces (et encore plus si elles ont la même direction) par contre, je ne suis pas sûr que l'on puisse additionner des pressions dans tous les cas. Je crois que la pression n'est pas une grandeur extensive. Mais vous connaissez sûrement mieux que moi les aspects d'intensivité et extensivité des grandeurs.

Le problème est que la force varie avec la distance, mais la surface sur laquelle elle agit varie elle aussi avec la distance. Et si je dérive P=F/S je vais devoir tenir compte aussi de la variation de la surface avec le rayon et pas seulement de F.

Donc, restons à l'addition des forces qui elle, est consensuelle (du moins je le pense).
A+

[pephy]

je reconnais que l'addition des dp n'est guère convaincante, mais le problème c'est que l'addition des forces ne donne pas un résultat correct.
Si vous utilisez la même méthode pour un fluide au repos dans le champ de pesanteur avec un récipient non cylindrique vous allez obtenir un résultat étrange!
Il y a un consensus sur l'utilisation de la relation locale du gradient.
Personnellement je reste à ce mode de raisonnement.

[LPFR]

je reconnais que l'addition des dp n'est guère convaincante, mais le problème c'est que l'addition des forces ne donne pas un résultat correct.
Si vous utilisez la même méthode pour un fluide au repos dans le champ de pesanteur avec un récipient non cylindrique vous allez obtenir un résultat étrange!
Il y a un consensus sur l'utilisation de la relation locale du gradient.
Personnellement je reste à ce mode de raisonnement.

Re.
Si vous connaissez le résultat correct ce n'est pas la peine de le calculer ou de le vérifier il suffit d'en croire.
Mais toutes les formules que l'on considère comme consensuelles doivent pouvoir être re-démontrés. Pouvez-vous le faire avec le gradient de P dans un liquide tournant? Ou vous les croyez sur parole? Pas moi.
Moi je peux le faire par "ma" méthode et je suis aussi sur du résultat que l'on peut l'être quand on ne trouve pas d'erreur et que personne d'autre ne le trouve pas non plus.
Et si j'utilise la même méthode pour un fluide au repos je trouverai qu'en apesanteur il n'y a pas de pression et que avec la gravité j'ai (rhô g h). Et avec cette même méthode on peut résoudre les deux problèmes exemples que j'ai donnés. D'ailleurs, vous les feriez comment?
Mais vous êtes évidement libre de garder les formules que vous croyez bonnes.
A+

[pephy]

Ce n'est pas un problème de croyance;la formule que j'utilise (et je ne suis pas le seul) est démontrée dans tous les bouquins de statique des fluides.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...%20fluides.htm
Mais puisque vous voulez avoir le dernier mot... gardez le!
Pour moi la discussion est close

[LPFR]

Ce n'est pas un problème de croyance;la formule que j'utilise (et je ne suis pas le seul) est démontrée dans tous les bouquins de statique des fluides.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...%20fluides.htm
Mais puisque vous voulez avoir le dernier mot... gardez le!
Pour moi la discussion est close

Bonjour.
Est cela que vous appelez une démonstration?

3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen
En Mécanique, on apprend que le mouvement d’une masse " ponctuelle " m (mieux : le mouvement du centre de masse d’un système matériel de masse totale m) est régi, dans un référentiel non galiléen, par la relation où on introduit les forces d’entraînement et de Coriolis.
L’absence de mouvement relatif imposent accélération et vitesse relatives nulles et donc et
Par suite, la relation d’équilibre s’écrit .
Pour le champ de forces extérieures de pesanteur


Oui. Je crois qu'il vaut mieux que l'on reste là.
Au revoir.