Equation de propagation

[invite9c9b9968]

Bonjour à tous, je vous écrit pour avoir un petit peu d'aide sur un problème de physique ; voilà l'extrait du sujet qui me bloque :

" On ne considère qu'une propagation unidimensionnelle du son : la membrane, de surface S est placée à l'entrée d'un tuyau de section constante S. L'air, support de la propagation sonore, est supposé parfait, idéal, sans viscosité, etc... On néglige la gravité. En l'absence de son, la pression atmosphérique est et la masse volumique . Le son modifie pression et masse volumique par et et donne à l'air une vitesse u(x,t). Ces trois données restent faibles et les calculs se feront à l'ordre le plus bas en celles-ci. On désigne par c la vitesse du son."

On montre d'abord que les transformations de l'air sont adiabatiques, là pas de problèmes.

Ensuite :
"2 Equation donnant la conservation de la matière à l'ordre 1 ?

3 Donner à l'ordre le plus bas l'équation du mouvement pour une tranche d'air située entre x et

3 En déduire l'équation de propagation que satistait u(x,t) et exprimer c en fonction de et "

Pour la 2 j'ai trouvé logiquement u en vectoriel et en développant je ne garde que

Pour la 3, je fais un bilan sur dV = dxdS avec les forces pressantes, mais mes calculs sont assez lourd, et je ne sais pas trop quoi négliger. Je ne les recopie pas là, sauf si vous me le demandez.

Pourriez-vous m'indiquer ce que vous en penser ?

Merci d'avance

Julien
-----

[invite9c9b9968]

Add-on :

Si je considère que sur mon volume d'étude dxdS j'ai constant, j'écris donc :



mais si je développe et utilise l'équation de conservation, les s'éliminent

il y a comme un bug là...

[invite8c514936]

Salut,

Ben oui, tu n'as pas appliqué la RFD, dans ton problème, non ? Et puis pourquoi la densité serait constante ? Au passage de l'onde, l'air se dilate...

En fait il vaut mieux considérer une quantité de gaz donnée, délimitée par x(t) et x(t)+dx(t), les deux quantités dépendant du temps. Tu appliques la RFD à ce volume, et ça devrait aller...

[invite9c9b9968]

Salut,

Ben oui, tu n'as pas appliqué la RFD, dans ton problème, non ? Et puis pourquoi la densité serait constante ? Au passage de l'onde, l'air se dilate...

En fait il vaut mieux considérer une quantité de gaz donnée, délimitée par x(t) et x(t)+dx(t), les deux quantités dépendant du temps. Tu appliques la RFD à ce volume, et ça devrait aller...

Ben justement si j'utilise la RFD pour écrire la ligne suivante :



C'est à dire la force pressante à x(t(), et la force pressante à x+dx.
représentant au premier ordre la masse de mon petit volume d'étude infinitésimal.

Bon je vais m'y replonger ce soir, et on verra bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c514936]

OK, je comprends ton erreur. L'accélération ce n'est pas (qui est la variation de la vitesse en fonction du temps en un point donné). Mais comme le volume bouge au cours du temps, l'expression de l'accélération est différente, il faut calculer

lim [u(x+dx,t+dt)-u(x,t)]/dt

où x+dx est la nouvelle position de l'élément de volume au temps t+dt. Tu vas voir apparaitre un ...

[invite9c9b9968]

en fait en restant au premier ordre tout se passe bien (à t fixé pour le volume), mais j'avais oublié de tenir compte du caractère adiabatique de la transformation... Donc en utilisant le on obtient le résultat attendu, à savoir



avec

Merci quand même pour m'avoir répondu deep_turtle

[yahou]

il faut calculer

lim [u(x+dx,t+dt)-u(x,t)]/dt

où x+dx est la nouvelle position de l'élément de volume au temps t+dt. Tu vas voir apparaitre un ...

Il me semble que l'approximation essentielle quand on étudie les ondes sonores consiste justement à négliger la partie convective de la dérivée totale. Ce qui est fort pratique puisque ce terme est non-linéaire.

Un calcul en ordres de grandeur montre d'ailleurs que le rapport du terme convectif sur le terme de dérivée temporelle varie entre 10^(-10) et 10^(-4) entre le seuil d'audition et le seuil de douleur.

[invite8c514936]

En effet, vous avez raison, le terme de dérivée spatiale de la vitesse apparait multiplié par une vitesse dans l'équation de Navier-Stockes, il est donc du second ordre dans les quantités perturbées... J'aurais dû réviser avant d'essayer de répondre à partir de mes souvenirs !! Voilà qui est fait, merci !