détermination d'un Lagrangien

[inviteca4b3353]

C'est presque ça sauf que tu as oublié le 4-gradient :

Effectivement, merci d'avoir corrigé cet oubli.

Ces 2 équations donnent des propriétés des champs, et non des sources des champs comme c'est le cas des 2 autres équations obtenues à partir de la densité lagrangienne et du principe de moindre action. Il semble donc suffisant que seuls les équations avec sources apparaissent dans le lagrangien(raccourci de language).

Une autre facon de voir pourquoi le terme FFdual n'est pas écrit dans le lagrangien QED (outre le fait comme l'a dit gwyddon que ce terme viole maximalement P et donc CP puisque C est conservé) consiste à remarquer que ce dernier est proportionnel à un terme de bord. La démonstration n'est pas très compliquée. Ainsi un tel terme est également strictement nul en théorie des champs. Car le champ s'annule identiquement à l'infini, par construction. Il est donc normal que ce terme ne détermine en rien la dynamique locale (cad à l'équation du mouvement) du champ A.
Du coup :

Il faut ecrire un terme dans le lagrangien qui soit invariant de jauge pour le champ vectoriel A. De plus un lagrangien c'est homogene a une energie donc il te faut des termes qui soient carres/proportionnels au carre du champ A. Une analyse mathematique te donne soit le terme F2 soit le terme avec un tilde donne par Karibou.

En fait, ce que je disais était assez maladroit, pour ne pas dire faux. Il ne s'agit pas d'une équation du mouvement, mais juste d'une relation qui suit de la structure du tenseur F, comme la présenté vaincent.

A noter que ce terme n'est pas interdit en QCD, mais generalement on l'oublie car il est source de violation CP (c'est le "strong CP problem") ; il faudrait pouvoir l'expliquer et c'est encore un probleme ouvert.

Un terme de FFdual est en fait identiquement nul en théorie des champs. Ca présence en QCD est lié au caractère non-abélien du vide de QCD (et du vide électrofaible par la meme occasion). En effet, le champ de jauge peut s'annuler à l'infini, mais il peut etre également égal à d'autres configurations, dites de jauge pures, qui sont relié à 0 par des transformations de jauges. Parmi ces configurations, certaines sont intrinsèquement différentes (appartiennent à différentes classes topologiques) et il est alors possible que les termes aux deux bords (+ et - l'infini) ne se compensent pas. Cela n'arrive pas en QED car le groupe est abélien. Ainsi on écrit dans le lagrangien de QCD ce terme en FFdual pour représenter de facon locale cet effet topologique provenant du bord. Le résultat est effectivement la présence d'une violation importante de CP. Apres brisure électrofaible, ce terme recoit une contribution associé à la matrice CKM de mélange des quarks. On ajuste alors finement ces deux contributions (le terme topologique, et le terme provenant de la matrice de masse des quarks) pour que leur somme soit très faible (de l'ordre de 10^(-10)). On remarque également que si le quark up est sans masse alors ce problème disparait, car le terme topologique peut etre éliminer complement en rédéfinissant les champs de quarks.
La solution la plus célèbre de ce problème de forte violation de CP est l'introduction d'une particule du nom d'axion.

pour un sous-espace μνλ donné, Fνλ peut être vu comme la composante μ d'un rotationnelle, et comme la divergence d'un rotationnel est nul, il en suit nécessairement que :

Je ne comprends tres bien ce que tu essaies de dire par la, mais le lien avec le rotationnel peut etre le suivant. La relation de Bianchi rappelée par vaincent est la conséquence immédiate de l'antisymétrie du tenseur F. Rien de plus. Un rotationnel est aussi une contraction antisymétrique :
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[invitea29d1598]

N'est ce pas un peu l'équivalent quadridimensionnel du fait que la divergence d'un rotationnel est nulle?

c'est tres semblable en effet... de meme que le fait que si le rotationnel d'un vecteur est nul, alors celui-ci est (localement) un gradient...

l'unification (avec ce que tu cites ou avec ce que je disais) se fait au travers de la notion d'algebre exterieure et surtout de la derivee exterieure d qui verifie d^2=0 (rot grad = 0 ou div rot =0 sont 2 cas particuliers de ca). Ici, ca te dit en premiere approximation que F est une 2-forme qui est fermee (dF=0) et elle est donc exacte (F=dA) si tu consideres un domaine etoile (cf. le lemme de Poincare).

Pour faire ca avec un point de vue geometrique et moderne (utile pour les theories de jauge), faut se placer dans un cadre un peu plus complexe qui est celui des fibres principaux et introduire une derivee exterieure covariante (souvent notee D). Celle-ci ne verifie plus a priori D^2=0, mais de facon tres semblable a ce qui se passe avec la derivee covariante de la RG, permet de retomber sur une notion de courbure (un peu comme tu definis le tenseur de Riemann a l'aide de 2 derivees covariantes), ce qui donne un sens nouveau a F. Apres, suivant la topologie du fibre principal, tu peux avoir des choses amusantes (monopole de Dirac pour la QED ou trucs plus complexes si ta fibre est un groupe non-abelien comme c'est le cas en QCD) qui rejoignent ce que racontait Karibou.

[invitea46d7942]

Je ne comprends tres bien ce que tu essaies de dire par la

Ce que j'essayais de dire, c'est que F^μν=(d_μA^ν-d_νA^ν)

Donc, si on doit calculer d_μF^νλ+d_λF^μν+d_νF^λμ

On a 4 calcul à faire : le plus familier, c'est celui où μ=x, ν=y, λ=z . Le calcul s'effectue donc dans ce cas dans l'espace physique 3D habituel et donne div(rot A) (avec la "vrai" divergence spatiale, le "vrai" rotationnel spatiale et le potentiel vecteur) . Or, comme la divergence d'un rotationnel est 0, on a div(rot A)=0 . Ce 1er calcul donera div B =0.

Pour les 3 autres calculs, on mélangera les dimensions spatiales et temporelle (par exemple μ=t, ν=x, λ=y etc.), mais mathématiquement, c'est équivalent au premier calcul. On pourra toujours dire par exemple que F^tx= est la composante y d'un rotationnel dans l'espace (t,x,y), et on aura à nouveau la divergence du rotationel de A dans l'espace (t,x,y) qui sera forcément nulle. Etc.

En tout cas, merci à tous pour toutes ces informations.