Covariance de l'équation de Dirac

[invitea46d7942]

Bonjour,
pour assurer la covariance de l'équation de Dirac, il faut que le spineur se transforme comme ceci :
Ψ -> S Ψ

Pour une rotation, S=e^iΣθ/2
où Σ est la matrice de spin et θ est l'angle de rotation
or, il parait que

e^iΣθ=cos(θ/2)+i Σsin (θ/2)

Pour un boost, S=e^γ₅ΣΦ/2
où γ₅ est une des matrices gamma de Dirac et Φ est la rapidité

or, il parait que

e^γ₅ΣΦ/2=ch(Φ/2) + γ₅ΣΦsh(Φ/2)

Je ne comprends pas comment on obtient ces deux égalités. J'ai essayé de faire comme si les matrices étaient des scalaires, mais en ce faisant, je n'arrives pas à faire sortir les matrices des exponentiels. Est ce que ces résultats sont dû à des propriétés d'exponentiel de matrice ?
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[invite60be3959]

salut,

tout à fait.

L'exponentielle d'une matrice M est définie comme :



l'expression n'est donc qu'une notation qu'il faut utiliser avec précaution, et n'a de sens qu'au travers de son developpement de Taylor(c'est une matrice de même dimensions que M). Pour montrer ce que tu cherches à montrer, il faut se rappeler des développements des fonctions sinus et cosinus (regrouper les termes de l'expression ci-dessus selon la parité de leur exposant), et utiliser les propriétés des matrices de Pauli.

La matrice de spin est en fait un vecteur de matrice et ses composantes sont définies par :



les sont les matrices de Pauli, la notation "diag()" vaut pour une diagonale de matrices par blocs (les sont donc des matrices 4x4). La matrice de rotation S ,comme tu la notes, d'un bispineur s'écrit plus généralement :



où est un vecteur unitaire quelconque de dimensions 3 et indique la direction et le sens(à prendre avec des pincettes aussi, on est dans l'espace des spineurs) autour de laquelle la rotation a lieu.

Voilà je crois que tu en as assez, et n'oublie pas que les matrices de Pauli ne commutent pas

ps: pour les boosts c'est le même principe et il faut s'aider des propriétés de gamma 5

[invitea46d7942]

D'accord,
merci beaucoup, je vais essayer de me débrouiller avec ces indications.

[invite60be3959]

D'accord,
merci beaucoup, je vais essayer de me débrouiller avec ces indications.

ok tiens moi au courant....

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca4b3353]

et n'oublie pas que les matrices de Pauli ne commutent pas

et surtout que leurs produits se décomposent comme :

.

[invite60be3959]

et surtout que leurs produits se décomposent comme :

.

oui c'est une conséquence de la commutativité et de l'anticommutativité :

[inviteca4b3353]

oui c'est une conséquence de la commutativité et de l'anticommutativité

C'est plutot une conséquence du fait que les matrices de Pauli (+ l'identité) constituent une base pour les matrices 2x2 complexes.

[invite7ce6aa19]

C'est plutot une conséquence du fait que les matrices de Pauli (+ l'identité) constituent une base pour les matrices 2x2 complexes.

Matrices complexes unitaires.

[invitea46d7942]

ok tiens moi au courant....

OK ça marche !
En gros, une fois qu'on a regroupé les termes de la série de l'exponentielle en une série d'exposant pair et une autre d'exposant impair, il suffit de montrer que ( Σ_i)²ⁿ= 1 (matrice unité) et que ( Σ_i)²ⁿ⁺¹= Σ_i , ce qui permet de sortir les matrices de la série. Il ne reste plus qu'à identifier les séries avec cos et sin et le tour est joué !
Merci encore.