distribution de vitesses

[invite5411484d]

Bonjour,
Je considère un atome ayant une vitesse v dans un référentiel à 3D. La probabilité qu'il est une vitesse radiale entre v_r et v_r +dv_r est donnée par la distribution de Maxwell-Boltzmann:

dP(v_r) ~ exp(-v_r² / a²) * dv_r (on a intégré sur les v_theta, v_phi). Ceci étant dans le référentiel sphérique (u_r, u_theta, u_phi).

Je veux connaitre la probabilité que ce même atome a d'avoir une vitesse v_z entre v_z et v_z +dv_z (c'est-à-dire la composante de v projetée sur l'axe des z dans un deuxième référentiel (x,y,z) ) en sachant qu'il a une vitesse radiale entre v_r et v_r +dv_r.

Et je n'arrive pas à exprimer cette probabilité là........

Si quelqu'un a une idée...
Merci
-----

[vaincent]

salut,

il existe une relation(transformation) entre les coordonnées cartésiennes et sphériques. Ce que tu demandes se résume alors à un calcul incertitude relative entre Vr et Vz.

[invite5411484d]

J'ai bien peur de ne pas trop voir ce que tu veux dire par incertitude relative...
Je cherche dP(v_z) tout en sachant que dP(v_r) est donné par ~exp(-v_r²/a²).
En fait c'est comme si v_r était la coordonnée selon v_x' dans un repère R' et que je voulais dP(v_z) dans un repère R.
Pour passer de R à R', on fait :

v_x = v_x'* u_x.u_x' + v_y'*u_y.u_y'......... où les u et u' sont des vecteurs unitaires de mes bases R te R'.

Et si j'ai la proba d'avoir une vitesse entre v_x' et v_x' + dv_x' dans R' donnée par dP(v_x'), je veux trouver dP(v_z) par exemple.

[vaincent]

je vois très bien ce que tu veux dire. On cherche la probabilité que la vitesse d'une particule évoluant dans un bain thermalisé, soit comprise entre v_z et v_z + dv_z. Si on part des coordonnées cartésiennes, la distribution de Maxwell-Boltzmann normalisé d'une particule de masse m est définie par :



c'est une densité de probabilité, donc la probabilté que cette particule ai une vitesse comprise dans le cube dv_xdv_ydv_z vaut par définition :



la probabilité ne dépend que de la norme du vecteur v puisque le milieu est thermalisé donc isotrope. Lorsque le désorde (entropie) est maximal, les variables aléatoires v_x , v_y , et v_z sont indépendantes, on peut donc les intégrer séparemment, on en déduit que :



or

donc ton problème se ramène quasiment au précédent, sauf qu'il faut tenir compte du jacobien dans l'intégration (de la densité de probabilité) dont la mesure est le volume infinitésimal d'une sphère. C'est un poil plus compliqué mais au final on trouvera la même chose !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5411484d]

tu dis: v_r = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2} or ce n'est pas le cas.
C est: v = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2}

et v_r n'est que la projection radiale de v dans le référentiel R'.
Et je cherche P(v_z) où v_z est exprimée ds le référentiel R.

[LPFR]

Bonjour.
Prenez un espace 3D des vitesses dans les directions x, y et z.
Imaginez une sphère dont la densité est la probabilité d'avoir une vitesse radiale égale au rayon (dans cet espace). C'est la probabilité que vous connaisez.
Ce que vous cherchez c'est la somme des probabilités de cette sphère sur la tranche infinie comprise entre Vz et Vz+dVz.
Au revoir.

[vaincent]

tu dis: v_r = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2} or ce n'est pas le cas.
C est: v = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2}

et v_r n'est que la projection radiale de v dans le référentiel R'.
Et je cherche P(v_z) où v_z est exprimée ds le référentiel R.

et bien si ! il suffit de faire un dessin avec le base cartésienne et la base sphérique. Tu dois certainement savoir qu'un vecteur d'origine O et d'extrémité M(x,y,z) s'écrit dans le base cartésienne comme :



sont module vaut alors .

en base sphérique le vecteur OM s'écrit:



où est le vecteur unitaire radial. Le module étant un invariant (même valeur dans toutes les bases) on en déduit que :



Donc , dans notre cas on pose
qui équivaut au vecteur . Un vecteur en base sphérique n'a jamais de composantes suivant et , mais ce sont les deux angles(portés par ses vecteurs) qui permettent de déterminer la position exacte du vecteur dans l'espace.

[invite5411484d]

Et bien non!
C'est moi qui aie pas du être très clair.
Voici un schéma en pièce jointe pour illustrer. On le fait à 2D mais c'est pareil dans l'idée.
J'ai un atome à une vitesse v (norme + direction) quelconque.
La proba d'avoir une vitesse v_r (qui correspond à v_z' sur le schéma) entre v_r et v_r + dv_r est donnée par la distribution de Maxwell-Boltzmann.

L'expression de vitesse "radiale" que j'ai utilisée n'était peut-être pas très bonne, c est juste des projections sur des axes.

C'est alors que je veux connaître la proba qu'a ce même atome d'avoir une vitesse projetée sur v_z entre v_z et v_z + dv_z.......

Je l'ai pas mis sur le schéma mais il y a una angle alpha fixé entre R et R' (i.e. entre -Oz et Oz')

J'espère que j'ai été plus clair et que tout ça a du sens. Il me semble que ça en a...
Le problème est donc un peu plus complexe, non?

[invite5411484d]

et voici le schéma...

[invite5411484d]

______________

[invite5411484d]

Ne faudrait-il pas exprimer le probleme en terme de probabilités conditionnelles?
Si on a dP(v_r), que vaut dP(v_z) sachant que v_r et v_z sont reliés:

v_r correspond à v_z' sur le schéma (c est juste une notation différente)

v_z = sqrt ( v_z' ² + v_x' ²)* cos (theta + alpha) où alpha est l'angle (fixé) entre -Oz et Oz') et theta l'angle entre Oz' et le vecteur V.

Je sèche vraiment donc si quelqu'un a une idée, n'hésitez pas !!

Merci

[vaincent]

salut,
ton shéma est un peu bizarre essentiellement parce que l'angle que l"axe X fait avec X' est de theta disons, mais par contre l'angle entre Z' et Z fait theta + 180° (ou 180°-theta ça dépend comment tu orientes ton angle). Toujours est-il que cela revient exactement au même que faire tourner d'un angle theta le plan XZ et ensuite de faire tourner le plan Y'Z' (autour de X') de 180°. Es-tu certain que c'est bien ce que tu veux ou alors tu voulais simplement faire tourner XZ d'un angle theta (l'axe Z' seretrouverai alors dessous Z à un angle theta) ??

[invite5411484d]

Mes axes étaient mal choisi en effet. J avais fait le dessin tres rapidement (ça se voit non? )

Voici en piece jointe un schema plus correct.

Vaincent, que penses-tu de ce que j'ai dit dans mes derniers posts sur le fait que la difficulté est d'exprimer la probabilité dP(v_z) en sachant qu'on a une probabilité dP(v_z' ) donnée par ~ exp(-v_z' ²/a²) dv_z' ?

Merci à toi en tout cas de me filer un coup de main.

[vaincent]

Ok je vois. Tu vas voir , en fait c'est beaucoup plus simple que tu ne le pensais ! On est dans le référentiel R' d'axes X' et Z'. On sait que la proba différentielle est donnée par :



(où ) c'est une chose. Deuxièment la matrice de passage de R à R' est une matrice de rotation d'angle alpha. On a alors le système suivant :





on en déduit que :



les produits croisés s'annulent, on met en facteur v_x et v_z et on remarque en fait que :



normal, la norme d'un vecteur est invariante par changement de référentiel, mais bon c'était pour te le démontrer dans ce cas !

Occupons-nous maintenant de la mesure dv_x'dv_z'. Là c'est pas bien compliqué puisqu'on a la chance énorme que le jacobien d'une matrice de rotation vaut 1 (tu peux le vérifier ça fait pas de mal !). Donc :



Au final on constate que :



ceci n'est pas étonnant car, encore une fois la probabilité ne dépend que de la norme du vecteur et ce de par le fait qu'un milieu thermalisé est isotrope (mêmes caractéristiques quelque soit la direction). Donc que tu "vises" la proba selon l'axe Z ou Z' cela ne change rien !!

pour finir le problème on intègre sur v_x et on obtient :



C'est le même résultat que je t'avais proposé plus haut. Mais il est vrai que faire le problème en coordonnées sphérique ou dans un autre référentiel n'est pas exactement la même chose, même si au final les résultats sont les même.

[invite5411484d]

OK, merci vaincent.
Je vois comment tu as fait mais j'ai une ou deux petites remarques (questions?):

-1/ l'atome a une distribution de vitesse v_z' donnée par maxwell. Si on en prend une par exemple. Disons 50 km/s à laquelle est associée une certaine probabilité. Le fait d'avoir ça n'influera en rien sur la distribution de vitesse v_z??
Que ça n'influe en rien sur v_x', ça OK car v_x' et v_z' sont deux variables indépendantes mais v_z et v_z' elles ne sont pas indépendantes, isn't it?

-2e point (indépendant du premier): selon ton dernier post, il en est de même en pour le cas où on considère une sphère 3D de gaz ?

Merci

[gatsu]

Je ne suis peut être pas très réveillé mais je ne comprends pas tes notations.
La probabilité differentielle que tu écris c'est
et non comme tu l'écris. Il faut faire attention d'ailleurs parce que la proba de la norme est differente.

[vaincent]

OK, merci vaincent.
Je vois comment tu as fait mais j'ai une ou deux petites remarques (questions?):

-1/ l'atome a une distribution de vitesse v_z' donnée par maxwell. Si on en prend une par exemple. Disons 50 km/s à laquelle est associée une certaine probabilité. Le fait d'avoir ça n'influera en rien sur la distribution de vitesse v_z??
Que ça n'influe en rien sur v_x', ça OK car v_x' et v_z' sont deux variables indépendantes mais v_z et v_z' elles ne sont pas indépendantes, isn't it?

-2e point (indépendant du premier): selon ton dernier post, il en est de même en pour le cas où on considère une sphère 3D de gaz ?

Merci

je crois que j'ai peut-être finalement compris ce que tu veux ! En fait tu veux le proba diff que la vitesse selon Z soit comprise entre v_z et v_z+dv_z en fonction de v_z'. Bon je vois pas trop l'intérêt, mais si c'est ce que tu veux.

Si on appel theta l'angle entre le vecteur V et l'axe Z alors :



que tu remplaces dans l'expression de dP(v_z).

Pour l'autre question, la distribution de Maxwell est isotrope donc peu importe que le gaz soit dans une boîte cubique, rectangulaire ou encore dans une sphère, la distribution moyenne des vitesses sera la même.

[vaincent]

Je ne suis peut être pas très réveillé mais je ne comprends pas tes notations.
La probabilité differentielle que tu écris c'est
et non comme tu l'écris. Il faut faire attention d'ailleurs parce que la proba de la norme est differente.

si tu regardes bien la proba ne dépend que de , mais c'est vrai que ma notation n'est qu'un raccourci pour exprimer la proba en fonction de v_x' et v_z'. La distribution du module de la vitesse est quant à elle donné en 3D par :

[gatsu]

si tu regardes bien la proba ne dépend que de , mais c'est vrai que ma notation n'est qu'un raccourci pour exprimer la proba en fonction de v_x' et v_z'. La distribution du module de la vitesse est quant à elle donné en 3D par :

Bien sûr oui mais c'est juste qu'il ne faut pas confondre a priori la probabilité differentielle pour un certain evenement (qui est ici et ) et la (ou les) variable(s) dont dépend la densité de probabilité. Je voulais juste d'une part m'assurer que c'était bien un raccourci de notation et d'autre part le signaler pour que d'autres personnes ne fassent pas l'erreur le cas échéant.

[invite5411484d]

L'intérêt c'est qu'il y a émission d'une onde électromagnétique du centre 0 dans une direction donnée par l'angle alpha (selon Oz' en fait ) et que je veux connaître la probabilité q'un atome ait la "bonne" vitesse v_z' pour l'absorber (effet doppler...). Je veux ensuite la composante de vitesse v_z de ce même atome car j'ai un détecteur en z=infini. Je veux connaitre la fréquence détectée de mon onde (et là aussi y'a effet doppler...)

Tout en sachant que l'onde a une proba 1/4/pi d'être réémise selon Oz mais bon là je m'égare...

Voilà pourquoi

[vaincent]

L'intérêt c'est qu'il y a émission d'une onde électromagnétique du centre 0 dans une direction donnée par l'angle alpha (selon Oz' en fait ) et que je veux connaître la probabilité q'un atome ait la "bonne" vitesse v_z' pour l'absorber (effet doppler...). Je veux ensuite la composante de vitesse v_z de ce même atome car j'ai un détecteur en z=infini. Je veux connaitre la fréquence détectée de mon onde (et là aussi y'a effet doppler...)

Tout en sachant que l'onde a une proba 1/4/pi d'être réémise selon Oz mais bon là je m'égare...

Voilà pourquoi

ok ! ben ya plus qu'à !