Bases des solutions pour l'équation de Schrödinger

[invite1a750c3e]

Bonjour,
Voilà j'ai un petit souci en ce qui concerne la mécanique quantique.
Je ne comprend pas ce que sont les valeurs propres et les vecteurs propres.
Dans mon exercice on me demande donner l'équation de schrödinger stationnaire. Je pense que c'est:
h(barre)*w*Y(r) = - (h(barre)²/ 2m)* Laplacien (Y(r)) + V(r)Y(r)

avec h(barre)= h/ 2*pi
Y(r): la fonction d'onde
V(r): le potentiel

On me demande de donner une base des solutions mais je ne vois pas du tout ce que ça peut être.

Merci de m'aider
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[mariposa]

Bonjour,
Voilà j'ai un petit souci en ce qui concerne la mécanique quantique.
Je ne comprend pas ce que sont les valeurs propres et les vecteurs propres.

Bonjour,

Les notions de vecteurs et valeurs propres sont des notions purement mathématiques (et non de physique).

Il serait intéressant de voir ce dont il s'agit mathématiquement. La MQ s'appuie sur des connaissances élementaires d'algébre linéaire. Il faut donc pour progresser dissocier les catégories de difficultés.

Donc tes questions sont d'abord:

1- Qu'est-ce que sont les éléments propres d'un opérateur?

2- Quel est le rapport avec la MQ et notamment l'équation de Shrodinger?

[invite1a750c3e]

Merci,
Alors je me suis renseigner sur les valeurs et vecteurs propres et je crois avoir compris.
Les valeurs propres a d'une matrice A sont telles que: A - a*Id=0
A chaques valeurs propres est associé un vecteur propre. OK

Par contre je n'est pas la fonction Y(r), donc je n'arrive pas à en faire une matrice pour trouver les valeurs propres.

[mariposa]

Merci,
Alors je me suis renseigner sur les valeurs et vecteurs propres et je crois avoir compris.
Les valeurs propres a d'une matrice A sont telles que: A - a*Id=0
A chaques valeurs propres est associé un vecteur propre. OK

Se renseigner n'est pas suffisant. il faut passer du temps à réflechir sur les choses simples. Ce qui permet finalement de gagner du temps.

Il faut comprendre que lés élements propres ne dépendent pas d'une matrice mais d'un opérateur. As-tu compris ce qu'était un opérateur? as-tu compris le rapport entre opérateurs et matrices?

Quand tu auras éclaircit tout çà tu domineras l'équation de Schrodinger et tu épateras tout le monde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1a750c3e]

Tu as raison.
Je vais faire les choses petit à petit et donc commencer à travailler sur les opérateurs. En espérant au final pouvoir trouver un base de solutions.

Merci

[Thwarn]

Par contre je n'est pas la fonction Y(r), donc je n'arrive pas à en faire une matrice pour trouver les valeurs propres.

C'est la que tu montres que tu n'as pas réellement compris. Ici Y(r) est le vecteur, (laplacien + potentiel) est la matrice et w la valeur propre associé à Y.

[mariposa]

Tu as raison.
Je vais faire les choses petit à petit et donc commencer à travailler sur les opérateurs. En espérant au final pouvoir trouver un base de solutions.

Merci

Excellente idée.

Voilà un tuyau important:

Il ne faut confondre un vecteur avec ses composantes qui dépendent d"une base. De la même façon il ne faut confondre un opérateur avec ses composantes (representées par une matrice) qui dépendent également d'une base.

Donc vecteurs et opérateurs existent indépendamment de toute base. Il en est de même pour les élements propres.

[Pio2001]

Il n'y aurait pas une règle toute simple dans le cours, qui dit que l'opérateur associé à la mesure a pour valeurs propres les résultats possibles ? Et une théorème qui indique s'ils peuvent former une base, et enfin une règle qui dit que les valeurs propres sont associées aux vecteurs propres (qui sont des vecteurs d'onde) ?

Chez moi c'est loin, tout ça, mais je pense que ce doit être aussi simple que ça. Il doit suffire de deux ou trois propriétés du cours pour répondre.

[invite9edfbb21]

Pour le post juste au-dessus

C'est "la mesure d'une grandeur physique macroscopique ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres de l'opérateur hermitique associé à la grandeur macroscopique".

Les vecteurs propres d'un opérateur hermitique forment un ensemble complet dans . C'est-à-dire que toute fonction de peut être approchée par une série de Fourier de base les vecteurs propres de l'opérateur.

Et puis à tout vecteur propre correspond une valeur propre. A toute valeur propre correspond au moins un vecteur propre. En effet :
.
: opérateur
: valeur propre
: vecteur propre

A Catie_08 :

Pour moi, l'équation de Schrödinger fait apparaître les complexes :
\psi(\overline{r},t) [/TEX]

On peut trouver des solutions de l'équation de Schrödinger en séparant stationnaire/pas stationnaire puis grâce à la méthode des valeurs propres.

Tout ce que je viens de dire nécessite confirmation :s !!